Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 8 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.
Bereken I = ∫01 2x·(x² + 1)1 dx.
Bereken de oppervlakte A van het gebied tussen de parabool y = 4 − x² en de x-as.
Precies één van de vier reeksen divergeert. Klik erop.
Gebruik het Maclaurinpolynoom van graad 3 van f(x) = sin(3x) om f(−0,5) te benaderen. Geef P₃(−0,5).
Bepaal voor f(x, y) = x²y + 4x³ − 5y² + 3xy de richtingsafgeleide Duf in (2, −2) in de richting van v = (−3, 2).
Bereken I = ∬R y dA, waarbij R het gebied is tussen de parabool y = x² en de lijn y = x.
Een blikje frisdrank van 6 °C wordt uit de koelkast in een kamer van 24 °C gezet. Na 26 min is de temperatuur 21 °C. Het volgt de afkoelingswet van Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Bereken de constante k in min⁻¹.
Een tank bevat 400 L zuiver water. Pekel met 0,1 kg zout per liter stroomt in met 4 L/min, en de goed gemengde oplossing stroomt met dezelfde snelheid uit. Na hoeveel minuten t bevat de tank 12 kg zout?
Antwoord: I = 1,5
Bepaalde integralen: ∫ₐᵇ f(x) dx is de georiënteerde oppervlakte tussen de grafiek en de x-as van a tot b. Zoek een primitieve F (met F′ = f) en bereken F(b) − F(a). Machtsregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). De oppervlakte tussen twee krommen is ∫(bovenste − onderste) dx.
Antwoord: A = 10,67
Bepaalde integralen: ∫ₐᵇ f(x) dx is de georiënteerde oppervlakte tussen de grafiek en de x-as van a tot b. Zoek een primitieve F (met F′ = f) en bereken F(b) − F(a). Machtsregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). De oppervlakte tussen twee krommen is ∫(bovenste − onderste) dx.
Antwoord: D: Σ 3ᵏ/k³
Convergentie: als de termen niet naar 0 gaan, divergeert de reeks (test op de n-de term). Σ1/kᵖ convergeert alleen voor p > 1, en Σrᵏ alleen voor |r| < 1. Vergelijk een reeks met een van deze als haar termen voor grote k zich zo gedragen. Quotiëntcriterium: L = lim |ak+1/ak|; wortelcriterium: L = lim |ak|1/k. L < 1 convergeert, L > 1 divergeert, L = 1 beslist niets. Een machtreeks Σck(x − x₀)ᵏ convergeert voor |x − x₀| < R met R = lim |ck/ck+1|; een alternerende reeks met termen die naar 0 afnemen convergeert.
Antwoord: P₃(−0.5) = −0,9375
Taylorpolynomen: nabij x = a wordt een gladde functie benaderd door Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; voor a = 0 is dit het Maclaurinpolynoom. Standaardreeksen: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Lagrange-foutgrens: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, waarbij M de grootste waarde van |f⁽ⁿ⁺¹⁾| tussen a en x is.
De exacte waarde is f(−0,5) = −0,997495; de fout −0,059995 wordt kleiner als je meer termen neemt of een punt dichter bij 0.
Antwoord: Duf = −11,65
Gradiënt: ∇f = (fx, fy) wijst in de richting van de steilste stijging, en |∇f| is de grootste veranderingssnelheid. De richtingsafgeleide langs een richting v is Duf = ∇f·u met de eenheidsvector u = v/|v|. Het raakvlak in (a, b) is z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b); het geeft de lineaire benadering van f nabij dat punt. Kettingregel: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.
Antwoord: I = 0,06667
Kritieke punten en dubbele integralen: een kritiek punt heeft fx = fy = 0. Tweede-afgeleidentest met D = fxxfyy − fxy²: D > 0 en fxx > 0 is een lokaal minimum, D > 0 en fxx < 0 een lokaal maximum, D < 0 een zadelpunt, en D = 0 beslist niets. Laat bij een dubbele integraal over een algemeen gebied de binnenste grenzen de krommen zijn die het gebied begrenzen; gebruik voor schijven en sectoren poolcoördinaten, x = r cos θ, y = r sin θ en dA = r dr dθ (vergeet de factor r niet).
Antwoord: k = 0,06891 min⁻¹
Eerste-orde differentiaalvergelijkingen: dy/dt = k·y heeft de oplossing y = y₀·ekt (groei voor k > 0, afname voor k < 0); een halveringstijd T geeft k = ln 2/T. De afkoelingswet van Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), geeft T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Een lineaire vergelijking y′ + p(x)·y = q(x) los je op met de integrerende factor μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, dus μy = ∫μq dx + C.
Antwoord: t = 35,67 min
Eerste-orde differentiaalvergelijkingen: dy/dt = k·y heeft de oplossing y = y₀·ekt (groei voor k > 0, afname voor k < 0); een halveringstijd T geeft k = ln 2/T. De afkoelingswet van Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), geeft T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Een lineaire vergelijking y′ + p(x)·y = q(x) los je op met de integrerende factor μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, dus μy = ∫μq dx + C.
ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2