Analyse 2: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 8 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Integralen

Machtsregel
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Bepaalde integraal
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Standaardintegralen
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Oppervlakte tussen grafieken
∫ab (f − g) dx

Methode

  1. Schrijf de integrand waar mogelijk als een som van eenvoudige termen.
  2. Pas de machtsregel toe: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), en de standaardintegralen voor ex, 1/x, sin en cos.
  3. Gebruik substitutie als je een functie en haar afgeleide samen ziet.
  4. Bereken bij een bepaalde integraal F(b) − F(a).

Rijen & reeksen

Rekenkundige rij
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Meetkundige rij
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Oneindige meetkundige reeks
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-reeks
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Quotiëntcriterium
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Convergentiestraal
R = lim |ck/ck+1|
Taylorpolynoom
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Maclaurinreeks
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Lagrange-foutgrens
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Methode

  1. Bepaal het type: rekenkundig (constant verschil), meetkundig (constante reden), een standaardreeks, een machtreeks of een Taylorpolynoom.
  2. Gebruik voor sommen Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), of S = a₁/(1 − r) als |r| < 1, met a₁ de eerste term van de som.
  3. Gebruik voor convergentie eerst de test op de n-de term, vergelijk dan met Σ1/kᵖ of een meetkundige reeks, en gebruik het quotiënt- of wortelcriterium bij faculteiten en k-de machten.
  4. Noteer voor Taylorpolynomen f(a), f′(a), f″(a), …, deel de k-de afgeleide door k!, en begrens de fout met M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Multivariabele analyse

Partiële afgeleiden
fx = ∂f/∂x (y constant), fxy = fyx
Gradiënt
∇f = (fx, fy), largest slope |∇f|
Richtingsafgeleide
Duf = ∇f·u, u = v/|v|
Raakvlak
z = f(a, b) + fx(x − a) + fy(y − b)
Kettingregel
dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt
Tweede-afgeleidentest
D = fxxfyy − fxy²: D > 0, fxx > 0 minimum; D > 0, fxx < 0 maximum; D < 0 saddle
Dubbele integraal
∬R f dA = ∫ab∫g(x)h(x) f dy dx
Poolcoördinaten
x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

Methode

  1. Behandel bij een partiële afgeleide de andere variabele als constante en gebruik de regels voor één variabele.
  2. Bereken bij gradiëntvragen ∇f = (fx, fy) in het punt; gebruik |∇f| voor de steilste helling en ∇f·u met een eenheidsvector u voor een richtingsafgeleide.
  3. Los voor extrema fx = 0 en fy = 0 samen op en classificeer dan elk punt met D = fxx·fyy − fxy².
  4. Schets bij een dubbele integraal het gebied, kies de volgorde (of poolcoördinaten voor schijven) zodat de binnenste grenzen de begrenzende krommen zijn, en integreer de binnenste eerst.

Differentiaalvergelijkingen

Exponentiële groei/afname
dy/dt = ky → y = y0ekt
Halveringstijd
k = ln 2 / t½
Afkoelingswet van Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Integrerende factor
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Mengtank
dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Oefenopgaven

1.IntegralenGemiddeld
xy24

Bereken I = ∫24 5/x dx.

f(x) = 5/x[2, 4]
I =
2.IntegralenMoeilijk
xyy = x2​y = 2x

Bereken de oppervlakte A van het gebied ingesloten door y = x2 en y = 2x.

y = x2y = 2x
A =
3.Rijen & reeksenGemiddeld
xx₀ = −2??R

Bepaal de convergentiestraal R van de machtreeks Σk=1∞ (2k)!·(x + 2)ᵏ/(k!)².

Σ (2k)!·(x + 2)ᵏ/(k!)²x₀ = −2
R =
4.Rijen & reeksenMoeilijk

Bepaal de coëfficiënt c₄ van (x − 1)⁴ in de Taylorreeks van f(x) = 1/x rond a = 1.

f(x) = 1/xa = 1k = 4
c₄ =
5.Multivariabele analyseGemiddeld

z = −4x²y² − 2x² + 2y² + 4xy met x = −2t + 1 en y = t² + 2. Gebruik de kettingregel om dz/dt te bepalen bij t = 2.

z = −4x²y² − 2x² + 2y² + 4xyx = −2t + 1y = t² + 2t = 2
dz/dt =
6.Multivariabele analyseMoeilijk
xy−202−202(0, 0)(2, 2)(−2, −2)

f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 16xy heeft een kritiek punt in (0, 0). Bereken daar de discriminant D = fxxfyy − fxy².

f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 16xyP = (0, 0)
D =
7.DifferentiaalvergelijkingenGemiddeld
t (min)T (°C)9Ta​52 °C

Een kop koffie van 88 °C wordt achtergelaten in een kamer van 23 °C. Na 9 min is de temperatuur 52 °C. Het volgt de afkoelingswet van Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Bereken de constante k in min⁻¹.

T0 = 88 °CTa = 23 °CT(9) = 52 °C
k = min⁻¹
8.DifferentiaalvergelijkingenMoeilijk
ty2y(2) = ?

Los y′ + y = 7e−0,5t op met y(0) = 0. Bereken y(2).

y′ + y = 7e−0,5ty(0) = 0
y(2) =

3Oplossingen

1.Integralen

Antwoord: I = 3,466

Bepaalde integralen: ∫ₐᵇ f(x) dx is de georiënteerde oppervlakte tussen de grafiek en de x-as van a tot b. Zoek een primitieve F (met F′ = f) en bereken F(b) − F(a). Machtsregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). De oppervlakte tussen twee krommen is ∫(bovenste − onderste) dx.

Primitieve

F(x) = 5·ln x

Grenzen invullen

I = 5·(ln 4 − ln 2) = 5·ln 2 = 3,466

Antwoord

I = 3,466
2.Integralen

Antwoord: A = 1,333

Bepaalde integralen: ∫ₐᵇ f(x) dx is de georiënteerde oppervlakte tussen de grafiek en de x-as van a tot b. Zoek een primitieve F (met F′ = f) en bereken F(b) − F(a). Machtsregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). De oppervlakte tussen twee krommen is ∫(bovenste − onderste) dx.

Snijpunten

x2 = 2x → x = 0, x = 2

Bovenste min onderste integreren

A = [x2 − 0,3333x3]02 = 1,333

Antwoord

A = 1,333
3.Rijen & reeksen

Antwoord: R = 0,25

Convergentie: als de termen niet naar 0 gaan, divergeert de reeks (test op de n-de term). Σ1/kᵖ convergeert alleen voor p > 1, en Σrᵏ alleen voor |r| < 1. Vergelijk een reeks met een van deze als haar termen voor grote k zich zo gedragen. Quotiëntcriterium: L = lim |ak+1/ak|; wortelcriterium: L = lim |ak|1/k. L < 1 convergeert, L > 1 divergeert, L = 1 beslist niets. Een machtreeks Σck(x − x₀)ᵏ convergeert voor |x − x₀| < R met R = lim |ck/ck+1|; een alternerende reeks met termen die naar 0 afnemen convergeert.

Coëfficiënten

ck+1/ck = (2k + 2)(2k + 1)/(k + 1)² → 4, dus R = 1/4

Straal

R = 0,25

Antwoord

R = 0,25

Het quotiëntcriterium zegt niets in de twee eindpunten; die moeten apart worden gecontroleerd.

4.Rijen & reeksen

Antwoord: c₄ = 1

Taylorpolynomen: nabij x = a wordt een gladde functie benaderd door Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; voor a = 0 is dit het Maclaurinpolynoom. Standaardreeksen: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Lagrange-foutgrens: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, waarbij M de grootste waarde van |f⁽ⁿ⁺¹⁾| tussen a en x is.

Afgeleide f⁽⁴⁾

f⁽⁴⁾(x) = 24/x⁵

Coëfficiënt

c₄ = 24/(1⁵·24) = 1
c₄ = 1

Antwoord

c₄ = 1
5.Multivariabele analyse

Antwoord: dz/dt = −3480

Gradiënt: ∇f = (fx, fy) wijst in de richting van de steilste stijging, en |∇f| is de grootste veranderingssnelheid. De richtingsafgeleide langs een richting v is Duf = ∇f·u met de eenheidsvector u = v/|v|. Het raakvlak in (a, b) is z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b); het geeft de lineaire benadering van f nabij dat punt. Kettingregel: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.

Punt en snelheden

x(2) = −3, y(2) = 6
dx/dt = −2, dy/dt = 2t = 4

Partiële afgeleiden

fx = −8xy² − 4x + 4y = 900
fy = −8x²y + 4y + 4x = −420

Kettingregel

dz/dt = 900·(−2) + (−420)·4 = −3480

Antwoord

dz/dt = −3480
6.Multivariabele analyse

Antwoord: D = −256

Kritieke punten en dubbele integralen: een kritiek punt heeft fx = fy = 0. Tweede-afgeleidentest met D = fxxfyy − fxy²: D > 0 en fxx > 0 is een lokaal minimum, D > 0 en fxx < 0 een lokaal maximum, D < 0 een zadelpunt, en D = 0 beslist niets. Laat bij een dubbele integraal over een algemeen gebied de binnenste grenzen de krommen zijn die het gebied begrenzen; gebruik voor schijven en sectoren poolcoördinaten, x = r cos θ, y = r sin θ en dA = r dr dθ (vergeet de factor r niet).

Tweede afgeleiden

fxx = 0, fyy = 0, fxy = −16

Discriminant

D = 0·0 − (−16)² = −256
→ zadelpunt

Antwoord

D = −256
7.Differentiaalvergelijkingen

Antwoord: k = 0,08968 min⁻¹

Eerste-orde differentiaalvergelijkingen: dy/dt = k·y heeft de oplossing y = y₀·ekt (groei voor k > 0, afname voor k < 0); een halveringstijd T geeft k = ln 2/T. De afkoelingswet van Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), geeft T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Een lineaire vergelijking y′ + p(x)·y = q(x) los je op met de integrerende factor μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, dus μy = ∫μq dx + C.

Verhouding van de temperatuurverschillen

e−9k = 29/65

Los op naar k

k = ln(65/29)/9 = 0,08968 min⁻¹

Antwoord

k = 0,08968 min⁻¹
8.Differentiaalvergelijkingen

Antwoord: y(2) = 3,256

Eerste-orde differentiaalvergelijkingen: dy/dt = k·y heeft de oplossing y = y₀·ekt (groei voor k > 0, afname voor k < 0); een halveringstijd T geeft k = ln 2/T. De afkoelingswet van Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), geeft T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Een lineaire vergelijking y′ + p(x)·y = q(x) los je op met de integrerende factor μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, dus μy = ∫μq dx + C.

Integrerende factor

μ = et
(ety)′ = 7e0,5t

Algemene oplossing

y = 7/0,5·e−0,5t + C·e−t = 14·e−0,5t + C·e−t

Beginvoorwaarde

0 = 14 + C → C = −14

Bereken

y(2) = 14·0,3679 + (−14)·0,1353 = 3,256

Antwoord

y(2) = 3,256

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2