Analyse 2: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 8 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Integralen

Machtsregel
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Bepaalde integraal
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Standaardintegralen
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Oppervlakte tussen grafieken
∫ab (f − g) dx

Methode

  1. Schrijf de integrand waar mogelijk als een som van eenvoudige termen.
  2. Pas de machtsregel toe: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), en de standaardintegralen voor ex, 1/x, sin en cos.
  3. Gebruik substitutie als je een functie en haar afgeleide samen ziet.
  4. Bereken bij een bepaalde integraal F(b) − F(a).

Rijen & reeksen

Rekenkundige rij
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Meetkundige rij
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Oneindige meetkundige reeks
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-reeks
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Quotiëntcriterium
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Convergentiestraal
R = lim |ck/ck+1|
Taylorpolynoom
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Maclaurinreeks
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Lagrange-foutgrens
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Methode

  1. Bepaal het type: rekenkundig (constant verschil), meetkundig (constante reden), een standaardreeks, een machtreeks of een Taylorpolynoom.
  2. Gebruik voor sommen Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), of S = a₁/(1 − r) als |r| < 1, met a₁ de eerste term van de som.
  3. Gebruik voor convergentie eerst de test op de n-de term, vergelijk dan met Σ1/kᵖ of een meetkundige reeks, en gebruik het quotiënt- of wortelcriterium bij faculteiten en k-de machten.
  4. Noteer voor Taylorpolynomen f(a), f′(a), f″(a), …, deel de k-de afgeleide door k!, en begrens de fout met M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Multivariabele analyse

Partiële afgeleiden
fx = ∂f/∂x (y constant), fxy = fyx
Gradiënt
∇f = (fx, fy), largest slope |∇f|
Richtingsafgeleide
Duf = ∇f·u, u = v/|v|
Raakvlak
z = f(a, b) + fx(x − a) + fy(y − b)
Kettingregel
dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt
Tweede-afgeleidentest
D = fxxfyy − fxy²: D > 0, fxx > 0 minimum; D > 0, fxx < 0 maximum; D < 0 saddle
Dubbele integraal
∬R f dA = ∫ab∫g(x)h(x) f dy dx
Poolcoördinaten
x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

Methode

  1. Behandel bij een partiële afgeleide de andere variabele als constante en gebruik de regels voor één variabele.
  2. Bereken bij gradiëntvragen ∇f = (fx, fy) in het punt; gebruik |∇f| voor de steilste helling en ∇f·u met een eenheidsvector u voor een richtingsafgeleide.
  3. Los voor extrema fx = 0 en fy = 0 samen op en classificeer dan elk punt met D = fxx·fyy − fxy².
  4. Schets bij een dubbele integraal het gebied, kies de volgorde (of poolcoördinaten voor schijven) zodat de binnenste grenzen de begrenzende krommen zijn, en integreer de binnenste eerst.

Differentiaalvergelijkingen

Exponentiële groei/afname
dy/dt = ky → y = y0ekt
Halveringstijd
k = ln 2 / t½
Afkoelingswet van Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Integrerende factor
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Mengtank
dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Oefenopgaven

1.IntegralenGemiddeld
xy02

Bereken I = ∫02 2x·(x² + 1)1 dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)1[0, 2]
I =
2.IntegralenMoeilijk
xyy = x2​y = 3x

Bereken de oppervlakte A van het gebied ingesloten door y = x2 en y = 3x.

y = x2y = 3x
A =
3.Rijen & reeksenGemiddeld
kSn​12345678910S = ?

Bepaal de som S = Σk=1∞ 4/(k(k + 4)).

ak = 4/(k(k + 4))
S =
4.Rijen & reeksenMoeilijk

f(x) = cos x wordt in x = 1 benaderd door zijn Maclaurinpolynoom van graad n. Bepaal met de Lagrange-grens M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! en M = 1 de kleinste graad n die een fout kleiner dan 1 × 10⁻⁵ garandeert.

f(x) = cos xx = 1M = 1ε = 1 × 10⁻⁵
n =
5.Multivariabele analyseGemiddeld
xy−2−1P

Gebruik het raakvlak van f(x, y) = −4x³y³ + 4x² + 4y³ in (−2, −1) om f(−1,9, −0,8) te benaderen. Geef de lineaire benadering L.

f(x, y) = −4x³y³ + 4x² + 4y³(a, b) = (−2, −1)(x, y) = (−1,9, −0,8)
L =
6.Multivariabele analyseMoeilijk
xy2

Gebruik poolcoördinaten om I = ∬R √(x² + y²) dA te berekenen, waarbij R de schijf x² + y² ≤ 4 is.

f = √(x² + y²)0 ≤ r ≤ 20 ≤ θ ≤ 2π
I =
7.DifferentiaalvergelijkingenGemiddeld
t (min)T (°C)6Ta​T = ?

Een blikje frisdrank van 4 °C wordt uit de koelkast in een kamer van 29 °C gezet. Het volgt de afkoelingswet van Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Bereken met k = 0,06 min⁻¹ de temperatuur T na 6 min.

T0 = 4 °CTa = 29 °Ck = 0,06 min⁻¹t = 6 min
T = °C
8.DifferentiaalvergelijkingenMoeilijk
t (min)m (kg)t = ?8 kg

Een tank bevat 200 L zuiver water. Pekel met 0,1 kg zout per liter stroomt in met 2 L/min, en de goed gemengde oplossing stroomt met dezelfde snelheid uit. Na hoeveel minuten t bevat de tank 8 kg zout?

V = 200 Lm0 = 0 kgc = 0,1 kg/Lr = 2 L/min
t = min

3Oplossingen

1.Integralen

Antwoord: I = 12

Bepaalde integralen: ∫ₐᵇ f(x) dx is de georiënteerde oppervlakte tussen de grafiek en de x-as van a tot b. Zoek een primitieve F (met F′ = f) en bereken F(b) − F(a). Machtsregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). De oppervlakte tussen twee krommen is ∫(bovenste − onderste) dx.

Substitutie

u = x² + 1, du = 2x dx
I = ∫15 u1 du

Integreren en invullen

I = [u2/2]15 = (25 − 1)/2 = 12

Antwoord

I = 12
2.Integralen

Antwoord: A = 4,5

Bepaalde integralen: ∫ₐᵇ f(x) dx is de georiënteerde oppervlakte tussen de grafiek en de x-as van a tot b. Zoek een primitieve F (met F′ = f) en bereken F(b) − F(a). Machtsregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). De oppervlakte tussen twee krommen is ∫(bovenste − onderste) dx.

Snijpunten

x2 = 3x → x = 0, x = 3

Bovenste min onderste integreren

A = [1,5x2 − 0,3333x3]03 = 4,5

Antwoord

A = 4,5
3.Rijen & reeksen

Antwoord: S = 2,083

Convergentie: als de termen niet naar 0 gaan, divergeert de reeks (test op de n-de term). Σ1/kᵖ convergeert alleen voor p > 1, en Σrᵏ alleen voor |r| < 1. Vergelijk een reeks met een van deze als haar termen voor grote k zich zo gedragen. Quotiëntcriterium: L = lim |ak+1/ak|; wortelcriterium: L = lim |ak|1/k. L < 1 convergeert, L > 1 divergeert, L = 1 beslist niets. Een machtreeks Σck(x − x₀)ᵏ convergeert voor |x − x₀| < R met R = lim |ck/ck+1|; een alternerende reeks met termen die naar 0 afnemen convergeert.

Partieelbreuken

4/(k(k + 4)) = (4/4)·(1/k − 1/(k + 4))

Annuleren

S = (4/4)·(1 + 1/2 + 1/3 + 1/4) = 2,083

Antwoord

S = 2,083
4.Rijen & reeksen

Antwoord: n = 8

Taylorpolynomen: nabij x = a wordt een gladde functie benaderd door Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; voor a = 0 is dit het Maclaurinpolynoom. Standaardreeksen: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Lagrange-foutgrens: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, waarbij M de grootste waarde van |f⁽ⁿ⁺¹⁾| tussen a en x is.

n(n + 1)!grens011120,5260,16673240,0416741200,00833357200,001389650400,00019847403202,48 × 10⁻⁵83628802,756 × 10⁻⁶

Grenzen voor toenemende n

n = 7: 2,48 × 10⁻⁵ ≥ 1 × 10⁻⁵
n = 8: 2,756 × 10⁻⁶ < 1 × 10⁻⁵

Kleinste graad

n = 8

Antwoord

n = 8
5.Multivariabele analyse

Antwoord: L = 4,8

Gradiënt: ∇f = (fx, fy) wijst in de richting van de steilste stijging, en |∇f| is de grootste veranderingssnelheid. De richtingsafgeleide langs een richting v is Duf = ∇f·u met de eenheidsvector u = v/|v|. Het raakvlak in (a, b) is z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b); het geeft de lineaire benadering van f nabij dat punt. Kettingregel: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.

Waarde en hellingen in het punt

f(−2, −1) = −20
fx = −12x²y³ + 8x → fx(−2, −1) = 32
fy = −12x³y² + 12y² → fy(−2, −1) = 108

Raakvlak

z = −20 + 32(x + 2) + 108(y + 1)
z = 32x + 108y + 152

Lineaire benadering

L = −20 + 32·0,1 + 108·0,2 = 4,8

Antwoord

L = 4,8

De exacte waarde is f = −1,655232; het vlak ligt dichtbij omdat de stap klein is.

6.Multivariabele analyse

Antwoord: I = 16,76

Kritieke punten en dubbele integralen: een kritiek punt heeft fx = fy = 0. Tweede-afgeleidentest met D = fxxfyy − fxy²: D > 0 en fxx > 0 is een lokaal minimum, D > 0 en fxx < 0 een lokaal maximum, D < 0 een zadelpunt, en D = 0 beslist niets. Laat bij een dubbele integraal over een algemeen gebied de binnenste grenzen de krommen zijn die het gebied begrenzen; gebruik voor schijven en sectoren poolcoördinaten, x = r cos θ, y = r sin θ en dA = r dr dθ (vergeet de factor r niet).

Poolvorm

I = ∫02π ∫02 r·r dr dθ

Integreren

∫ r·r dr = [r³/3]
I = 16,76

Antwoord

I = 16,76
7.Differentiaalvergelijkingen

Antwoord: T = 11,56 °C

Eerste-orde differentiaalvergelijkingen: dy/dt = k·y heeft de oplossing y = y₀·ekt (groei voor k > 0, afname voor k < 0); een halveringstijd T geeft k = ln 2/T. De afkoelingswet van Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), geeft T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Een lineaire vergelijking y′ + p(x)·y = q(x) los je op met de integrerende factor μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, dus μy = ∫μq dx + C.

Oplossing van de afkoelingswet

T(t) = 29 + (−25)·e−0,06t

Vul t in

T(6) = 29 + (−25)·0,6977 = 11,56 °C

Antwoord

T = 11,56 °C
8.Differentiaalvergelijkingen

Antwoord: t = 51,08 min

Eerste-orde differentiaalvergelijkingen: dy/dt = k·y heeft de oplossing y = y₀·ekt (groei voor k > 0, afname voor k < 0); een halveringstijd T geeft k = ln 2/T. De afkoelingswet van Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), geeft T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Een lineaire vergelijking y′ + p(x)·y = q(x) los je op met de integrerende factor μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, dus μy = ∫μq dx + C.

Resultaat

m(t) = 20 + (−20)·e−t/100

Los op naar t

e−t/100 = (20 − 8)/(20 − 0) = 0,6
t = 100·ln(1,667) = 51,08 min

Antwoord

t = 51,08 min

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2