Een vastgoedobject levert volgend jaar naar verwachting €20 000 netto huur op. De huur groeit naar verwachting voor altijd met 3 % per jaar. Het vereiste rendement is 8 % per jaar. Bereken de waarde PV van het object vandaag.
C1 = €20 000g = 3%r = 8%
PV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Je leent €12 000 tegen 7,2 % per jaar, maandelijks samengesteld, en betaalt aan het eind van elke maand €225 terug. Hoeveel maanden duurt het tot de lening is afgelost (de laatste betaling mag kleiner zijn)? Geef het aantal betalingen N.
P = €12 000A = €2257,2% / 12
N = betalingen
3.NCW & IRRGemiddeld
Een investering van €20 000 levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 deze kasstromen op: €10 000, €7 000, €4 000. De vermogenskosten zijn 9 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
Een project kost €25 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 2 €13 500, €17 000 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
CF0 = −25 000CF1 = 13 500CF2 = 17 000
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 7% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 6 jaar af. Het effectieve rendement is 5% per jaar. Bereken de koers P van de obligatie.
F = €1 000coupon = 7%YTM = 5%n = 6
P = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 7% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 6 jaar af. Ze wordt verkocht voor €1 188. Bereken het effectieve rendement YTM als jaarrente (twee keer het halfjaarlijkse rendement), in procenten.
F = €1 000coupon = 7% (2×)n = 6P = €1 188
YTM = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €6 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €5 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 12%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 4% en het belastingtarief is 20%. Bereken de WACC.
De aandelen van een onderneming hebben een bèta van 0,9 bij de huidige verhouding vreemd/eigen vermogen van 0,4. Ze wil die verhouding verhogen tot 1,25. Het belastingtarief is 25,8%, de risicovrije rente 3% en de marktrisicopremie 6,5%. Bereken de kosten van het eigen vermogen re na de wijziging.
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 52, 22, 13, 34, 40, 55, 49.
n = 7
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 100 en standaardafwijking 15. Bereken de z-score z van een score van 109.
μ = 100σ = 15x = 109
z =
11.KansrekeningGemiddeld
Bepaal voor de getoonde verdeling de standaardafwijking σ van X.
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,25, 0,35, 0,25, 0,05, 0,1
σ =
12.KansrekeningMoeilijk
Een spel kost €2 inzet. Je wint €6 met kans 0,2 en €20 met kans 0,01; anders win je niets. De inzet krijg je niet terug. Bepaal de verwachte nettowinst E(G) per spel.
inzet = €2€6: p = 0,2€20: p = 0,01
E(G) = €
13.Normale verdelingGemiddeld
De levertijden zijn normaal verdeeld met gemiddelde 32 min en standaardafwijking 6 min. Welk deel ligt tussen 27,5 en 35,3 min? Geef P als decimaal getal.
μ = 32σ = 6x1 = 27,5x2 = 35,3
P =
14.Normale verdelingMoeilijk
De examencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 65 punten en standaardafwijking 10 punten. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde onderste 20% links ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.
μ = 65 puntenσ = 10 punten20%
x = punten
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
De bloeddruk van 9 patiënten wordt gemeten voor en na een behandeling. De verschillen d = voor − na (mmHg) hebben gemiddelde −3,8 en standaardafwijking 8. Bereken de ondergrens van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde verschil.
n = 9d̄ = −3,8sd = 895%t(8) = 2,306
ondergrens = mmHg
16.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
De standaardafwijking van de populatie is 40. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 3 heeft?
Twee productielijnen maken hetzelfde onderdeel. Lijn 1: een steekproef van 30 onderdelen heeft een gemiddelde lengte van 63,5 mm, en de bekende standaardafwijking van de lijn is 20 mm. Lijn 2: een steekproef van 50 onderdelen heeft gemiddelde 50,8 mm, bekende standaardafwijking 19 mm. Bereken de toetsingsgrootheid z voor H₀: μ₁ = μ₂, met als verschil x̄₁ − x̄₂ (lijn 1 min lijn 2).
Een steekproef van 100 metingen heeft gemiddelde 74,2. De standaardafwijking van de populatie is 5. Bereken de bovengrens U van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.
x̄ = 74,2σ = 5n = 10099%
U =
19.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Bereken de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.
n = 6
r =
20.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voor welke waarde x voorspelt de lijn ŷ = 35?
n = 6ŷ = 35
x =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: PV = 400000 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Herschrijf de annuïteitenformule
i = 0,006
(1 + i)−N = 1 − 12 000·0,006/225 = 0,68
Los op met logaritmen
N = −ln(0,68)/ln(1,006) = 64,47
Rond naar boven af op hele betalingen
64 volledige betalingen laten een klein saldo over, dat de laatste, kleinere betaling aflost.
N = 65
Antwoord
N = 65 betalingen
3.NCW & IRR
Antwoord: NPV = −1845 €
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Contante waarde van elke kasstroom
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,09)1 = 10 000/1,09 = 9 174,31
CF2/(1 + 0,09)2 = 7 000/1,188 = 5 891,76
CF3/(1 + 0,09)3 = 4 000/1,295 = 3 088,73
Optellen
NPV = €−1 845,19
Antwoord
NPV = €−1 845,19
De NCW is negatief, dus het project verdient minder dan het vereiste rendement.
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 13,77 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De IRR insluiten
De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.
NPV(10%) = 1 322,31
NPV(15%) = −406,43
Verfijnen
Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Per periode
C = €35,00, i = 0,025, N = 12
Contante waarde van de coupons
€35,00·(1 − 0,7436)/0,025 = €359,02
Contante waarde van de nominale waarde
€1 000·0,7436 = €743,56
Koers
P = €1 102,58
Antwoord
P = €1 102,58
Het rendement ligt onder de couponrente, dus de obligatie wordt boven pari verkocht.
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: YTM = 3,499 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Per periode
C = €35,00, N = 12
Los numeriek op
i = 1,75% per halfjaar
YTM
YTM = 2·1,75% = 3,499%
Antwoord
YTM = 3,499%
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 8 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Gewichten
V = €11 000 000, E/V = 0,5455, D/V = 0,4545
WACC
WACC = 0,5455·12% + 0,4545·4%·(1 − 0,2) = 8%
Antwoord
WACC = 8%
8.CAPM en WACC
Antwoord: re = 11,7 %
Bèta met hefboom (Hamada): vreemd vermogen maakt het eigen vermogen riskanter. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), waarbij βU de bèta van de onderneming zonder schuld is. Om een bèta naar een andere vermogensstructuur om te zetten, haal je eerst de hefboom eruit (unlever) en reken je hem daarna opnieuw in bij de nieuwe D/E (relever).
Haal de hefboom uit de bèta
βU = 0,9/(1 + 0,742·0,4) = 0,694
Reken de hefboom in bij de nieuwe D/E
βL = 0,694·(1 + 0,742·1,25) = 1,338
Kosten eigen vermogen (CAPM)
re = 3% + 1,338·6,5% = 11,7%
Antwoord
re = 11,7%
9.Beschrijvende statistiek
Antwoord: s = 15,85
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = (109 − 100)/15 = 0,6
Antwoord
z = 0,6
11.Kansrekening
Antwoord: σ = 1,2
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Netto-uitkomsten
G: 4 (p = 0,2), 18 (p = 0,01), −2 (p = 0,79)
Verwachtingswaarde
E(G) = 4·0,2 + 18·0,01 − 2·0,79 = −0,6 €
Antwoord
E(G) = −0,6 €
Een negatieve waarde betekent dat je gemiddeld geld verliest.
13.Normale verdeling
Antwoord: P = 0,4822
Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.
z-scores
z₁ = (27,5 − 32)/6 = −0,75
z₂ = (35,3 − 32)/6 = 0,55
Oppervlakte ertussen
P = Φ(0,55) − Φ(−0,75) = 0,7088 − 0,2266 = 0,4822
Antwoord
P = 0,4822
14.Normale verdeling
Antwoord: x = 56,6 punten
Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.
Oppervlak links
Φ(z) = 0,2
z uit de tabel
z ≈ −0,84
Terug naar de oorspronkelijke eenheden
x = 65 − 0,84·10 = 56,6 punten
Antwoord
x = 56,6 punten
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: ondergrens = −9,949 mmHg
Interval voor een verschil: schatting ± kritieke waarde × standaardfout. Voor twee onafhankelijke gemiddelden met bekende σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) en z. Bij gelijke, onbekende varianties: de gepoolde s_p en t met n₁ + n₂ − 2 vrijheidsgraden. Bij gepaarde data werk je met de verschillen: d̄ ± t·s_d/√n.
Kritieke waarde
df = 8, t = 2,306
Foutmarge
E = 2,306·8/√9 = 6,149
Interval
−3,8 ± 6,149 → [−9,949, 2,349]
Antwoord
ondergrens = −9,949 mmHg
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 1180
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
n oplossen
n = (2,576·40/3)² = 1180
Naar boven afronden
Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.
n = 1180
Antwoord
n = 1180
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: z = 2,801
Hypothesetoets: de toetsingsgrootheid = (schatting − waarde onder H₀)/(standaardfout onder H₀). De p-waarde is de kans, als H₀ waar is, op een toetsingsgrootheid die minstens zo extreem is als de waargenomen: de oppervlakte in één staart bij een eenzijdige H₁, twee keer de staartoppervlakte bij een tweezijdige H₁. Verwerp H₀ als p ≤ α.
Standaardfout van het verschil
SE = √(20²/30 + 19²/50) = √20,55 = 4,534
Toetsingsgrootheid
z = (63,5 − 50,8)/4,534 = 2,801
Antwoord
z = 2,801
|z| > 1,96, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: U = 75,49
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
Foutmarge
E = 2,576·5/√100 = 1,288
Intervalgrens
U = 74,2 + 1,288 = 75,49
Antwoord
U = 75,49
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r = 0,9166
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 249/6 = 41,5
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 145
Syy = Σ(y − ȳ)² = 357,5
Correlatiecoëfficiënt
r = 145/√(70·357,5) = 0,9166
Antwoord
r = 0,9166
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: x = 4,57
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 33/6 = 5,5
ȳ = 221/6 = 36,83
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 34,5
Regressielijn
b = 34,5/17,5 = 1,971
a = 36,83 − 1,971·5,5 = 25,99
ŷ = 25,99 + 1,971·x
Los op naar x
x = (35 − 25,99)/1,971 = 4,57
Antwoord
x = 4,57
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.