Je belegt €2 000 tegen 4 % per jaar met continue samengestelde rente. Bereken de waarde FV na 12 jaar.
PV = €2 000r = 4%t = 12
FV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Een hypotheek van €300 000 wordt in 30 jaar afgelost met gelijke maandbedragen tegen 4,2 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel is er nog verschuldigd direct na de betaling aan het eind van jaar 9? Bereken de restschuld B.
P = €300 0004,2% / 12N = 360k = 108
B = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een investering van €75 000 levert aan het eind van jaar 1 tot en met 4 deze kasstromen op: €23 000, €25 000, €32 000, €25 000. De vermogenskosten zijn 9 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
Een project kost €20 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 €11 000, €13 500, €15 000 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
CF0 = −20 000CF1 = 11 000CF2 = 13 500CF3 = 15 000
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 2% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 8 jaar af. Het effectieve rendement is 2,5% per jaar. Bereken de koers P van de obligatie.
F = €1 000coupon = 2%YTM = 2,5%n = 8
P = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 en een jaarlijkse coupon van 3% loopt over 7 jaar af en wordt verkocht voor €940. Bereken het effectieve rendement YTM in procenten.
F = €1 000coupon = 3%n = 7P = €940
YTM = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft een verhouding vreemd/eigen vermogen (tegen marktwaarde) van 0,75. De kosten van het eigen vermogen zijn 11%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting 6% en het belastingtarief is 21%. Bereken de WACC.
D/E = 0,75re = 11%rd = 6%T = 21%
WACC = %
8.CAPM en WACCMoeilijk
Een onderneming heeft 1 000 000 aandelen die noteren op €17,00; de boekwaarde van het eigen vermogen is €5 100 000. Ze heeft net een dividend van €1,20 per aandeel uitgekeerd, en het dividend groeit met 3% per jaar. Het vreemd vermogen heeft een marktwaarde van €13 600 000 en kosten vóór belasting van 4%. Het belastingtarief is 21%. Bereken de WACC, met het dividendgroeimodel voor de kosten van het eigen vermogen.
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 49, 10, 35, 32, 15, 10, 17.
n = 7
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 60 en standaardafwijking 15. Welk deel P van de waarden ligt boven 37,5?
μ = 60σ = 15x = 37,5
P =
11.KansrekeningGemiddeld
Bepaal voor de getoonde verdeling de variantie Var(X) van X.
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,15, 0,25, 0,05, 0,2, 0,35
Var(X) =
12.KansrekeningMoeilijk
Een spel kost €1 inzet. Je wint €3 met kans 0,3 en €50 met kans 0,01; anders win je niets. De inzet krijg je niet terug. Bepaal de verwachte nettowinst E(G) per spel.
inzet = €1€3: p = 0,3€50: p = 0,01
E(G) = €
13.Normale verdelingGemiddeld
De massa's van dozen zijn onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 12 kg en standaardafwijking 0,8 kg. Bepaal de kans P dat de totale massa van 9 ervan groter is dan 106,8 kg. Rond z af op twee decimalen.
μ = 12 kgσ = 0,8 kgn = 9> 106,8 kg
P =
14.Normale verdelingMoeilijk
Gatdiameters D zijn normaal verdeeld met gemiddelde 25,02 mm en standaardafwijking 0,02 mm. Asdiameters d zijn onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 25 mm en standaardafwijking 0,01 mm. Een willekeurig gekozen as past als D − d > 0. Bepaal de kans P dat hij past. Rond z af op twee decimalen.
gat: μ = 25,02 mm, σ = 0,02 mmas: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm
P =
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
Een steekproef van 21 items heeft gemiddelde 63 en standaardafwijking s = 13. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de ondergrens van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.
n = 21x̄ = 63s = 1390%t(20) = 1,725
ondergrens =
16.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
De diameters van 21 bewerkte assen hebben een steekproefstandaardafwijking van 2,8 µm. Neem aan dat de diameters normaal verdeeld zijn en bereken de ondergrens σ van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de standaardafwijking van de populatie. Bij df = 20 ligt 2,5% van de χ²-verdeling onder 9,591 en 2,5% boven 34,17.
Van een populatie wordt beweerd dat het gemiddelde 120 is; de standaardafwijking van de populatie is bekend en is 4. Een aselecte steekproef van 64 waarnemingen heeft een gemiddelde van 118,95. Toets H₀: μ = 120 tegen H₁: μ < 120. Bereken de p-waarde p.
In een onderzoek herstellen 23 van de 150 patiënten met behandeling A en 20 van de 250 patiënten met behandeling B. Bereken met de gepoolde fractie de toetsingsgrootheid z voor H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 23n₁ = 150x₂ = 20n₂ = 250
z =
19.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.
n = 5Σx = 15Σy = 107Σx² = 55Σy² = 2399Σxy = 288
r =
20.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voor welke waarde x voorspelt de lijn ŷ = 52?
n = 5ŷ = 52
x =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 3232 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Exponent
r·t = 0,04·12 = 0,48
e0,48 = 1,616
Eindwaarde
FV = 2 000·1,616 = €3 232,15
Antwoord
FV = €3 232,15
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: B = 245378 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Wat er nog verschuldigd is, moet precies worden afbetaald met de resterende betalingen.
N − k = 360 − 108 = 252
B = 1467·(1 − (1 + 0,0035)−252)/0,0035 = €245 378,15
Antwoord
B = €245 378,15
3.NCW & IRR
Antwoord: NPV = 9563 €
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Contante waarde van elke kasstroom
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,09)1 = 23 000/1,09 = 21 100,92
CF2/(1 + 0,09)2 = 25 000/1,188 = 21 042,00
CF3/(1 + 0,09)3 = 32 000/1,295 = 24 709,87
CF4/(1 + 0,09)4 = 25 000/1,412 = 17 710,63
Optellen
NPV = €9 563,42
Antwoord
NPV = €9 563,42
De NCW is positief, dus het project verdient meer dan het vereiste rendement.
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 40,79 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De IRR insluiten
De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.
NPV(40%) = 211,37
NPV(45%) = −1 072,61
Verfijnen
Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Per periode
C = €10,00, i = 0,0125, N = 16
Contante waarde van de coupons
€10,00·(1 − 0,8197)/0,0125 = €144,20
Contante waarde van de nominale waarde
€1 000·0,8197 = €819,75
Koers
P = €963,95
Antwoord
P = €963,95
Het rendement ligt boven de couponrente, dus de obligatie wordt onder pari verkocht.
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: YTM = 4 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vergelijking voor het rendement
€940 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷
Los numeriek op
P(3%) = €1 000,00, P(4%) = €939,98
YTM = 4%
Antwoord
YTM = 4%
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 8,317 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Gewichten uit D/E
E/V = 1/(1 + 0,75) = 0,5714
D/V = 0,75/(1 + 0,75) = 0,4286
WACC
WACC = 0,5714·11% + 0,4286·6%·(1 − 0,21) = 8,317%
Antwoord
WACC = 8,317%
8.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 7,11 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = −1,5
Tabel standaardnormale verdeling
Φ(−1,5) = 0,06681
P = 1 − 0,06681 = 0,9332
Antwoord
P = 0,9332
11.Kansrekening
Antwoord: Var(X) = 2,327
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Netto-uitkomsten
G: 2 (p = 0,3), 49 (p = 0,01), −1 (p = 0,69)
Verwachtingswaarde
E(G) = 2·0,3 + 49·0,01 − 1·0,69 = 0,4 €
Antwoord
E(G) = 0,4 €
Een positieve waarde betekent dat je gemiddeld geld wint.
13.Normale verdeling
Antwoord: P = 0,6915
Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μX ± μY. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σX² + σY², dus σ = √(σX² + σY²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.
Verdeling van het totaal
μT = 108 kg, σT = 0,8·√9 = 2,4 kg
Standaardiseren
z = (106,8 − 108)/2,4 = −0,5
Kansrekening
P = 1 − Φ(−0,5) = 0,6915
Antwoord
P = 0,6915
14.Normale verdeling
Antwoord: P = 0,8133
Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μX ± μY. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σX² + σY², dus σ = √(σX² + σY²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.
Verdeling van het verschil
μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,02236 mm
Standaardiseren
z = (0 − 0,02)/0,02236 = −0,89
Kansrekening
P = 1 − Φ(−0,89) = 0,8133
Antwoord
P = 0,8133
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: ondergrens = 58,11
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
Kritieke waarde
df = n − 1 = 20, t = 1,725
Foutmarge
E = 1,725·13/√21 = 4,894
Interval
63 ± 4,894 → [58,11, 67,89]
Antwoord
ondergrens = 58,11
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: σ = 2,142 µm
Interval voor een variantie: (n − 1)s²/σ² heeft een χ²-verdeling met n − 1 vrijheidsgraden. Het 95%-interval voor σ² loopt van (n − 1)s² gedeeld door de bovenste χ²-waarde (2,5% erboven) tot (n − 1)s² gedeeld door de onderste χ²-waarde (2,5% eronder); het interval voor σ is de wortel van beide grenzen. Het is niet symmetrisch rond s.
Kwadratensom
(n − 1)s² = 20·2,8² = 156,8
Grenzen voor σ²
156,8/34,17 = 4,589
156,8/9,591 = 16,35
Grens voor σ
σ = √4,589 = 2,142 µm
Antwoord
σ = 2,142 µm
95%-interval voor σ: [2,142, 4,043] µm.
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: p = 0,01786
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Toetsingsgrootheid
SE = σ/√n = 4/√64 = 0,5
z = (118,95 − 120)/0,5 = −2,1
Staartoppervlakte
Φ(2,1) = 0,9821
1 − Φ(2,1) = 0,0179
p-waarde
p = 0,01786
Antwoord
p = 0,01786
p ≤ 0,05, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau.
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: z = 2,292
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Steekproeffracties
p̂₁ = 23/150 = 0,1533
p̂₂ = 20/250 = 0,08
p̂ = 43/400 = 0,1075
Standaardfout onder H₀
SE = √(0,1075·0,8925·(1/150 + 1/250)) = 0,03199
Toetsingsgrootheid
z = (0,1533 − 0,08)/0,03199 = 2,292
Antwoord
z = 2,292
|z| > 1,96, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r = −0,9986
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gecentreerde sommen
Sxy = 288 − 15·107/5 = −33
Sxx = 55 − 15²/5 = 10
Syy = 2399 − 107²/5 = 109,2
Correlatiecoëfficiënt
r = −33/√(10·109,2) = −0,9986
Antwoord
r = −0,9986
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: x = 3,809
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 274/5 = 54,8
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 94
Regressielijn
b = 94/40 = 2,35
a = 54,8 − 2,35·5 = 43,05
ŷ = 43,05 + 2,35·x
Los op naar x
x = (52 − 43,05)/2,35 = 3,809
Antwoord
x = 3,809
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.