Je belegt €2 000 tegen een nominale rente van 3,6 % per jaar, maandelijks samengesteld. Bereken de waarde FV van de belegging na 2 jaar.
PV = €2 0003,6% / 12n = 2
FV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Je spaart 28 jaar lang aan het eind van elke maand €250. De rekening geeft 7,2 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel heb je aan het eind gespaard? Bereken FV.
A = €2507,2% / 12N = 336
FV = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een investering van €20 000 levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 deze kasstromen op: €6 000, €7 000, €7 000. De vermogenskosten zijn 8 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
Een project kost €10 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 €5 000, €7 000, €4 500 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
CF0 = −10 000CF1 = 5 000CF2 = 7 000CF3 = 4 500
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Je koopt een obligatie met een resterende looptijd van 3 jaar (nominale waarde €1 000, jaarlijkse coupon 5%) als het effectieve rendement 7% is. Een jaar later, direct na ontvangst van de eerste coupon, verkoop je haar als het effectieve rendement 6,5% is. Bereken je perioderendement (holding period return) HPR in procenten.
F = €1 000coupon = 5%n = 3y0 = 7%y1 = 6,5%
HPR = %
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 en een jaarlijkse coupon van 4% loopt over 7 jaar af en wordt verkocht voor €1 095. Bereken het effectieve rendement YTM in procenten.
F = €1 000coupon = 4%n = 7P = €1 095
YTM = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een aandeel met een bèta van 0,6 heeft een vereist rendement van 6,9%. De risicovrije rente is 3%. Welk verwacht marktrendement rm volgt uit CAPM?
β = 0,6re = 6,9%rf = 3%
rm = %
8.CAPM en WACCMoeilijk
De aandelen van een onderneming hebben een bèta van 1,2 bij de huidige verhouding vreemd/eigen vermogen van 0,4. Ze wil die verhouding verhogen tot 1,25. Het belastingtarief is 28%, de risicovrije rente 1,5% en de marktrisicopremie 4%. Bereken de kosten van het eigen vermogen re na de wijziging.
De gewichten van zakken zijn normaal verdeeld met gemiddelde 250 g en standaardafwijking 5 g. Welk deel ligt tussen 244,25 en 254 g? Geef P als decimaal getal.
μ = 250σ = 5x1 = 244,25x2 = 254
P =
14.Normale verdelingMoeilijk
De levertijden zijn normaal verdeeld met gemiddelde 32 min en standaardafwijking 6 min. Bereken de waarde x waaronder 90% ervan ligt (het 90e percentiel).
μ = 32σ = 6P = 90%
x = min
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
De batterijduur van twee telefoonmodellen wordt vergeleken. Model 1: 80 telefoons, gemiddelde 77 h, bekende standaardafwijking 3 h. Model 2: 100 telefoons, gemiddelde 72,5 h, bekende standaardafwijking 9 h. Bereken de ondergrens van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.
De standaardafwijking van de populatie is 17. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 3 heeft?
Een steekproef van 16 studenten heeft een gemiddelde score van 123,6 en een steekproefstandaardafwijking van 5. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 120.
Een steekproef van 64 metingen heeft gemiddelde 50,6. De standaardafwijking van de populatie is 15. Bereken de ondergrens L van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.
x̄ = 50,6σ = 15n = 6499%
L =
19.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Bereken de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.
n = 5
r =
20.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voor welke waarde x voorspelt de lijn ŷ = 50?
n = 6ŷ = 50
x =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 2149 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Contante waarde van elke kasstroom
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,08)1 = 6 000/1,08 = 5 555,56
CF2/(1 + 0,08)2 = 7 000/1,166 = 6 001,37
CF3/(1 + 0,08)3 = 7 000/1,26 = 5 556,83
Optellen
NPV = €−2 886,25
Antwoord
NPV = €−2 886,25
De NCW is negatief, dus het project verdient minder dan het vereiste rendement.
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 30,26 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De IRR insluiten
De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.
NPV(30%) = 36,41
NPV(35%) = −626,43
Verfijnen
Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.
IRR ≈ 30 + 5·36,41/(36,41 − (−626,43)) = 30,27%
exact: NPV(30,26%) = 0 → IRR = 30,26%
Antwoord
IRR = 30,26%
5.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: HPR = 7,934 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vergelijking voor het rendement
€1 095 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷
Los numeriek op
P(2%) = €1 129,44, P(3%) = €1 062,30
YTM = 2,504%
Antwoord
YTM = 2,504%
7.CAPM en WACC
Antwoord: rm = 9,5 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Marktrisicopremie
rm − rf = (6,9% − 3%)/0,6 = 6,5%
Marktrendement
rm = 3% + 6,5% = 9,5%
Antwoord
rm = 9,5%
8.CAPM en WACC
Antwoord: re = 8,581 %
Bèta met hefboom (Hamada): vreemd vermogen maakt het eigen vermogen riskanter. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), waarbij βU de bèta van de onderneming zonder schuld is. Om een bèta naar een andere vermogensstructuur om te zetten, haal je eerst de hefboom eruit (unlever) en reken je hem daarna opnieuw in bij de nieuwe D/E (relever).
Haal de hefboom uit de bèta
βU = 1,2/(1 + 0,72·0,4) = 0,9317
Reken de hefboom in bij de nieuwe D/E
βL = 0,9317·(1 + 0,72·1,25) = 1,77
Kosten eigen vermogen (CAPM)
re = 1,5% + 1,77·4% = 8,581%
Antwoord
re = 8,581%
9.Beschrijvende statistiek
Antwoord: s = 16,81
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = 1
Tabel standaardnormale verdeling
Φ(1) = 0,8413
P = 1 − 0,8413 = 0,1587
Antwoord
P = 0,1587
11.Kansrekening
Antwoord: σ = 11,58
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.
z-scores
z₁ = (244,25 − 250)/5 = −1,15
z₂ = (254 − 250)/5 = 0,8
Oppervlakte ertussen
P = Φ(0,8) − Φ(−1,15) = 0,7881 − 0,1251 = 0,6631
Antwoord
P = 0,6631
14.Normale verdeling
Antwoord: x = 39,69 min
Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.
z voor het percentiel
Φ(z) = 0,9 → z = 1,282
Terug naar x
x = 32 + 1,282·6 = 39,69 min
Antwoord
x = 39,69 min
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: ondergrens = 2,617 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Puntschatting
x̄₁ − x̄₂ = 77 − 72,5 = 4,5
Standaardfout
SE = √(3²/80 + 9²/100) = 0,9605
Foutmarge
E = 1,96·0,9605 = 1,883
Interval
4,5 ± 1,883 → [2,617, 6,383]
Antwoord
ondergrens = 2,617 h
Het interval bevat 0 niet, dus de gemiddelden verschillen significant.
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 87
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
n oplossen
n = (1,645·17/3)² = 86,89
Naar boven afronden
Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.
n = 87
Antwoord
n = 87
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: t = 2,88
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
Standaardfout
SE = 5/√16 = 5/4 = 1,25
Toetsingsgrootheid
t = (123,6 − 120)/1,25 = 2,88
Antwoord
t = 2,88
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| > 2,131, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: L = 45,77
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
Foutmarge
E = 2,576·15/√64 = 4,83
Intervalgrens
L = 50,6 − 4,83 = 45,77
Antwoord
L = 45,77
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r = 0,9785
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 50/5 = 10
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 60
Syy = Σ(y − ȳ)² = 94
Correlatiecoëfficiënt
r = 60/√(40·94) = 0,9785
Antwoord
r = 0,9785
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: x = 5,483
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 266/6 = 44,33
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 50
Regressielijn
b = 50/17,5 = 2,857
a = 44,33 − 2,857·3,5 = 34,33
ŷ = 34,33 + 2,857·x
Los op naar x
x = (50 − 34,33)/2,857 = 5,483
Antwoord
x = 5,483
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.