Je belegt €2 000 tegen 8 % per jaar met continue samengestelde rente. Bereken de waarde FV na 2 jaar.
PV = €2 000r = 8%t = 2
FV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Je leent €15 000 tegen 3 % per jaar, maandelijks samengesteld, en betaalt aan het eind van elke maand €250 terug. Hoeveel maanden duurt het tot de lening is afgelost (de laatste betaling mag kleiner zijn)? Geef het aantal betalingen N.
P = €15 000A = €2503% / 12
N = betalingen
3.NCW & IRRGemiddeld
Een investering van €45 000 levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 deze kasstromen op: €21 000, €18 000, €18 000. De vermogenskosten zijn 6 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
Een investering van €40 000 levert 4 jaar lang aan het eind van elk jaar €11 500 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
C0 = €40 000CF = €11 500n = 4
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 3% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 3 jaar af. Het effectieve rendement is 3,5% per jaar. Bereken de koers P van de obligatie.
F = €1 000coupon = 3%YTM = 3,5%n = 3
P = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 4% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 11 jaar af. Ze wordt verkocht voor €1 045. Bereken het effectieve rendement YTM als jaarrente (twee keer het halfjaarlijkse rendement), in procenten.
F = €1 000coupon = 4% (2×)n = 11P = €1 045
YTM = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming is gefinancierd met gewone aandelen ter waarde van €8 000 000, preferente aandelen ter waarde van €1 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €3 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 10%, de kosten van de preferente aandelen 7% en de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting 4,5%. Het belastingtarief is 28%. Bereken de WACC.
De aandelen van een onderneming hebben een bèta van 1,3 bij de huidige verhouding vreemd/eigen vermogen van 0,4. Ze wil die verhouding verhogen tot 0,6. Het belastingtarief is 21%, de risicovrije rente 1% en de marktrisicopremie 4%. Bereken de kosten van het eigen vermogen re na de wijziging.
De gewichten van zakken zijn normaal verdeeld met gemiddelde 250 g en standaardafwijking 5 g. Welk deel ligt tussen 240,25 en 254 g? Geef P als decimaal getal.
μ = 250σ = 5x1 = 240,25x2 = 254
P =
14.Normale verdelingMoeilijk
De gewichten van zakken zijn normaal verdeeld met gemiddelde 250 g en standaardafwijking 5 g. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde bovenste 15% rechts ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.
μ = 250 gσ = 5 g15%
x = g
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
Een steekproef van 16 items heeft gemiddelde 70 en standaardafwijking s = 3,5. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de ondergrens van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.
n = 16x̄ = 70s = 3,595%t(15) = 2,131
ondergrens =
16.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
Twee kunstmeststoffen worden getest. Groep 1: 11 proefvelden, gemiddelde opbrengst 73 kg, standaardafwijking 1 kg. Groep 2: 5 proefvelden, gemiddelde 67,5 kg, standaardafwijking 4,5 kg. Neem gelijke varianties aan (gepoolde t, df = n₁ + n₂ − 2). Bereken de bovengrens van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.
Twee productielijnen maken hetzelfde onderdeel. Lijn 1: een steekproef van 80 onderdelen heeft een gemiddelde lengte van 95 mm, en de bekende standaardafwijking van de lijn is 9 mm. Lijn 2: een steekproef van 80 onderdelen heeft gemiddelde 93,7 mm, bekende standaardafwijking 14 mm. Bereken de toetsingsgrootheid z voor H₀: μ₁ = μ₂, met als verschil x̄₁ − x̄₂ (lijn 1 min lijn 2).
Hoe groot moet een steekproef zijn zodat het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde een foutmarge van hoogstens 0,5 heeft? De standaardafwijking is 15. Bereken de kleinste steekproefomvang n.
σ = 15E = 0,595%
n =
19.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voorspel ŷ voor x = 7.
n = 5x = 7
ŷ =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 2347 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Exponent
r·t = 0,08·2 = 0,16
e0,16 = 1,174
Eindwaarde
FV = 2 000·1,174 = €2 347,02
Antwoord
FV = €2 347,02
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: N = 66 betalingen
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Herschrijf de annuïteitenformule
i = 0,0025
(1 + i)−N = 1 − 15 000·0,0025/250 = 0,85
Los op met logaritmen
N = −ln(0,85)/ln(1,002) = 65,09
Rond naar boven af op hele betalingen
65 volledige betalingen laten een klein saldo over, dat de laatste, kleinere betaling aflost.
N = 66
Antwoord
N = 66 betalingen
3.NCW & IRR
Antwoord: NPV = 5944 €
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Contante waarde van elke kasstroom
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,06)1 = 21 000/1,06 = 19 811,32
CF2/(1 + 0,06)2 = 18 000/1,124 = 16 019,94
CF3/(1 + 0,06)3 = 18 000/1,191 = 15 113,15
Optellen
NPV = €5 944,40
Antwoord
NPV = €5 944,40
De NCW is positief, dus het project verdient meer dan het vereiste rendement.
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 5,835 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Benodigde annuïteitsfactor
(1 − (1 + i)−4)/i = 40 000/11 500 = 3,478
Los de rente op
De annuïteitsfactor daalt als de rente stijgt; sluit de rente in tussen twee waarden en verklein het interval.
i = 5%: 3,546
i = 6%: 3,465
IRR = 5,835%
Antwoord
IRR = 5,835%
5.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: P = 985,9 €
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Per periode
C = €15,00, i = 0,0175, N = 6
Contante waarde van de coupons
€15,00·(1 − 0,9011)/0,0175 = €84,73
Contante waarde van de nominale waarde
€1 000·0,9011 = €901,14
Koers
P = €985,88
Antwoord
P = €985,88
Het rendement ligt boven de couponrente, dus de obligatie wordt onder pari verkocht.
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: YTM = 3,504 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Per periode
C = €20,00, N = 22
Los numeriek op
i = 1,752% per halfjaar
YTM
YTM = 2·1,752% = 3,504%
Antwoord
YTM = 3,504%
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 8,06 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Bèta met hefboom (Hamada): vreemd vermogen maakt het eigen vermogen riskanter. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), waarbij βU de bèta van de onderneming zonder schuld is. Om een bèta naar een andere vermogensstructuur om te zetten, haal je eerst de hefboom eruit (unlever) en reken je hem daarna opnieuw in bij de nieuwe D/E (relever).
Haal de hefboom uit de bèta
βU = 1,3/(1 + 0,79·0,4) = 0,9878
Reken de hefboom in bij de nieuwe D/E
βL = 0,9878·(1 + 0,79·0,6) = 1,456
Kosten eigen vermogen (CAPM)
re = 1% + 1,456·4% = 6,824%
Antwoord
re = 6,824%
9.Beschrijvende statistiek
Antwoord: s = 11,34
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = 1,25
Tabel standaardnormale verdeling
Φ(1,25) = 0,8944
P = 0,8944
Antwoord
P = 0,8944
11.Kansrekening
Antwoord: Var(X) = 1,548
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.
z-scores
z₁ = (240,25 − 250)/5 = −1,95
z₂ = (254 − 250)/5 = 0,8
Oppervlakte ertussen
P = Φ(0,8) − Φ(−1,95) = 0,7881 − 0,02559 = 0,7626
Antwoord
P = 0,7626
14.Normale verdeling
Antwoord: x = 255,2 g
Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.
Oppervlak links
Φ(z) = 0,85
z uit de tabel
z ≈ 1,04
Terug naar de oorspronkelijke eenheden
x = 250 + 1,04·5 = 255,2 g
Antwoord
x = 255,2 g
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: ondergrens = 68,14
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
Kritieke waarde
df = n − 1 = 15, t = 2,131
Foutmarge
E = 2,131·3,5/√16 = 1,865
Interval
70 ± 1,865 → [68,14, 71,86]
Antwoord
ondergrens = 68,14
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: bovengrens = 8,45 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Gepoolde standaardafwijking
sp² = (10·1² + 4·4,5²)/14 = 6,5
sp = 2,55
Foutmarge
E = 2,145·2,55·√(1/11 + 1/5) = 2,95
Interval
5,5 ± 2,95 → [2,55, 8,45]
Antwoord
bovengrens = 8,45 kg
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: z = 0,6986
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Standaardfout van het verschil
SE = √(9²/80 + 14²/80) = √3,463 = 1,861
Toetsingsgrootheid
z = (95 − 93,7)/1,861 = 0,6986
Antwoord
z = 0,6986
|z| < 1.96, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 3458
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
n oplossen
n = (1,96·15/0,5)² = 3457
Naar boven afronden
n = 3458
Antwoord
n = 3458
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r = 0,6945
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gecentreerde sommen
Sxy = 1219 − 27·266/6 = 22
Sxx = 139 − 27²/6 = 17,5
Syy = 11850 − 266²/6 = 57,33
Correlatiecoëfficiënt
r = 22/√(17,5·57,33) = 0,6945
Antwoord
r = 0,6945
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: ŷ = 68,6
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 322/5 = 64,4
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 168
Regressielijn
b = 168/40 = 4,2
a = 64,4 − 4,2·6 = 39,2
ŷ = 39,2 + 4,2·x
Voorspelling
ŷ = 39,2 + 4,2·7 = 68,6
Antwoord
ŷ = 68,6
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.