Een annuïteit betaalt 16 jaar lang aan het eind van elk jaar €3 000. De rente is 7 % per jaar. Bereken de contante waarde PV van de annuïteit.
A = €3 000i = 7%n = 16
PV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Je stort 20 jaar lang aan het begin van elk jaar €1 000, de eerste storting vandaag. De rekening geeft 6 % per jaar. Hoeveel staat er aan het eind van jaar 20 op de rekening? Bereken FV.
A = €1 000i = 6%n = 20
FV = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een machine kost vandaag €40 000, gaat 7 jaar mee en kost €1 000 per jaar aan bedrijfskosten (betaald aan het eind van elk jaar). De vermogenskosten zijn 10 %. Bereken de equivalente jaarlijkse kosten EAC.
C0 = €40 000M = €1 000n = 7r = 10%
EAC = €
4.NCW & IRRMoeilijk
Een project kost €50 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 €36 000, €37 000, €31 500 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
CF0 = −50 000CF1 = 36 000CF2 = 37 000CF3 = 31 500
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 4% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 6 jaar af. Het effectieve rendement is 9% per jaar. Bereken de koers P van de obligatie.
F = €1 000coupon = 4%YTM = 9%n = 6
P = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 en een jaarlijkse coupon van 5% loopt over 4 jaar af en wordt verkocht voor €965. Bereken het effectieve rendement YTM in procenten.
F = €1 000coupon = 5%n = 4P = €965
YTM = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €2 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €6 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 9%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 7% en het belastingtarief is 25%. Bereken de WACC.
E = €2 000 000D = €6 000 000re = 9%rd = 7%T = 25%
WACC = %
8.CAPM en WACCMoeilijk
Een onderneming heeft 2 000 000 aandelen van €12,50 per stuk en 40 000 obligaties met een koers van €1 020 per stuk. De kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 3% en het belastingtarief is 20%. De bèta van het aandeel is 1,1, de risicovrije rente 1,5% en het marktrendement 5,5%. Bereken de WACC.
β = 1,1rf = 1,5%rm = 5,5%rd = 3%T = 20%
WACC = %
9.Beschrijvende statistiekGemiddeld
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 23, 44, 38, 51, 55, 60.
n = 6
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 100 en standaardafwijking 20. Bereken de z-score z van een score van 140.
μ = 100σ = 20x = 140
z =
11.KansrekeningGemiddeld
Er wordt 7 keer met een eerlijke dobbelsteen gegooid. Wat is de kans P op minstens één zes?
n = 7
P =
12.KansrekeningMoeilijk
X heeft de getoonde verdeling, en Y = 2X + 4. Bepaal de standaardafwijking σY van Y.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,2, 0,35, 0,1, 0,35Y = 2X + 4
σY =
13.Normale verdelingGemiddeld
Sleep z zo dat het gearceerde oppervlak tussen −z en z onder de standaardnormale kromme 0,8501 is. Bepaal z op twee decimalen.
A = 0,8501
z =
14.Normale verdelingMoeilijk
De massa X van een product van lijn 1 en Y van lijn 2 zijn onafhankelijk en normaal verdeeld: X heeft gemiddelde 500 g en standaardafwijking 8 g, Y heeft gemiddelde 490 g en standaardafwijking 6 g. Bepaal de kans P dat X groter is dan Y. Rond z af op twee decimalen.
μX = 500 g, σX = 8 gμY = 490 g, σY = 6 g
P =
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
De bloeddruk van 13 patiënten wordt gemeten voor en na een behandeling. De verschillen d = voor − na (mmHg) hebben gemiddelde −5,4 en standaardafwijking 1,2. Bereken de ondergrens van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde verschil.
n = 13d̄ = −5,4sd = 1,295%t(12) = 2,179
ondergrens = mmHg
16.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
De standaardafwijking van de populatie is 21. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 5 heeft?
Twee productielijnen maken hetzelfde onderdeel. Lijn 1: een steekproef van 40 onderdelen heeft een gemiddelde lengte van 60,5 mm, en de bekende standaardafwijking van de lijn is 17 mm. Lijn 2: een steekproef van 100 onderdelen heeft gemiddelde 54,4 mm, bekende standaardafwijking 18 mm. Bereken de toetsingsgrootheid z voor H₀: μ₁ = μ₂, met als verschil x̄₁ − x̄₂ (lijn 1 min lijn 2).
Een eenzijdige z-toets bij α = 0,05 moet een verschuiving van het gemiddelde van 2,5 eenheden ontdekken met een onderscheidend vermogen van 95 %. De standaardafwijking is 19. Bereken de minimale steekproefomvang n.
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Bereken de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.
n = 5
r =
20.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = temperatuur in °C en y = verkochte ijsjes. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Er wordt een nieuwe waarneming (19, 94) gedaan. Bereken het residu e = y − ŷ.
n = 5(19, 94)
e =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: PV = 28340 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Annuïteitsfactor
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,3387)/0,07 = 9,447
Contante waarde
PV = 3 000·9,447 = €28 339,95
Antwoord
PV = €28 339,95
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 38993 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Gewone annuïteitsfactor
((1 + 0,06)20 − 1)/0,06 = 36,79
Prenumerando annuïteit
Elke storting staat een jaar langer uit.
FV = 1 000·36,79·1,06 = €38 992,73
Antwoord
FV = €38 992,73
3.NCW & IRR
Antwoord: EAC = 9216 €
Equivalente jaarlijkse kosten: spreid de contante waarde van alle kosten over de levensduur als een gelijk jaarlijks bedrag (een annuïteit): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Zo kun je machines met verschillende levensduren vergelijken.
Annuïteitsfactor
(1 − 1,1−7)/0,1 = 4,868
Aanschafprijs omgerekend per jaar
40 000/4,868 = 8 216,22
EAC
EAC = 8 216,22 + 1 000 = €9 216,22
Antwoord
EAC = €9 216,22
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 49,61 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De IRR insluiten
De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.
NPV(45%) = 2 758,21
NPV(50%) = −222,22
Verfijnen
Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Per periode
C = €20,00, i = 0,045, N = 12
Contante waarde van de coupons
€20,00·(1 − 0,5897)/0,045 = €182,37
Contante waarde van de nominale waarde
€1 000·0,5897 = €589,66
Koers
P = €772,04
Antwoord
P = €772,04
Het rendement ligt boven de couponrente, dus de obligatie wordt onder pari verkocht.
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: YTM = 6,01 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vergelijking voor het rendement
€965 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴
Los numeriek op
P(6%) = €965,35, P(7%) = €932,26
YTM = 6,01%
Antwoord
YTM = 6,01%
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 6,188 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Gewichten
V = €8 000 000, E/V = 0,25, D/V = 0,75
WACC
WACC = 0,25·9% + 0,75·7%·(1 − 0,25) = 6,188%
Antwoord
WACC = 6,188%
8.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 3,73 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Marktwaarden
E = 2 000 000·€12,50 = €25 000 000
D = 40 000·€1 020 = €40 800 000
Kosten eigen vermogen (CAPM)
re = 1,5% + 1,1·4% = 5,9%
Gewichten
V = €65 800 000, E/V = 0,3799, D/V = 0,6201
WACC
WACC = 0,3799·5,9% + 0,6201·3%·(1 − 0,2) = 3,73%
Antwoord
WACC = 3,73%
9.Beschrijvende statistiek
Antwoord: s = 13,38
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = (140 − 100)/20 = 2
Antwoord
z = 2
11.Kansrekening
Antwoord: P = 0,7209
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Complement
P(geen zes) = (5/6)7 = 0,2791
P = 1 − 0,2791 = 0,7209
Antwoord
P = 0,7209
12.Kansrekening
Antwoord: σY = 2,315
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.
Oppervlak links van z
Φ(z) = (1 + 0,8501)/2 = 0,9251
Lees de z-tabel achterstevoren
Zoek 0,9251 in de tabel en lees z af.
z = 1,44
Antwoord
z = 1,44
14.Normale verdeling
Antwoord: P = 0,8413
Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μX ± μY. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σX² + σY², dus σ = √(σX² + σY²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.
Verdeling van het verschil
μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g
Standaardiseren
z = (0 − 10)/10 = −1
Kansrekening
P = 1 − Φ(−1) = 0,8413
Antwoord
P = 0,8413
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: ondergrens = −6,125 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Kritieke waarde
df = 12, t = 2,179
Foutmarge
E = 2,179·1,2/√13 = 0,7252
Interval
−5,4 ± 0,7252 → [−6,125, −4,675]
Antwoord
ondergrens = −6,125 mmHg
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 118
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
n oplossen
n = (2,576·21/5)² = 117,1
Naar boven afronden
Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.
n = 118
Antwoord
n = 118
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: z = 1,886
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Standaardfout van het verschil
SE = √(17²/40 + 18²/100) = √10,46 = 3,235
Toetsingsgrootheid
z = (60,5 − 54,4)/3,235 = 1,886
Antwoord
z = 1,886
|z| < 1.96, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 626
Steekproefomvang voor een toets: om een werkelijke verschuiving δ te ontdekken met onderscheidend vermogen 1 − β in een eenzijdige z-toets bij niveau α, moet de standaardfout voldoen aan δ = (z_α + z_β)·σ/√n, dus n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², naar boven afgerond.
n oplossen
n = ((1,645 + 1,645)·19/2,5)² = 625,2
Naar boven afronden
n = 626
Antwoord
n = 626
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r = 0,7994
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 261/5 = 52,2
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 36
Syy = Σ(y − ȳ)² = 202,8
Correlatiecoëfficiënt
r = 36/√(10·202,8) = 0,7994
Antwoord
r = 0,7994
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: e = 5
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 90/5 = 18
ȳ = 419/5 = 83,8
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 208
Regressielijn
b = 208/40 = 5,2
a = 83,8 − 5,2·18 = −9,8
ŷ = −9,8 + 5,2·x
Voorspelde waarde
ŷ = −9,8 + 5,2·19 = 89
Residu
e = 94 − 89 = 5
Antwoord
e = 5
Het punt ligt boven de lijn.
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.