Je belegt €2 000 tegen een nominale rente van 3 % per jaar, maandelijks samengesteld. Bereken de waarde FV van de belegging na 3 jaar.
PV = €2 0003% / 12n = 3
FV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Je spaart 28 jaar lang aan het eind van elke maand €500. De rekening geeft 3 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel heb je aan het eind gespaard? Bereken FV.
A = €5003% / 12N = 336
FV = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een project kost vandaag €200 000. Het levert aan het eind van het eerste jaar €18 000 op, en de kasstroom groeit daarna voor altijd met 1 % per jaar. De vermogenskosten zijn 11 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
C0 = €200 000CF1 = €18 000g = 1%r = 11%
NPV = €
4.NCW & IRRMoeilijk
Een project kost €40 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 €28 500, €15 500, €19 000 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
CF0 = −40 000CF1 = 28 500CF2 = 15 500CF3 = 19 000
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 loopt over 13 jaar af en betaalt jaarlijkse coupons. Ze wordt verkocht voor €1 494 als het effectieve rendement 2,5% is. Bereken het couponpercentage c in procenten.
F = €1 000n = 13P = €1 494YTM = 2,5%
c = %
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 4% en loopt over 3 jaar af. Het effectieve rendement is 6%. Bereken de Macaulay-duration D in jaren.
F = €1 000coupon = 4%n = 3YTM = 6%
D = jaar
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €2 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €1 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 8%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 3% en het belastingtarief is 21%. Bereken de WACC.
E = €2 000 000D = €1 000 000re = 8%rd = 3%T = 21%
WACC = %
8.CAPM en WACCMoeilijk
Een onderneming heeft 2 000 000 aandelen van €43,00 per stuk en 20 000 obligaties met een koers van €960 per stuk. De kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 3% en het belastingtarief is 30%. De bèta van het aandeel is 1,5, de risicovrije rente 3% en het marktrendement 10%. Bereken de WACC.
β = 1,5rf = 3%rm = 10%rd = 3%T = 30%
WACC = %
9.Beschrijvende statistiekGemiddeld
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 24, 34, 57, 19, 50.
n = 5
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 50 en standaardafwijking 5. Welk deel P van de waarden ligt boven 53?
μ = 50σ = 5x = 53
P =
11.KansrekeningGemiddeld
Er wordt 7 keer met een eerlijke dobbelsteen gegooid. Wat is de kans P op minstens één zes?
n = 7
P =
12.KansrekeningMoeilijk
X heeft de getoonde verdeling, en Y = 2X + 1. Bepaal de standaardafwijking σY van Y.
De IQ-scores zijn normaal verdeeld met gemiddelde 100 punten en standaardafwijking 15 punten. Welk deel ligt tussen 82,75 en 112 punten? Geef P als decimaal getal.
μ = 100σ = 15x1 = 82,75x2 = 112
P =
14.Normale verdelingMoeilijk
De levensduren van batterijen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 500 h en standaardafwijking 40 h. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde onderste 20% links ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.
μ = 500 hσ = 40 h20%
x = h
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
Een 99%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde, gebaseerd op 25 waarnemingen en een bekende σ, heeft een foutmarge van 3,6. Wat is de foutmarge E₂ van een 90%-interval uit dezelfde data?
99%n₁ = 25E₁ = 3,690%
E₂ =
16.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
De standaardafwijking van de populatie is 20. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 1 heeft?
Een steekproef van 81 studenten heeft een gemiddelde score van 119 en een steekproefstandaardafwijking van 4. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 120.
Een eenzijdige z-toets bij α = 0,01 moet een verschuiving van het gemiddelde van 5 eenheden ontdekken met een onderscheidend vermogen van 90 %. De standaardafwijking is 27. Bereken de minimale steekproefomvang n.
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.
n = 6Σx = 21Σy = 140Σx² = 91Σy² = 3408Σxy = 442
r =
20.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Er wordt een nieuwe waarneming (9, 24) gedaan. Bereken het residu e = y − ŷ.
n = 6(9, 24)
e =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 2188 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Waarde van de kasstromen
PV = 18 000/(0,11 − 0,01) = 180 000,00
NPV
NPV = 180 000,00 − 200 000 = −€20 000,00
Antwoord
NPV = −€20 000,00
De NCW is negatief, dus het project verdient minder dan het vereiste rendement.
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 29,5 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De IRR insluiten
De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.
NPV(25%) = 2 448,00
NPV(30%) = −257,17
Verfijnen
Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Contante waarde van de nominale waarde
1000·(1 + 0,025)−13 = €725,42
Coupon
C = (1494 − 725,42)/10,98 = €69,98
Couponrente
c = 69,98/1000 = 6,998%
Antwoord
c = 6,998%
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: D = 2,883 jaar
Duration: de Macaulay-duration is het gewogen gemiddelde tijdstip waarop een obligatie haar kasstromen uitbetaalt, met de contante waarden van de kasstromen als gewichten: D = Σ t·PVₜ/P. De gemodificeerde duration D/(1 + y) schat de procentuele koersverandering bij een kleine verandering van het rendement: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Contante waarde van elke kasstroom
t = 1: 40/1,06 = 37,74, t·PV = 37,74
t = 2: 40/1,124 = 35,60, t·PV = 71,20
t = 3: 1040/1,191 = 873,20, t·PV = 2 619,61
Duration
P = 946,54
D = 2 728,55/946,54 = 2,883
Antwoord
D = 2,883 jaar
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 6,123 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Gewichten
V = €3 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333
WACC
WACC = 0,6667·8% + 0,3333·3%·(1 − 0,21) = 6,123%
Antwoord
WACC = 6,123%
8.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 11,42 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = 0,6
Tabel standaardnormale verdeling
Φ(0,6) = 0,7257
P = 1 − 0,7257 = 0,2743
Antwoord
P = 0,2743
11.Kansrekening
Antwoord: P = 0,7209
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Complement
P(geen zes) = (5/6)7 = 0,2791
P = 1 − 0,2791 = 0,7209
Antwoord
P = 0,7209
12.Kansrekening
Antwoord: σY = 2,629
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.
z-scores
z₁ = (82,75 − 100)/15 = −1,15
z₂ = (112 − 100)/15 = 0,8
Oppervlakte ertussen
P = Φ(0,8) − Φ(−1,15) = 0,7881 − 0,1251 = 0,6631
Antwoord
P = 0,6631
14.Normale verdeling
Antwoord: x = 466 h
Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.
Oppervlak links
Φ(z) = 0,2
z uit de tabel
z ≈ −0,84
Terug naar de oorspronkelijke eenheden
x = 500 − 0,84·40 = 466 h
Antwoord
x = 466 h
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: E₂ = 2,299
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Verhouding van de marges
E₂/E₁ = (1,645/2,576)·√(25/25) = 0,6386
Nieuwe marge
E₂ = 3,6·0,6386 = 2,299
Antwoord
E₂ = 2,299
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 1537
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
n oplossen
n = (1,96·20/1)² = 1537
Naar boven afronden
Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.
n = 1537
Antwoord
n = 1537
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: t = −2,25
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
Standaardfout
SE = 4/√81 = 4/9 = 0,4444
Toetsingsgrootheid
t = (119 − 120)/0,4444 = −2,25
Antwoord
t = −2,25
t0,025; df = 80 = 1,99
|t| > 1,99, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 380
Steekproefomvang voor een toets: om een werkelijke verschuiving δ te ontdekken met onderscheidend vermogen 1 − β in een eenzijdige z-toets bij niveau α, moet de standaardfout voldoen aan δ = (z_α + z_β)·σ/√n, dus n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², naar boven afgerond.
n oplossen
n = ((2,326 + 1,282)·27/5)² = 379,6
Naar boven afronden
n = 380
Antwoord
n = 380
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r = −0,9652
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gecentreerde sommen
Sxy = 442 − 21·140/6 = −48
Sxx = 91 − 21²/6 = 17,5
Syy = 3408 − 140²/6 = 141,3
Correlatiecoëfficiënt
r = −48/√(17,5·141,3) = −0,9652
Antwoord
r = −0,9652
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: e = −1,5
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 123/6 = 20,5
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 175
Regressielijn
b = 175/70 = 2,5
a = 20,5 − 2,5·7 = 3
ŷ = 3 + 2,5·x
Voorspelde waarde
ŷ = 3 + 2,5·9 = 25,5
Residu
e = 24 − 25,5 = −1,5
Antwoord
e = −1,5
Het punt ligt onder de lijn.
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.