Je hebt over 8 jaar €50 000 nodig. Een rekening geeft 6 % per jaar, per kwartaal samengesteld. Hoeveel moet je vandaag storten? Bereken de contante waarde PV.
FV = €50 0006% / 4n = 8
PV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Een hypotheek van €300 000 wordt in 20 jaar afgelost met gelijke maandbedragen tegen 3,6 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel is er nog verschuldigd direct na de betaling aan het eind van jaar 13? Bereken de restschuld B.
P = €300 0003,6% / 12N = 240k = 156
B = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een machine kost vandaag €40 000, gaat 9 jaar mee en kost €1 500 per jaar aan bedrijfskosten (betaald aan het eind van elk jaar). De vermogenskosten zijn 6 %. Bereken de equivalente jaarlijkse kosten EAC.
C0 = €40 000M = €1 500n = 9r = 6%
EAC = €
4.NCW & IRRMoeilijk
Een project kost €20 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 2 €7 500, €14 000 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
CF0 = −20 000CF1 = 7 500CF2 = 14 000
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 5% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 4 jaar af. Het effectieve rendement is 2,5% per jaar. Bereken de koers P van de obligatie.
F = €1 000coupon = 5%YTM = 2,5%n = 4
P = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een resterende looptijd van 19 jaar (nominale waarde €1 000, jaarlijkse coupon 8%) wordt verkocht voor €1 103. De uitgever kan haar over 6 jaar vervroegd aflossen tegen een aflossingsprijs van €1 080. Bereken het rendement tot vervroegde aflossing (yield to call) YTC in procenten.
F = €1 000coupon = 8%P = €1 103aflossingsprijs = €1 080vervroegd aflosbaar over 6 jaar
YTC = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €6 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €4 000 000. De WACC is 8,4%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting 6% en het belastingtarief is 25%. Bereken de kosten van het eigen vermogen re.
De aandelen van een onderneming hebben een bèta van 1,5 bij de huidige verhouding vreemd/eigen vermogen van 0,5. Ze wil die verhouding verhogen tot 1. Het belastingtarief is 30%, de risicovrije rente 2,5% en de marktrisicopremie 6,5%. Bereken de kosten van het eigen vermogen re na de wijziging.
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 29, 58, 49, 47, 48, 52, 53.
n = 7
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 50 en standaardafwijking 20. Welk deel P van de waarden ligt boven 58?
μ = 50σ = 20x = 58
P =
11.KansrekeningGemiddeld
Bepaal voor de getoonde verdeling de standaardafwijking σ van X.
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,3, 0,25, 0,2, 0,25
σ =
12.KansrekeningMoeilijk
Er worden 5 onderdelen getest, en elk valt onafhankelijk uit met kans 0,7. Wat is de kans P dat er hoogstens één uitvalt?
n = 5p = 0,7
P =
13.Normale verdelingGemiddeld
De gewichten van zakken zijn normaal verdeeld met gemiddelde 250 g en standaardafwijking 5 g. Welk deel ligt tussen 250 en 255,25 g? Geef P als decimaal getal.
μ = 250σ = 5x1 = 250x2 = 255,25
P =
14.Normale verdelingMoeilijk
De lengtes van volwassen mannen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 178 cm en standaardafwijking 7 cm. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde bovenste 30% rechts ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.
μ = 178 cmσ = 7 cm30%
x = cm
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
Een steekproef van 20 items heeft gemiddelde 30 en standaardafwijking s = 2,5. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de ondergrens van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.
n = 20x̄ = 30s = 2,599%t(19) = 2,861
ondergrens =
16.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
Twee kunstmeststoffen worden getest. Groep 1: 11 proefvelden, gemiddelde opbrengst 26,5 kg, standaardafwijking 4 kg. Groep 2: 5 proefvelden, gemiddelde 33,5 kg, standaardafwijking 9,5 kg. Neem gelijke varianties aan (gepoolde t, df = n₁ + n₂ − 2). Bereken de bovengrens van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.
Een steekproef van 100 studenten heeft een gemiddelde score van 118,2 en een steekproefstandaardafwijking van 20. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 120.
Een steekproef van 100 metingen heeft gemiddelde 202,1. De standaardafwijking van de populatie is 8. Bereken de bovengrens U van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.
x̄ = 202,1σ = 8n = 10090%
U =
19.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.
n = 5Σx = 15Σy = 96Σx² = 55Σy² = 1954Σxy = 255
r =
20.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = temperatuur in °C en y = verkochte ijsjes. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voor welke waarde x voorspelt de lijn ŷ = 101?
n = 5ŷ = 101
x =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: PV = 31050 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Rente en aantal perioden
i = 0,06/4 = 0,015
N = 4·8 = 32
Contante waarde
PV = FV/(1 + i)N = 50 000/1,61 = €31 049,65
Antwoord
PV = €31 049,65
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: B = 130165 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Wat er nog verschuldigd is, moet precies worden afbetaald met de resterende betalingen.
N − k = 240 − 156 = 84
B = 1755·(1 − (1 + 0,003)−84)/0,003 = €130 165,06
Antwoord
B = €130 165,06
3.NCW & IRR
Antwoord: EAC = 7381 €
Equivalente jaarlijkse kosten: spreid de contante waarde van alle kosten over de levensduur als een gelijk jaarlijks bedrag (een annuïteit): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Zo kun je machines met verschillende levensduren vergelijken.
Annuïteitsfactor
(1 − 1,06−9)/0,06 = 6,802
Aanschafprijs omgerekend per jaar
40 000/6,802 = 5 880,89
EAC
EAC = 5 880,89 + 1 500 = €7 380,89
Antwoord
EAC = €7 380,89
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 4,491 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De IRR insluiten
De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.
NPV(0%) = 1 500,00
NPV(5%) = −158,73
Verfijnen
Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Per periode
C = €25,00, i = 0,0125, N = 8
Contante waarde van de coupons
€25,00·(1 − 0,9054)/0,0125 = €189,20
Contante waarde van de nominale waarde
€1 000·0,9054 = €905,40
Koers
P = €1 094,60
Antwoord
P = €1 094,60
Het rendement ligt onder de couponrente, dus de obligatie wordt boven pari verkocht.
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: YTC = 6,961 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vergelijking voor het rendement
1103 = 80·(1 − (1 + y)−6)/y + 1080/(1 + y)6
Los numeriek op
y = 6%: €1 154,74
y = 7%: €1 100,97
YTC = 6,961%
Antwoord
YTC = 6,961%
Het effectieve rendement tot de einddatum is 7,003%. Beleggers in een obligatie boven pari verwachten dat ze vervroegd wordt afgelost, dus de lagere yield to call is de realistischere.
7.CAPM en WACC
Antwoord: re = 11 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Gewichten
V = €10 000 000, E/V = 0,6, D/V = 0,4
Deel van het vreemd vermogen in de WACC
0,4·6%·(1 − 0,25) = 1,8%
Kosten van het eigen vermogen
re = (8,4% − 1,8%)/0,6 = 11%
Antwoord
re = 11%
8.CAPM en WACC
Antwoord: re = 14,78 %
Bèta met hefboom (Hamada): vreemd vermogen maakt het eigen vermogen riskanter. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), waarbij βU de bèta van de onderneming zonder schuld is. Om een bèta naar een andere vermogensstructuur om te zetten, haal je eerst de hefboom eruit (unlever) en reken je hem daarna opnieuw in bij de nieuwe D/E (relever).
Haal de hefboom uit de bèta
βU = 1,5/(1 + 0,7·0,5) = 1,111
Reken de hefboom in bij de nieuwe D/E
βL = 1,111·(1 + 0,7·1) = 1,889
Kosten eigen vermogen (CAPM)
re = 2,5% + 1,889·6,5% = 14,78%
Antwoord
re = 14,78%
9.Beschrijvende statistiek
Antwoord: s = 9,165
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = 0,4
Tabel standaardnormale verdeling
Φ(0,4) = 0,6554
P = 1 − 0,6554 = 0,3446
Antwoord
P = 0,3446
11.Kansrekening
Antwoord: σ = 11,58
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Nul en één uitval
P(X = 0) = 0,35 = 0,00243
P(X = 1) = 5·0,7·0,34 = 0,02835
Tel ze op
P = 0,00243 + 0,02835 = 0,03078
Antwoord
P = 0,03078
13.Normale verdeling
Antwoord: P = 0,3531
Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.
z-scores
z₁ = (250 − 250)/5 = 0
z₂ = (255,25 − 250)/5 = 1,05
Oppervlakte ertussen
P = Φ(1,05) − Φ(0) = 0,8531 − 0,5 = 0,3531
Antwoord
P = 0,3531
14.Normale verdeling
Antwoord: x = 181,6 cm
Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.
Oppervlak links
Φ(z) = 0,7
z uit de tabel
z ≈ 0,52
Terug naar de oorspronkelijke eenheden
x = 178 + 0,52·7 = 181,6 cm
Antwoord
x = 181,6 cm
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: ondergrens = 28,4
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
Kritieke waarde
df = n − 1 = 19, t = 2,861
Foutmarge
E = 2,861·2,5/√20 = 1,599
Interval
30 ± 1,599 → [28,4, 31,6]
Antwoord
ondergrens = 28,4
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: bovengrens = 2,795 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Gepoolde standaardafwijking
sp² = (10·4² + 4·9,5²)/14 = 37,21
sp = 6,1
Foutmarge
E = 2,977·6,1·√(1/11 + 1/5) = 9,795
Interval
−7 ± 9,795 → [−16,8, 2,795]
Antwoord
bovengrens = 2,795 kg
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: t = −0,9
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
Standaardfout
SE = 20/√100 = 20/10 = 2
Toetsingsgrootheid
t = (118,2 − 120)/2 = −0,9
Antwoord
t = −0,9
t0,025; df = 99 = 1,984
|t| < 1.984, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: U = 203,4
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
Foutmarge
E = 1,645·8/√100 = 1,316
Intervalgrens
U = 202,1 + 1,316 = 203,4
Antwoord
U = 203,4
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r = −0,9914
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gecentreerde sommen
Sxy = 255 − 15·96/5 = −33
Sxx = 55 − 15²/5 = 10
Syy = 1954 − 96²/5 = 110,8
Correlatiecoëfficiënt
r = −33/√(10·110,8) = −0,9914
Antwoord
r = −0,9914
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: x = 19,94
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 105/5 = 21
ȳ = 540/5 = 108
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 264
Regressielijn
b = 264/40 = 6,6
a = 108 − 6,6·21 = −30,6
ŷ = −30,6 + 6,6·x
Los op naar x
x = (101 − (−30,6))/6,6 = 19,94
Antwoord
x = 19,94
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.