Je hebt over 7 jaar €20 000 nodig. Een rekening geeft 4,8 % per jaar, per kwartaal samengesteld. Hoeveel moet je vandaag storten? Bereken de contante waarde PV.
FV = €20 0004,8% / 4n = 7
PV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Je wilt over 9 jaar €10 000 hebben. Je spaart aan het eind van elke maand hetzelfde bedrag op een rekening die 4,2 % per jaar geeft, maandelijks samengesteld. Bereken de maandelijkse inleg A.
FV = €10 0004,2% / 12N = 108
A = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een investering van €75 000 levert aan het eind van jaar 1 tot en met 4 deze kasstromen op: €19 000, €29 000, €22 000, €29 000. De vermogenskosten zijn 9 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
Een investering van €80 000 levert 3 jaar lang aan het eind van elk jaar €33 000 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
C0 = €80 000CF = €33 000n = 3
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 loopt over 6 jaar af en betaalt jaarlijkse coupons. Ze wordt verkocht voor €865 als het effectieve rendement 9% is. Bereken het couponpercentage c in procenten.
F = €1 000n = 6P = €865YTM = 9%
c = %
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 en een jaarlijkse coupon van 7% loopt over 9 jaar af en wordt verkocht voor €855. Bereken het effectieve rendement YTM in procenten.
F = €1 000coupon = 7%n = 9P = €855
YTM = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €2 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €2 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 8%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 6% en het belastingtarief is 20%. Bereken de WACC.
E = €2 000 000D = €2 000 000re = 8%rd = 6%T = 20%
WACC = %
8.CAPM en WACCMoeilijk
De bedrijfsactiviteiten van een onderneming hebben een bèta zonder hefboom (asset beta) van 0,7. Ze is van plan een verhouding vreemd/eigen vermogen van 0,4 aan te houden. Het belastingtarief is 28%, de risicovrije rente 3% en de marktrisicopremie 7%. Bereken de kosten van het eigen vermogen re bij de nieuwe vermogensstructuur.
βU = 0,7D/E = 0,4T = 28%rf = 3%rm − rf = 7%
re = %
9.Beschrijvende statistiekGemiddeld
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 16, 54, 54, 25, 42.
n = 5
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 170 en standaardafwijking 20. Welk deel P van de waarden ligt onder 200?
μ = 170σ = 20x = 200
P =
11.KansrekeningGemiddeld
Een zak bevat 7 rode en 3 blauwe knikkers. Je pakt er twee zonder de eerste terug te leggen. Wat is de kans P dat ze allebei rood zijn?
7 / 3
P =
12.KansrekeningMoeilijk
Een spel kost €1 inzet. Je wint €3 met kans 0,2 en €20 met kans 0,05; anders win je niets. De inzet krijg je niet terug. Bepaal de verwachte nettowinst E(G) per spel.
inzet = €1€3: p = 0,2€20: p = 0,05
E(G) = €
13.Normale verdelingGemiddeld
De gewichten van zakken zijn normaal verdeeld met gemiddelde 250 g en standaardafwijking 5 g. Welk deel ligt tussen 248,5 en 254 g? Geef P als decimaal getal.
μ = 250σ = 5x1 = 248,5x2 = 254
P =
14.Normale verdelingMoeilijk
De examencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 65 punten en standaardafwijking 10 punten. Bereken de waarde x waaronder 20% ervan ligt (het 20e percentiel).
μ = 65σ = 10P = 20%
x = punten
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
De bloeddruk van 11 patiënten wordt gemeten voor en na een behandeling. De verschillen d = voor − na (mmHg) hebben gemiddelde 3,2 en standaardafwijking 2,2. Bereken de bovengrens van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde verschil.
n = 11d̄ = 3,2sd = 2,295%t(10) = 2,228
bovengrens = mmHg
16.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
De standaardafwijking van de populatie is 15. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 3 heeft?
7 werknemers doen een typetest voor en na een training. Voor elke persoon wordt het verschil d = na − voor (woorden per minuut) genoteerd. Het gemiddelde verschil is −1,44 en de standaardafwijking van de verschillen is 2. Bereken de toetsingsgrootheid t van de gepaarde toets voor H₀: μd = 0.
Een eenzijdige z-toets bij α = 0,01 moet een verschuiving van het gemiddelde van 2 eenheden ontdekken met een onderscheidend vermogen van 90 %. De standaardafwijking is 8. Bereken de minimale steekproefomvang n.
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Bereken de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.
n = 6
r =
20.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voor welke waarde x voorspelt de lijn ŷ = 45?
n = 6ŷ = 45
x =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: PV = 14321 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Rente en aantal perioden
i = 0,048/4 = 0,012
N = 4·7 = 28
Contante waarde
PV = FV/(1 + i)N = 20 000/1,397 = €14 321,08
Antwoord
PV = €14 321,08
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: A = 76,35 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Contante waarde van elke kasstroom
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,09)1 = 19 000/1,09 = 17 431,19
CF2/(1 + 0,09)2 = 29 000/1,188 = 24 408,72
CF3/(1 + 0,09)3 = 22 000/1,295 = 16 988,04
CF4/(1 + 0,09)4 = 29 000/1,412 = 20 544,33
Optellen
NPV = €4 372,28
Antwoord
NPV = €4 372,28
De NCW is positief, dus het project verdient meer dan het vereiste rendement.
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 11,46 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Benodigde annuïteitsfactor
(1 − (1 + i)−3)/i = 80 000/33 000 = 2,424
Los de rente op
De annuïteitsfactor daalt als de rente stijgt; sluit de rente in tussen twee waarden en verklein het interval.
i = 11%: 2,444
i = 12%: 2,402
IRR = 11,46%
Antwoord
IRR = 11,46%
5.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: c = 5,991 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Contante waarde van de nominale waarde
1000·(1 + 0,09)−6 = €596,27
Coupon
C = (865 − 596,27)/4,486 = €59,91
Couponrente
c = 59,91/1000 = 5,991%
Antwoord
c = 5,991%
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: YTM = 9,464 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vergelijking voor het rendement
€855 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹
Los numeriek op
P(9%) = €880,10, P(10%) = €827,23
YTM = 9,464%
Antwoord
YTM = 9,464%
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 6,4 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Gewichten
V = €4 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·8% + 0,5·6%·(1 − 0,2) = 6,4%
Antwoord
WACC = 6,4%
8.CAPM en WACC
Antwoord: re = 9,311 %
Bèta met hefboom (Hamada): vreemd vermogen maakt het eigen vermogen riskanter. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), waarbij βU de bèta van de onderneming zonder schuld is. Om een bèta naar een andere vermogensstructuur om te zetten, haal je eerst de hefboom eruit (unlever) en reken je hem daarna opnieuw in bij de nieuwe D/E (relever).
Bèta met hefboom
βL = 0,7·(1 + 0,72·0,4) = 0,9016
Kosten eigen vermogen (CAPM)
re = 3% + 0,9016·7% = 9,311%
Antwoord
re = 9,311%
9.Beschrijvende statistiek
Antwoord: s = 17,18
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = 1,5
Tabel standaardnormale verdeling
Φ(1,5) = 0,9332
P = 0,9332
Antwoord
P = 0,9332
11.Kansrekening
Antwoord: P = 0,4667
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Eerste en tweede trekking
P = 7/10 · 6/9 = 42/90 = 0,4667
Antwoord
P = 0,4667
12.Kansrekening
Antwoord: E(G) = 0,6 €
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Netto-uitkomsten
G: 2 (p = 0,2), 19 (p = 0,05), −1 (p = 0,75)
Verwachtingswaarde
E(G) = 2·0,2 + 19·0,05 − 1·0,75 = 0,6 €
Antwoord
E(G) = 0,6 €
Een positieve waarde betekent dat je gemiddeld geld wint.
13.Normale verdeling
Antwoord: P = 0,4061
Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.
z-scores
z₁ = (248,5 − 250)/5 = −0,3
z₂ = (254 − 250)/5 = 0,8
Oppervlakte ertussen
P = Φ(0,8) − Φ(−0,3) = 0,7881 − 0,3821 = 0,4061
Antwoord
P = 0,4061
14.Normale verdeling
Antwoord: x = 56,58 punten
Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.
z voor het percentiel
Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416
Terug naar x
x = 65 + −0,8416·10 = 56,58 punten
Antwoord
x = 56,58 punten
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: bovengrens = 4,678 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Kritieke waarde
df = 10, t = 2,228
Foutmarge
E = 2,228·2,2/√11 = 1,478
Interval
3,2 ± 1,478 → [1,722, 4,678]
Antwoord
bovengrens = 4,678 mmHg
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 97
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
n oplossen
n = (1,96·15/3)² = 96,04
Naar boven afronden
Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.
n = 97
Antwoord
n = 97
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: t = −1,905
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Standaardfout van het gemiddelde verschil
SE = 2/√7 = 0,7559
Toetsingsgrootheid
t = −1,44/0,7559 = −1,905
Antwoord
t = −1,905
Bij df = 6 is de tweezijdige kritieke waarde bij 5% gelijk aan 2,447; |t| is kleiner, dus H₀ wordt niet verworpen.
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 209
Steekproefomvang voor een toets: om een werkelijke verschuiving δ te ontdekken met onderscheidend vermogen 1 − β in een eenzijdige z-toets bij niveau α, moet de standaardfout voldoen aan δ = (z_α + z_β)·σ/√n, dus n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², naar boven afgerond.
n oplossen
n = ((2,326 + 1,282)·8/2)² = 208,3
Naar boven afronden
n = 209
Antwoord
n = 209
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r = 0,9976
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 116/6 = 19,33
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 188
Syy = Σ(y − ȳ)² = 507,3
Correlatiecoëfficiënt
r = 188/√(70·507,3) = 0,9976
Antwoord
r = 0,9976
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: x = 3,763
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 265/6 = 44,17
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 55,5
Regressielijn
b = 55,5/17,5 = 3,171
a = 44,17 − 3,171·3,5 = 33,07
ŷ = 33,07 + 3,171·x
Los op naar x
x = (45 − 33,07)/3,171 = 3,763
Antwoord
x = 3,763
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.