Je hebt over 5 jaar €25 000 nodig. Een rekening geeft 3,6 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel moet je vandaag storten? Bereken de contante waarde PV.
FV = €25 0003,6% / 12n = 5
PV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Je spaart 25 jaar lang aan het eind van elke maand €300. De rekening geeft 2,4 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel heb je aan het eind gespaard? Bereken FV.
A = €3002,4% / 12N = 300
FV = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een project kost vandaag €20 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 5 €9 000, €8 500, €7 000, €6 000, €7 500 op. De vermogenskosten zijn 5 %. Neem aan dat de kasstromen gelijkmatig over elk jaar binnenkomen. Bereken de verdisconteerde terugverdientijd DPB in jaren.
Een project kost €20 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 €12 000, €12 500, €10 000 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
CF0 = −20 000CF1 = 12 000CF2 = 12 500CF3 = 10 000
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 3% en loopt over 5 jaar af. Het effectieve rendement verandert van 2,5% naar 1%. Hoeveel ΔP verandert de koers van de obligatie?
F = €1 000coupon = 3%n = 5y1 = 2,5%y2 = 1%
ΔP = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een resterende looptijd van 14 jaar (nominale waarde €1 000, jaarlijkse coupon 7%) wordt verkocht voor €1 198. De uitgever kan haar over 4 jaar vervroegd aflossen tegen een aflossingsprijs van €1 070. Bereken het rendement tot vervroegde aflossing (yield to call) YTC in procenten.
F = €1 000coupon = 7%P = €1 198aflossingsprijs = €1 070vervroegd aflosbaar over 4 jaar
YTC = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €10 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €2 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 14%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 5% en het belastingtarief is 28%. Bereken de WACC.
Een onderneming heeft 4 000 000 aandelen van €27,00 per stuk en 20 000 obligaties met een koers van €980 per stuk. De kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 4,5% en het belastingtarief is 30%. De bèta van het aandeel is 0,9, de risicovrije rente 2% en het marktrendement 6%. Bereken de WACC.
β = 0,9rf = 2%rm = 6%rd = 4,5%T = 30%
WACC = %
9.Beschrijvende statistiekGemiddeld
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 18, 34, 46, 49, 38, 34.
n = 6
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 50 en standaardafwijking 10. Welk deel P van de waarden ligt onder 30?
μ = 50σ = 10x = 30
P =
11.KansrekeningGemiddeld
Bepaal voor de getoonde verdeling de standaardafwijking σ van X.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,35, 0,05, 0,25, 0,35
σ =
12.KansrekeningMoeilijk
Een toets heeft 8 meerkeuzevragen. Een student die gokt, heeft elke vraag onafhankelijk goed met kans 0,5. Wat is de kans P op precies 3 goede antwoorden?
n = 8p = 0,5k = 3
P =
13.Normale verdelingGemiddeld
Sleep z zo dat het gearceerde oppervlak onder de standaardnormale kromme, rechts van z, 0,0694 is. Bepaal z op twee decimalen.
A = 0,0694
z =
14.Normale verdelingMoeilijk
De lengtes van volwassen mannen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 178 cm en standaardafwijking 7 cm. Bereken de waarde x waaronder 5% ervan ligt (het 5e percentiel).
μ = 178σ = 7P = 5%
x = cm
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
Een 90%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde, gebaseerd op 100 waarnemingen en een bekende σ, heeft een foutmarge van 8,2. Wat is de foutmarge E₂ van een 95%-interval gebaseerd op 900 waarnemingen?
90%n₁ = 100E₁ = 8,295%n₂ = 900
E₂ =
16.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
De diameters van 21 bewerkte assen hebben een steekproefstandaardafwijking van 11,7 µm. Neem aan dat de diameters normaal verdeeld zijn en bereken de bovengrens σ van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de standaardafwijking van de populatie. Bij df = 20 ligt 2,5% van de χ²-verdeling onder 9,591 en 2,5% boven 34,17.
Een steekproef van 100 studenten heeft een gemiddelde score van 46,88 en een steekproefstandaardafwijking van 12. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 50.
Hoe groot moet een steekproef zijn zodat het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde een foutmarge van hoogstens 3 heeft? De standaardafwijking is 5. Bereken de kleinste steekproefomvang n.
σ = 5E = 395%
n =
19.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Bereken de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.
n = 6
r =
20.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voorspel ŷ voor x = 12.
n = 6x = 12
ŷ =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: PV = 20887 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Rente en aantal perioden
i = 0,036000000000000004/12 = 0,003
N = 12·5 = 60
Contante waarde
PV = FV/(1 + i)N = 25 000/1,197 = €20 887,38
Antwoord
PV = €20 887,38
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 123154 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Terugverdientijd: de tijd tot de cumulatieve kasstromen de initiële investering hebben terugbetaald. Aangenomen wordt dat het geld gelijkmatig over elk jaar binnenkomt, dus het laatste deel is een fractie van een jaar. De eenvoudige terugverdientijd negeert de tijdswaarde van geld; de verdisconteerde terugverdientijd gebruikt in plaats daarvan de contant gemaakte kasstromen.
Contant gemaakte en cumulatieve kasstromen
jaar 1: 9 000/1,05 = 8 571,43 → Σ = 8 571,43
jaar 2: 8 500/1,103 = 7 709,75 → Σ = 16 281,18
jaar 3: 7 000/1,158 = 6 046,86 → Σ = 22 328,04
Fractie van het laatste jaar
DPB = 2 + 3 718,82/6 046,86 = 2,615
Antwoord
DPB = 2,615 jaar
De verdisconteerde terugverdientijd is altijd langer dan de eenvoudige terugverdientijd (2,357 jaar).
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 34,28 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De IRR insluiten
De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.
NPV(30%) = 1 178,88
NPV(35%) = −187,98
Verfijnen
Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vergelijking voor het rendement
1198 = 70·(1 − (1 + y)−4)/y + 1070/(1 + y)4
Los numeriek op
y = 3%: €1 210,88
y = 4%: €1 168,73
YTC = 3,301%
Antwoord
YTC = 3,301%
Het effectieve rendement tot de einddatum is 5%. Beleggers in een obligatie boven pari verwachten dat ze vervroegd wordt afgelost, dus de lagere yield to call is de realistischere.
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 12,27 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Gewichten
V = €12 000 000, E/V = 0,8333, D/V = 0,1667
WACC
WACC = 0,8333·14% + 0,1667·5%·(1 − 0,28) = 12,27%
Antwoord
WACC = 12,27%
8.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 5,224 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = −2
Tabel standaardnormale verdeling
Φ(−2) = 0,02275
P = 0,02275
Antwoord
P = 0,02275
11.Kansrekening
Antwoord: σ = 2,561
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.
Oppervlak links van z
Φ(z) = 1 − 0,0694 = 0,9306
Lees de z-tabel achterstevoren
Zoek 0,9306 in de tabel en lees z af.
z = 1,48
Antwoord
z = 1,48
14.Normale verdeling
Antwoord: x = 166,5 cm
Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.
z voor het percentiel
Φ(z) = 0,05 → z = −1,645
Terug naar x
x = 178 + −1,645·7 = 166,49 cm
Antwoord
x = 166,49 cm
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: E₂ = 3,257
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Verhouding van de marges
E₂/E₁ = (1,96/1,645)·√(100/900) = 0,3972
Nieuwe marge
E₂ = 8,2·0,3972 = 3,257
Antwoord
E₂ = 3,257
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: σ = 16,9 µm
Interval voor een variantie: (n − 1)s²/σ² heeft een χ²-verdeling met n − 1 vrijheidsgraden. Het 95%-interval voor σ² loopt van (n − 1)s² gedeeld door de bovenste χ²-waarde (2,5% erboven) tot (n − 1)s² gedeeld door de onderste χ²-waarde (2,5% eronder); het interval voor σ is de wortel van beide grenzen. Het is niet symmetrisch rond s.
Kwadratensom
(n − 1)s² = 20·11,7² = 2738
Grenzen voor σ²
2738/34,17 = 80,12
2738/9,591 = 285,5
Grens voor σ
σ = √285,5 = 16,9 µm
Antwoord
σ = 16,9 µm
95%-interval voor σ: [8,951, 16,9] µm.
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: t = −2,6
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
Standaardfout
SE = 12/√100 = 12/10 = 1,2
Toetsingsgrootheid
t = (46,88 − 50)/1,2 = −2,6
Antwoord
t = −2,6
t0,025; df = 99 = 1,984
|t| > 1,984, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 11
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
n oplossen
n = (1,96·5/3)² = 10,67
Naar boven afronden
n = 11
Antwoord
n = 11
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r = −0,9641
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 123/6 = 20,5
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −29,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 53,5
Correlatiecoëfficiënt
r = −29,5/√(17,5·53,5) = −0,9641
Antwoord
r = −0,9641
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: ŷ = 91,71
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 420/6 = 70
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 380
Regressielijn
b = 380/70 = 5,429
a = 70 − 5,429·8 = 26,57
ŷ = 26,57 + 5,429·x
Voorspelling
ŷ = 26,57 + 5,429·12 = 91,71
Antwoord
ŷ = 91,71
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.