Een creditcard rekent een nominale rente van 15 % per jaar, per kwartaal samengesteld. Bereken de effectieve jaarrente EAR in procent.
r = 15%m = 4
EAR = %
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Je wilt over 20 jaar €10 000 hebben. Je spaart aan het eind van elke maand hetzelfde bedrag op een rekening die 2,4 % per jaar geeft, maandelijks samengesteld. Bereken de maandelijkse inleg A.
FV = €10 0002,4% / 12N = 240
A = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een project kost vandaag €20 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 6 €5 500, €6 000, €7 500, €6 000, €7 500, €5 500 op. De vermogenskosten zijn 12 %. Neem aan dat de kasstromen gelijkmatig over elk jaar binnenkomen. Bereken de verdisconteerde terugverdientijd DPB in jaren.
Een project kost €50 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 2 €23 000, €32 500 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
CF0 = −50 000CF1 = 23 000CF2 = 32 500
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 3% en loopt over 10 jaar af. Het effectieve rendement verandert van 5,5% naar 5%. Hoeveel ΔP verandert de koers van de obligatie?
F = €1 000coupon = 3%n = 10y1 = 5,5%y2 = 5%
ΔP = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie noteert op €1 065 met een effectief rendement van 5% (jaarlijks samengesteld) en een Macaulay-duration van 3,5 jaar. Schat met de gemodificeerde duration de nieuwe koers P als het rendement met 75 basispunten stijgt.
P0 = €1 065y = 5%D = 3,5Δy = +75 bp
P = €
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €4 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €3 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 12%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 5% en het belastingtarief is 25,8%. Bereken de WACC.
Een onderneming heeft 2 000 000 aandelen van €34,50 per stuk en 40 000 obligaties met een koers van €1 050 per stuk. De kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 4% en het belastingtarief is 20%. De bèta van het aandeel is 1,3, de risicovrije rente 3% en het marktrendement 8,5%. Bereken de WACC.
β = 1,3rf = 3%rm = 8,5%rd = 4%T = 20%
WACC = %
9.Beschrijvende statistiekGemiddeld
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 41, 30, 23, 56, 42, 25.
n = 6
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 170 en standaardafwijking 10. Welk deel P van de waarden ligt boven 176?
μ = 170σ = 10x = 176
P =
11.KansrekeningGemiddeld
Bepaal voor de getoonde verdeling de standaardafwijking σ van X.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,25, 0,2, 0,3, 0,25
σ =
12.KansrekeningMoeilijk
Er worden 6 onderdelen getest, en elk valt onafhankelijk uit met kans 0,2. Wat is de kans P dat er hoogstens één uitvalt?
n = 6p = 0,2
P =
13.Normale verdelingGemiddeld
X is normaal verdeeld met gemiddelde 250 g en standaardafwijking 4 g; Y is onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 500 g en standaardafwijking 9 g. Bepaal de kans P dat X + Y groter is dan 735,2 g. Rond z af op twee decimalen.
μX = 250, σX = 4μY = 500, σY = 9X + Y > 735,2 g
P =
14.Normale verdelingMoeilijk
De lengtes van volwassen mannen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 178 cm en standaardafwijking 7 cm. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde bovenste 30% rechts ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.
μ = 178 cmσ = 7 cm30%
x = cm
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
De bloeddruk van 13 patiënten wordt gemeten voor en na een behandeling. De verschillen d = voor − na (mmHg) hebben gemiddelde −1,9 en standaardafwijking 7,3. Bereken de ondergrens van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde verschil.
n = 13d̄ = −1,9sd = 7,399%t(12) = 3,055
ondergrens = mmHg
16.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
De standaardafwijking van de populatie is 28. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 1 heeft?
Twee lesmethoden worden vergeleken. Groep 1: 7 studenten, gemiddelde score 22, standaardafwijking 5,5. Groep 2: 15 studenten, gemiddelde score 32,6, standaardafwijking 10. Neem gelijke populatievarianties aan en gebruik de gepoolde t-toets voor twee steekproeven. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ₁ = μ₂, met als verschil x̄₁ − x̄₂ (groep 1 min groep 2).
Een eenzijdige z-toets bij α = 0,01 moet een verschuiving van het gemiddelde van 2 eenheden ontdekken met een onderscheidend vermogen van 95 %. De standaardafwijking is 6. Bereken de minimale steekproefomvang n.
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Bereken de determinatiecoëfficiënt r² van de kleinstekwadratenlijn.
n = 6
r² =
20.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voor welke waarde x voorspelt de lijn ŷ = 56?
n = 5ŷ = 56
x =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: EAR = 15,87 %
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Rente per periode
r/m = 0,15/4 = 0,0375
Samenstellen over één jaar
EAR = (1 + 0,0375)4 − 1 = 1,159 − 1 = 15,87%
Antwoord
EAR = 15,87%
De effectieve jaarrente ligt altijd boven de nominale rente als de rente vaker dan één keer per jaar wordt bijgeschreven.
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: A = 32,5 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Terugverdientijd: de tijd tot de cumulatieve kasstromen de initiële investering hebben terugbetaald. Aangenomen wordt dat het geld gelijkmatig over elk jaar binnenkomt, dus het laatste deel is een fractie van een jaar. De eenvoudige terugverdientijd negeert de tijdswaarde van geld; de verdisconteerde terugverdientijd gebruikt in plaats daarvan de contant gemaakte kasstromen.
Contant gemaakte en cumulatieve kasstromen
jaar 1: 5 500/1,12 = 4 910,71 → Σ = 4 910,71
jaar 2: 6 000/1,254 = 4 783,16 → Σ = 9 693,88
jaar 3: 7 500/1,405 = 5 338,35 → Σ = 15 032,23
jaar 4: 6 000/1,574 = 3 813,11 → Σ = 18 845,34
jaar 5: 7 500/1,762 = 4 255,70 → Σ = 23 101,04
Fractie van het laatste jaar
DPB = 4 + 1 154,66/4 255,70 = 4,271
Antwoord
DPB = 4,271 jaar
De verdisconteerde terugverdientijd is altijd langer dan de eenvoudige terugverdientijd (3,167 jaar).
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 6,839 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De IRR insluiten
De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.
NPV(5%) = 1 383,22
NPV(10%) = −2 231,40
Verfijnen
Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Duration: de Macaulay-duration is het gewogen gemiddelde tijdstip waarop een obligatie haar kasstromen uitbetaalt, met de contante waarden van de kasstromen als gewichten: D = Σ t·PVₜ/P. De gemodificeerde duration D/(1 + y) schat de procentuele koersverandering bij een kleine verandering van het rendement: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Gemodificeerde duration
Dmod = 3,5/1,05 = 3,333
Geschatte koersverandering
%ΔP ≈ −3,333·(0,0075) = −2,5%
P ≈ 1065·(1 − 0,025) = €1 038,38
Antwoord
P = €1 038,38
Duration is een lineaire schatting; bij grote rendementsveranderingen maakt de convexiteit de werkelijke koers iets hoger.
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 8,447 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = 0,6
Tabel standaardnormale verdeling
Φ(0,6) = 0,7257
P = 1 − 0,7257 = 0,2743
Antwoord
P = 0,2743
11.Kansrekening
Antwoord: σ = 1,117
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Gemiddelde
μ = 0·0,25 + 1·0,2 + 2·0,3 + 3·0,25 = 1,55
Gemiddelde van de kwadraten
E(X²) = 0·0,25 + 1·0,2 + 4·0,3 + 9·0,25 = 3,65
Variantie
Var(X) = 3,65 − 1,55² = 1,247
σ = √1,247 = 1,117
Antwoord
σ = 1,117
12.Kansrekening
Antwoord: P = 0,6554
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Nul en één uitval
P(X = 0) = 0,86 = 0,2621
P(X = 1) = 6·0,2·0,85 = 0,3932
Tel ze op
P = 0,2621 + 0,3932 = 0,6554
Antwoord
P = 0,6554
13.Normale verdeling
Antwoord: P = 0,9332
Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μX ± μY. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σX² + σY², dus σ = √(σX² + σY²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.
Verdeling van de som
μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g
Standaardiseren
z = (735,2 − 750)/9,849 = −1,5
Rechterstaart
P = 1 − Φ(−1,5) = 1 − 0,06681 = 0,9332
Antwoord
P = 0,9332
14.Normale verdeling
Antwoord: x = 181,6 cm
Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.
Oppervlak links
Φ(z) = 0,7
z uit de tabel
z ≈ 0,52
Terug naar de oorspronkelijke eenheden
x = 178 + 0,52·7 = 181,6 cm
Antwoord
x = 181,6 cm
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: ondergrens = −8,085 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Kritieke waarde
df = 12, t = 3,055
Foutmarge
E = 3,055·7,3/√13 = 6,185
Interval
−1,9 ± 6,185 → [−8,085, 4,285]
Antwoord
ondergrens = −8,085 mmHg
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 5203
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
n oplossen
n = (2,576·28/1)² = 5202
Naar boven afronden
Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.
n = 5203
Antwoord
n = 5203
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: t = −2,604
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Gepoolde variantie
sp² = (6·5,5² + 14·10²)/20 = 79,08
sp = 8,892
Standaardfout
SE = 8,892·√(1/7 + 1/15) = 4,07
Toetsingsgrootheid
t = (22 − 32,6)/4,07 = −2,604
Antwoord
t = −2,604
Bij df = 20 is de tweezijdige kritieke waarde bij 5% gelijk aan 2,086; |t| is groter, dus H₀ wordt verworpen.
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 142
Steekproefomvang voor een toets: om een werkelijke verschuiving δ te ontdekken met onderscheidend vermogen 1 − β in een eenzijdige z-toets bij niveau α, moet de standaardfout voldoen aan δ = (z_α + z_β)·σ/√n, dus n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², naar boven afgerond.
n oplossen
n = ((2,326 + 1,645)·6/2)² = 141,9
Naar boven afronden
n = 142
Antwoord
n = 142
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r² = 0,9421
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 73/6 = 12,17
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 111
Syy = Σ(y − ȳ)² = 186,8
Determinatiecoëfficiënt
r² = 111²/(70·186,8) = 0,9421
Antwoord
r² = 0,9421
Ongeveer 94,21% van de variatie in y wordt door de lijn verklaard.
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: x = 6,548
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 256/5 = 51,2
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 31
Regressielijn
b = 31/10 = 3,1
a = 51,2 − 3,1·5 = 35,7
ŷ = 35,7 + 3,1·x
Los op naar x
x = (56 − 35,7)/3,1 = 6,548
Antwoord
x = 6,548
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.