Een vastgoedobject levert volgend jaar naar verwachting €12 000 netto huur op. De huur groeit naar verwachting voor altijd met 1,5 % per jaar. Het vereiste rendement is 6,5 % per jaar. Bereken de waarde PV van het object vandaag.
C1 = €12 000g = 1,5%r = 6,5%
PV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Een lening van €200 000 wordt in 20 jaar afgelost met gelijke maandtermijnen. De rente is 4,2 % per jaar, maandelijks samengesteld. Bereken de maandtermijn A.
P = €200 0004,2% / 12N = 240
A = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een machine kost vandaag €30 000, gaat 8 jaar mee en kost €5 000 per jaar aan bedrijfskosten (betaald aan het eind van elk jaar). De vermogenskosten zijn 10 %. Bereken de equivalente jaarlijkse kosten EAC.
C0 = €30 000M = €5 000n = 8r = 10%
EAC = €
4.NCW & IRRMoeilijk
Een project kost €50 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 €24 500, €27 000, €19 500 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
CF0 = −50 000CF1 = 24 500CF2 = 27 000CF3 = 19 500
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 6% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 11 jaar af. Het effectieve rendement is 4% per jaar. Bereken de koers P van de obligatie.
F = €1 000coupon = 6%YTM = 4%n = 11
P = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 en een jaarlijkse coupon van 6% loopt over 10 jaar af en wordt verkocht voor €865. Bereken het effectieve rendement YTM in procenten.
F = €1 000coupon = 6%n = 10P = €865
YTM = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een aandeel met een bèta van 1,6 heeft een vereist rendement van 9,2%. De risicovrije rente is 2%. Welk verwacht marktrendement rm volgt uit CAPM?
β = 1,6re = 9,2%rf = 2%
rm = %
8.CAPM en WACCMoeilijk
Een onderneming heeft 2 000 000 aandelen die noteren op €43,50; de boekwaarde van het eigen vermogen is €43 500 000. Ze heeft net een dividend van €0,80 per aandeel uitgekeerd, en het dividend groeit met 5% per jaar. Het vreemd vermogen heeft een marktwaarde van €26 100 000 en kosten vóór belasting van 3%. Het belastingtarief is 20%. Bereken de WACC, met het dividendgroeimodel voor de kosten van het eigen vermogen.
X is normaal verdeeld met gemiddelde 250 g en standaardafwijking 4 g; Y is onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 500 g en standaardafwijking 9 g. Bepaal de kans P dat X + Y groter is dan 762,3 g. Rond z af op twee decimalen.
μX = 250, σX = 4μY = 500, σY = 9X + Y > 762,3 g
P =
14.Normale verdelingMoeilijk
Gatdiameters D zijn normaal verdeeld met gemiddelde 25,02 mm en standaardafwijking 0,02 mm. Asdiameters d zijn onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 25 mm en standaardafwijking 0,015 mm. Een willekeurig gekozen as past als D − d > 0. Bepaal de kans P dat hij past. Rond z af op twee decimalen.
gat: μ = 25,02 mm, σ = 0,02 mmas: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm
P =
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
De bloeddruk van 6 patiënten wordt gemeten voor en na een behandeling. De verschillen d = voor − na (mmHg) hebben gemiddelde 2,9 en standaardafwijking 1,1. Bereken de foutmarge E van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde verschil.
n = 6d̄ = 2,9sd = 1,195%t(5) = 2,571
E = mmHg
16.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
De standaardafwijking van de populatie is 9. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 1,5 heeft?
Een steekproef van 49 studenten heeft een gemiddelde score van 200,4 en een steekproefstandaardafwijking van 4. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 200.
Hoe groot moet een steekproef zijn zodat het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde een foutmarge van hoogstens 0,5 heeft? De standaardafwijking is 15. Bereken de kleinste steekproefomvang n.
σ = 15E = 0,599%
n =
19.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = temperatuur in °C en y = verkochte ijsjes. Bereken de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.
n = 5
r =
20.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voor welke waarde x voorspelt de lijn ŷ = 22?
n = 6ŷ = 22
x =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: PV = 240000 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Maandrente en aantal termijnen
i = 0,042/12 = 0,0035
N = 12·20 = 240
Termijn
De contante waarde van N gelijke betalingen A is A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Stel die gelijk aan de lening en los A op.
(1 + i)−N = 0,4323
A = 200 000·0,0035/(1 − 0,4323) = €1 233,14
Antwoord
A = €1 233,14
3.NCW & IRR
Antwoord: EAC = 10623 €
Equivalente jaarlijkse kosten: spreid de contante waarde van alle kosten over de levensduur als een gelijk jaarlijks bedrag (een annuïteit): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Zo kun je machines met verschillende levensduren vergelijken.
Annuïteitsfactor
(1 − 1,1−8)/0,1 = 5,335
Aanschafprijs omgerekend per jaar
30 000/5,335 = 5 623,32
EAC
EAC = 5 623,32 + 5 000 = €10 623,32
Antwoord
EAC = €10 623,32
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 20,59 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De IRR insluiten
De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.
NPV(20%) = 451,39
NPV(25%) = −3 136,00
Verfijnen
Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Per periode
C = €30,00, i = 0,02, N = 22
Contante waarde van de coupons
€30,00·(1 − 0,6468)/0,02 = €529,74
Contante waarde van de nominale waarde
€1 000·0,6468 = €646,84
Koers
P = €1 176,58
Antwoord
P = €1 176,58
Het rendement ligt onder de couponrente, dus de obligatie wordt boven pari verkocht.
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: YTM = 8,013 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vergelijking voor het rendement
€865 = €60·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰
Los numeriek op
P(8%) = €865,80, P(9%) = €807,47
YTM = 8,013%
Antwoord
YTM = 8,013%
7.CAPM en WACC
Antwoord: rm = 6,5 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Marktrisicopremie
rm − rf = (9,2% − 2%)/1,6 = 4,5%
Marktrendement
rm = 2% + 4,5% = 6,5%
Antwoord
rm = 6,5%
8.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 5,885 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = 0,4
Tabel standaardnormale verdeling
Φ(0,4) = 0,6554
P = 1 − 0,6554 = 0,3446
Antwoord
P = 0,3446
11.Kansrekening
Antwoord: P = 0,4213
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Complement
P(geen zes) = (5/6)3 = 0,5787
P = 1 − 0,5787 = 0,4213
Antwoord
P = 0,4213
12.Kansrekening
Antwoord: σY = 2,577
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μX ± μY. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σX² + σY², dus σ = √(σX² + σY²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.
Verdeling van de som
μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g
Standaardiseren
z = (762,3 − 750)/9,849 = 1,25
Rechterstaart
P = 1 − Φ(1,25) = 1 − 0,8944 = 0,1056
Antwoord
P = 0,1056
14.Normale verdeling
Antwoord: P = 0,7881
Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μX ± μY. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σX² + σY², dus σ = √(σX² + σY²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.
Verdeling van het verschil
μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,025 mm
Standaardiseren
z = (0 − 0,02)/0,025 = −0,8
Kansrekening
P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881
Antwoord
P = 0,7881
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: E = 1,155 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Kritieke waarde
df = 5, t = 2,571
Foutmarge
E = 2,571·1,1/√6 = 1,155
Antwoord
E = 1,155 mmHg
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 98
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
n oplossen
n = (1,645·9/1,5)² = 97,42
Naar boven afronden
Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.
n = 98
Antwoord
n = 98
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: t = 0,7
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
Standaardfout
SE = 4/√49 = 4/7 = 0,5714
Toetsingsgrootheid
t = (200,4 − 200)/0,5714 = 0,7
Antwoord
t = 0,7
t0,025; df = 48 = 2,011
|t| < 2.011, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 5973
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
n oplossen
n = (2,576·15/0,5)² = 5972
Naar boven afronden
n = 5973
Antwoord
n = 5973
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r = 0,9865
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 105/5 = 21
ȳ = 324/5 = 64,8
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 279
Syy = Σ(y − ȳ)² = 888,8
Correlatiecoëfficiënt
r = 279/√(90·888,8) = 0,9865
Antwoord
r = 0,9865
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: x = 1,806
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.