Je belegt €2 000 tegen 2 % per jaar met continue samengestelde rente. Bereken de waarde FV na 11 jaar.
PV = €2 000r = 2%t = 11
FV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Je spaart 17 jaar lang aan het eind van elke maand €100. De rekening geeft 3 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel heb je aan het eind gespaard? Bereken FV.
A = €1003% / 12N = 204
FV = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een machine kost vandaag €30 000. Ze levert 8 jaar lang aan het eind van elk jaar €5 500 op en kan daarna voor €6 000 worden verkocht. De vermogenskosten zijn 8 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
C0 = €30 000CF = €5 500S = €6 000n = 8r = 8%
NPV = €
4.NCW & IRRMoeilijk
Een project kost €50 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 €24 000, €18 000, €29 000 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
CF0 = −50 000CF1 = 24 000CF2 = 18 000CF3 = 29 000
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Je koopt een obligatie met een resterende looptijd van 9 jaar (nominale waarde €1 000, jaarlijkse coupon 8%) als het effectieve rendement 2,5% is. Een jaar later, direct na ontvangst van de eerste coupon, verkoop je haar als het effectieve rendement 2% is. Bereken je perioderendement (holding period return) HPR in procenten.
F = €1 000coupon = 8%n = 9y0 = 2,5%y1 = 2%
HPR = %
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 8% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 5 jaar af. Ze wordt verkocht voor €1 180. Bereken het effectieve rendement YTM als jaarrente (twee keer het halfjaarlijkse rendement), in procenten.
F = €1 000coupon = 8% (2×)n = 5P = €1 180
YTM = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €12 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €4 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 8%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 3% en het belastingtarief is 28%. Bereken de WACC.
Een onderneming heeft 1 000 000 aandelen van €53,00 per stuk en 40 000 obligaties met een koers van €960 per stuk. De kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 6% en het belastingtarief is 25%. De bèta van het aandeel is 1,1, de risicovrije rente 1% en het marktrendement 6%. Bereken de WACC.
β = 1,1rf = 1%rm = 6%rd = 6%T = 25%
WACC = %
9.Beschrijvende statistiekGemiddeld
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 15, 60, 27, 14, 21.
n = 5
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 500 en standaardafwijking 100. Bereken de z-score z van een score van 625.
μ = 500σ = 100x = 625
z =
11.KansrekeningGemiddeld
Er wordt 8 keer met een eerlijke dobbelsteen gegooid. Wat is de kans P op minstens één zes?
n = 8
P =
12.KansrekeningMoeilijk
Een toets heeft 5 meerkeuzevragen. Een student die gokt, heeft elke vraag onafhankelijk goed met kans 0,2. Wat is de kans P op precies 2 goede antwoorden?
n = 5p = 0,2k = 2
P =
13.Normale verdelingGemiddeld
De massa's van zakken cement zijn onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 25 kg en standaardafwijking 0,5 kg. Bepaal de kans P dat de totale massa van 9 ervan groter is dan 224,3 kg. Rond z af op twee decimalen.
μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 9> 224,3 kg
P =
14.Normale verdelingMoeilijk
De levertijden zijn normaal verdeeld met gemiddelde 32 min en standaardafwijking 6 min. Bereken de waarde x waaronder 80% ervan ligt (het 80e percentiel).
μ = 32σ = 6P = 80%
x = min
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
Een 99%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde, gebaseerd op 64 waarnemingen en een bekende σ, heeft een foutmarge van 2,6. Wat is de foutmarge E₂ van een 95%-interval uit dezelfde data?
99%n₁ = 64E₁ = 2,695%
E₂ =
16.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
De standaardafwijking van de populatie is 27. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 1 heeft?
16 werknemers doen een typetest voor en na een training. Voor elke persoon wordt het verschil d = na − voor (woorden per minuut) genoteerd. Het gemiddelde verschil is 10,45 en de standaardafwijking van de verschillen is 11,3. Bereken de toetsingsgrootheid t van de gepaarde toets voor H₀: μd = 0.
Een eenzijdige z-toets van H₀: μ = 50 tegen H₁: μ > 50 wordt uitgevoerd bij α = 0,01 met een steekproef van 100; de standaardafwijking is bekend en is 30. In werkelijkheid is het gemiddelde 57,2. Bereken de kans op een fout van de tweede soort β in procenten.
μ₀ = 50μ = 57,2σ = 30n = 100α = 0,01
β = %
19.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Bereken de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.
n = 6
r =
20.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voorspel ŷ voor x = 5.
n = 6x = 5
ŷ =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 2492 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Exponent
r·t = 0,02·11 = 0,22
e0,22 = 1,246
Eindwaarde
FV = 2 000·1,246 = €2 492,15
Antwoord
FV = €2 492,15
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 26569 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Contante waarde van de jaarlijkse kasstromen
5 500·5,747 = 31 606,51
Contante waarde van de restwaarde
6 000/1,851 = 3 241,61
NPV
NPV = −30 000 + 31 606,51 + 3 241,61 = €4 848,13
Antwoord
NPV = €4 848,13
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 19,11 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De IRR insluiten
De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.
NPV(15%) = 3 548,12
NPV(20%) = −717,59
Verfijnen
Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Per periode
C = €40,00, N = 10
Los numeriek op
i = 1,996% per halfjaar
YTM
YTM = 2·1,996% = 3,993%
Antwoord
YTM = 3,993%
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 6,54 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Gewichten
V = €16 000 000, E/V = 0,75, D/V = 0,25
WACC
WACC = 0,75·8% + 0,25·3%·(1 − 0,28) = 6,54%
Antwoord
WACC = 6,54%
8.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 5,66 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Marktwaarden
E = 1 000 000·€53,00 = €53 000 000
D = 40 000·€960 = €38 400 000
Kosten eigen vermogen (CAPM)
re = 1% + 1,1·5% = 6,5%
Gewichten
V = €91 400 000, E/V = 0,5799, D/V = 0,4201
WACC
WACC = 0,5799·6,5% + 0,4201·6%·(1 − 0,25) = 5,66%
Antwoord
WACC = 5,66%
9.Beschrijvende statistiek
Antwoord: s = 18,96
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = (625 − 500)/100 = 1,25
Antwoord
z = 1,25
11.Kansrekening
Antwoord: P = 0,7674
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Complement
P(geen zes) = (5/6)8 = 0,2326
P = 1 − 0,2326 = 0,7674
Antwoord
P = 0,7674
12.Kansrekening
Antwoord: P = 0,2048
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Binomiale formule
P(X = 2) = 10·0,22·0,83 = 10·0,04·0,512 = 0,2048
Antwoord
P = 0,2048
13.Normale verdeling
Antwoord: P = 0,6808
Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μX ± μY. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σX² + σY², dus σ = √(σX² + σY²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.
Verdeling van het totaal
μT = 225 kg, σT = 0,5·√9 = 1,5 kg
Standaardiseren
z = (224,3 − 225)/1,5 = −0,47
Kansrekening
P = 1 − Φ(−0,47) = 0,6808
Antwoord
P = 0,6808
14.Normale verdeling
Antwoord: x = 37,05 min
Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.
z voor het percentiel
Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416
Terug naar x
x = 32 + 0,8416·6 = 37,05 min
Antwoord
x = 37,05 min
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: E₂ = 1,978
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Verhouding van de marges
E₂/E₁ = (1,96/2,576)·√(64/64) = 0,7609
Nieuwe marge
E₂ = 2,6·0,7609 = 1,978
Antwoord
E₂ = 1,978
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 4838
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
n oplossen
n = (2,576·27/1)² = 4837
Naar boven afronden
Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.
n = 4838
Antwoord
n = 4838
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: t = 3,699
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Standaardfout van het gemiddelde verschil
SE = 11,3/√16 = 2,825
Toetsingsgrootheid
t = 10,45/2,825 = 3,699
Antwoord
t = 3,699
Bij df = 15 is de tweezijdige kritieke waarde bij 5% gelijk aan 2,131; |t| is groter, dus H₀ wordt verworpen.
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: β = 47,05 %
Onderscheidend vermogen van een toets: het onderscheidend vermogen 1 − β is de kans dat H₀ wordt verworpen als die onwaar is. Bepaal de grens x̄c uit μ₀ en z_α, en bereken dan met het ware gemiddelde de kans om voorbij x̄c uit te komen: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Kritiek steekproefgemiddelde
SE = 30/√100 = 3
x̄c = 50 + 2,326·3 = 56,98
z onder het ware gemiddelde
z = (56,98 − 57,2)/3 = −0,074
Fout van de tweede soort
onderscheidend vermogen = P(Z > −0,074) = 52,95%
β = 100% − 52,95% = 47,05%
Antwoord
β = 47,05%
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r = −0,9258
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 156/6 = 26
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −30
Syy = Σ(y − ȳ)² = 60
Correlatiecoëfficiënt
r = −30/√(17,5·60) = −0,9258
Antwoord
r = −0,9258
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: ŷ = 10,76
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 80/6 = 13,33
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 90
Regressielijn
b = 90/70 = 1,286
a = 13,33 − 1,286·7 = 4,333
ŷ = 4,333 + 1,286·x
Voorspelling
ŷ = 4,333 + 1,286·5 = 10,76
Antwoord
ŷ = 10,76
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.