Je hebt over 3 jaar €5 000 nodig. Een rekening geeft 4,8 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel moet je vandaag storten? Bereken de contante waarde PV.
FV = €5 0004,8% / 12n = 3
PV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Je spaart 29 jaar lang aan het eind van elke maand €200. De rekening geeft 4,2 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel heb je aan het eind gespaard? Bereken FV.
A = €2004,2% / 12N = 348
FV = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een machine kost vandaag €40 000, gaat 9 jaar mee en kost €4 000 per jaar aan bedrijfskosten (betaald aan het eind van elk jaar). De vermogenskosten zijn 6 %. Bereken de equivalente jaarlijkse kosten EAC.
C0 = €40 000M = €4 000n = 9r = 6%
EAC = €
4.NCW & IRRMoeilijk
Een project kost €10 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 €7 000, €5 000, €5 500 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
CF0 = −10 000CF1 = 7 000CF2 = 5 000CF3 = 5 500
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 loopt over 7 jaar af en betaalt jaarlijkse coupons. Ze wordt verkocht voor €784 als het effectieve rendement 7% is. Bereken het couponpercentage c in procenten.
F = €1 000n = 7P = €784YTM = 7%
c = %
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 en een jaarlijkse coupon van 5% loopt over 3 jaar af en wordt verkocht voor €1 040. Bereken het effectieve rendement YTM in procenten.
F = €1 000coupon = 5%n = 3P = €1 040
YTM = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €3 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €3 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 8%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 4,5% en het belastingtarief is 21%. Bereken de WACC.
Een onderneming heeft 1 000 000 aandelen van €37,00 per stuk en 40 000 obligaties met een koers van €980 per stuk. De kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 4% en het belastingtarief is 28%. De bèta van het aandeel is 0,9, de risicovrije rente 1% en het marktrendement 5,5%. Bereken de WACC.
β = 0,9rf = 1%rm = 5,5%rd = 4%T = 28%
WACC = %
9.Beschrijvende statistiekGemiddeld
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 37, 35, 34, 57, 16, 52.
n = 6
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 50 en standaardafwijking 10. Bereken de z-score z van een score van 54.
μ = 50σ = 10x = 54
z =
11.KansrekeningGemiddeld
Bepaal voor de getoonde verdeling de variantie Var(X) van X.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,3, 0,3, 0,2, 0,2
Var(X) =
12.KansrekeningMoeilijk
X heeft de getoonde verdeling, en Y = 2X + 10. Bepaal de standaardafwijking σY van Y.
De massa's van passagiers met bagage zijn onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 85 kg en standaardafwijking 12 kg. Bepaal de kans P dat de totale massa van 9 ervan kleiner is dan 837 kg. Rond z af op twee decimalen.
μ = 85 kgσ = 12 kgn = 9< 837 kg
P =
14.Normale verdelingMoeilijk
De lengtes X van mannen en Y van vrouwen in een groep zijn onafhankelijk en normaal verdeeld: X heeft gemiddelde 180 cm en standaardafwijking 10 cm, Y heeft gemiddelde 170 cm en standaardafwijking 12 cm. Bepaal de kans P dat X groter is dan Y. Rond z af op twee decimalen.
μX = 180 cm, σX = 10 cmμY = 170 cm, σY = 12 cm
P =
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
Een 99%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde, gebaseerd op 25 waarnemingen en een bekende σ, heeft een foutmarge van 11. Wat is de foutmarge E₂ als hetzelfde onderzoek in plaats daarvan 225 waarnemingen gebruikt?
99%n₁ = 25E₁ = 11n₂ = 225
E₂ =
16.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
De standaardafwijking van de populatie is 21. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 3 heeft?
Twee lesmethoden worden vergeleken. Groep 1: 6 studenten, gemiddelde score 63,5, standaardafwijking 12. Groep 2: 20 studenten, gemiddelde score 51,3, standaardafwijking 9,5. Neem gelijke populatievarianties aan en gebruik de gepoolde t-toets voor twee steekproeven. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ₁ = μ₂, met als verschil x̄₁ − x̄₂ (groep 1 min groep 2).
Een steekproef van 81 metingen heeft gemiddelde 118,7. De standaardafwijking van de populatie is 20. Bereken de ondergrens L van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.
x̄ = 118,7σ = 20n = 8195%
L =
19.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.
n = 5Σx = 15Σy = 264Σx² = 55Σy² = 14084Σxy = 829
r =
20.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voor welke waarde x voorspelt de lijn ŷ = 57?
n = 6ŷ = 57
x =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: PV = 4331 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Rente en aantal perioden
i = 0,048/12 = 0,004
N = 12·3 = 36
Contante waarde
PV = FV/(1 + i)N = 5 000/1,155 = €4 330,68
Antwoord
PV = €4 330,68
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 135614 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Equivalente jaarlijkse kosten: spreid de contante waarde van alle kosten over de levensduur als een gelijk jaarlijks bedrag (een annuïteit): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Zo kun je machines met verschillende levensduren vergelijken.
Annuïteitsfactor
(1 − 1,06−9)/0,06 = 6,802
Aanschafprijs omgerekend per jaar
40 000/6,802 = 5 880,89
EAC
EAC = 5 880,89 + 4 000 = €9 880,89
Antwoord
EAC = €9 880,89
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 36,29 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De IRR insluiten
De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.
NPV(35%) = 164,10
NPV(40%) = −444,61
Verfijnen
Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.
IRR ≈ 35 + 5·164,10/(164,10 − (−444,61)) = 36,35%
exact: NPV(36,29%) = 0 → IRR = 36,29%
Antwoord
IRR = 36,29%
5.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: c = 2,992 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Contante waarde van de nominale waarde
1000·(1 + 0,07)−7 = €622,75
Coupon
C = (784 − 622,75)/5,389 = €29,92
Couponrente
c = 29,92/1000 = 2,992%
Antwoord
c = 2,992%
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: YTM = 3,57 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vergelijking voor het rendement
€1 040 = €50·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
Los numeriek op
P(3%) = €1 056,57, P(4%) = €1 027,75
YTM = 3,57%
Antwoord
YTM = 3,57%
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 5,777 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Gewichten
V = €6 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·8% + 0,5·4,5%·(1 − 0,21) = 5,777%
Antwoord
WACC = 5,777%
8.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 3,934 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = (54 − 50)/10 = 0,4
Antwoord
z = 0,4
11.Kansrekening
Antwoord: Var(X) = 1,21
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Gemiddelde
μ = 0·0,3 + 1·0,3 + 2·0,2 + 3·0,2 = 1,3
Gemiddelde van de kwadraten
E(X²) = 0·0,3 + 1·0,3 + 4·0,2 + 9·0,2 = 2,9
Variantie
Var(X) = 2,9 − 1,3² = 1,21
Antwoord
Var(X) = 1,21
12.Kansrekening
Antwoord: σY = 2,358
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μX ± μY. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σX² + σY², dus σ = √(σX² + σY²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.
Verdeling van het totaal
μT = 765 kg, σT = 12·√9 = 36 kg
Standaardiseren
z = (837 − 765)/36 = 2
Kansrekening
P = Φ(2) = 0,9772
Antwoord
P = 0,9772
14.Normale verdeling
Antwoord: P = 0,7389
Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μX ± μY. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σX² + σY², dus σ = √(σX² + σY²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.
Verdeling van het verschil
μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm
Standaardiseren
z = (0 − 10)/15,62 = −0,64
Kansrekening
P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389
Antwoord
P = 0,7389
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: E₂ = 3,667
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Verhouding van de marges
E₂/E₁ = (2,576/2,576)·√(25/225) = 0,3333
Nieuwe marge
E₂ = 11·0,3333 = 3,667
Antwoord
E₂ = 3,667
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 133
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
n oplossen
n = (1,645·21/3)² = 132,6
Naar boven afronden
Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.
n = 133
Antwoord
n = 133
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: t = 2,602
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Gepoolde variantie
sp² = (5·12² + 19·9,5²)/24 = 101,4
sp = 10,07
Standaardfout
SE = 10,07·√(1/6 + 1/20) = 4,688
Toetsingsgrootheid
t = (63,5 − 51,3)/4,688 = 2,602
Antwoord
t = 2,602
Bij df = 24 is de tweezijdige kritieke waarde bij 5% gelijk aan 2,064; |t| is groter, dus H₀ wordt verworpen.
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: L = 114,3
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
Foutmarge
E = 1,96·20/√81 = 4,356
Intervalgrens
L = 118,7 − 4,356 = 114,3
Antwoord
L = 114,3
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r = 0,9723
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gecentreerde sommen
Sxy = 829 − 15·264/5 = 37
Sxx = 55 − 15²/5 = 10
Syy = 14084 − 264²/5 = 144,8
Correlatiecoëfficiënt
r = 37/√(10·144,8) = 0,9723
Antwoord
r = 0,9723
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: x = 2,987
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 471/6 = 78,5
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 375
Regressielijn
b = 375/70 = 5,357
a = 78,5 − 5,357·7 = 41
ŷ = 41 + 5,357·x
Los op naar x
x = (57 − 41)/5,357 = 2,987
Antwoord
x = 2,987
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.