Een vastgoedobject levert volgend jaar naar verwachting €20 000 netto huur op. De huur groeit naar verwachting voor altijd met 3 % per jaar. Het vereiste rendement is 8 % per jaar. Bereken de waarde PV van het object vandaag.
C1 = €20 000g = 3%r = 8%
PV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Je spaart 9 jaar lang aan het eind van elke maand €200. De rekening geeft 3 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel heb je aan het eind gespaard? Bereken FV.
A = €2003% / 12N = 108
FV = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een machine kost vandaag €80 000. Ze levert 7 jaar lang aan het eind van elk jaar €16 000 op en kan daarna voor €12 000 worden verkocht. De vermogenskosten zijn 8 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
C0 = €80 000CF = €16 000S = €12 000n = 7r = 8%
NPV = €
4.NCW & IRRMoeilijk
Een project kost €20 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 4 €7 000, €9 000, €9 000, €6 500 op. Kasstromen kunnen worden herbelegd tegen de vermogenskosten van 10 %. Bereken de gemodificeerde interne rentabiliteit MIRR in procenten.
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 loopt over 9 jaar af en betaalt jaarlijkse coupons. Ze wordt verkocht voor €875 als het effectieve rendement 8% is. Bereken het couponpercentage c in procenten.
F = €1 000n = 9P = €875YTM = 8%
c = %
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 en een jaarlijkse coupon van 6% loopt over 9 jaar af en wordt verkocht voor €935. Bereken het effectieve rendement YTM in procenten.
F = €1 000coupon = 6%n = 9P = €935
YTM = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming is gefinancierd met gewone aandelen ter waarde van €5 000 000, preferente aandelen ter waarde van €1 500 000 en vreemd vermogen ter waarde van €2 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 10%, de kosten van de preferente aandelen 6,5% en de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting 5%. Het belastingtarief is 25%. Bereken de WACC.
Een onderneming heeft eigen vermogen met een marktwaarde van €8 000 000 en kosten van het eigen vermogen van 11%. Het vreemd vermogen bestaat uit 5 000 obligaties (nominale waarde €1 000, jaarlijkse coupon 7%, resterende looptijd 6 jaar) die elk op €1 049 noteren. Het belastingtarief is 30%. Bereken de WACC, met het effectieve rendement van de obligaties als kosten van het vreemd vermogen vóór belasting.
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 28, 19, 34, 21, 17, 44.
n = 6
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 500 en standaardafwijking 75. Welk deel P van de waarden ligt onder 650?
μ = 500σ = 75x = 650
P =
11.KansrekeningGemiddeld
Bepaal voor de getoonde verdeling de variantie Var(X) van X.
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,2, 0,1, 0,25, 0,1, 0,35
Var(X) =
12.KansrekeningMoeilijk
Een toets heeft 12 meerkeuzevragen. Een student die gokt, heeft elke vraag onafhankelijk goed met kans 0,3. Wat is de kans P op precies 4 goede antwoorden?
n = 12p = 0,3k = 4
P =
13.Normale verdelingGemiddeld
De lengtes van volwassen mannen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 178 cm en standaardafwijking 7 cm. Welk deel ligt tussen 166,8 en 190,6 cm? Geef P als decimaal getal.
μ = 178σ = 7x1 = 166,8x2 = 190,6
P =
14.Normale verdelingMoeilijk
Gatdiameters D zijn normaal verdeeld met gemiddelde 25,02 mm en standaardafwijking 0,02 mm. Asdiameters d zijn onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 25 mm en standaardafwijking 0,015 mm. Een willekeurig gekozen as past als D − d > 0. Bepaal de kans P dat hij past. Rond z af op twee decimalen.
gat: μ = 25,02 mm, σ = 0,02 mmas: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm
P =
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
De batterijduur van twee telefoonmodellen wordt vergeleken. Model 1: 100 telefoons, gemiddelde 77 h, bekende standaardafwijking 19 h. Model 2: 30 telefoons, gemiddelde 80 h, bekende standaardafwijking 10 h. Bereken de ondergrens van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.
Twee kunstmeststoffen worden getest. Groep 1: 12 proefvelden, gemiddelde opbrengst 15 kg, standaardafwijking 5,5 kg. Groep 2: 10 proefvelden, gemiddelde 20 kg, standaardafwijking 9 kg. Neem gelijke varianties aan (gepoolde t, df = n₁ + n₂ − 2). Bereken de ondergrens van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.
Een steekproef van 49 studenten heeft een gemiddelde score van 503,6 en een steekproefstandaardafwijking van 15. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 500.
Een eenzijdige z-toets van H₀: μ = 100 tegen H₁: μ < 100 wordt uitgevoerd bij α = 0.10 met een steekproef van 64; de standaardafwijking is bekend en is 8. In werkelijkheid is het gemiddelde 98.3. Bereken het onderscheidend vermogen 1 − β van de toets in procenten.
μ₀ = 100μ = 98,3σ = 8n = 64α = 0,10
1 − β = %
19.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Bereken de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.
n = 5
r =
20.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Er wordt een nieuwe waarneming (11, 22) gedaan. Bereken het residu e = y − ŷ.
n = 6(11, 22)
e =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: PV = 400000 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Contante waarde van de jaarlijkse kasstromen
16 000·5,206 = 83 301,92
Contante waarde van de restwaarde
12 000/1,714 = 7 001,88
NPV
NPV = −80 000 + 83 301,92 + 7 001,88 = €10 303,81
Antwoord
NPV = €10 303,81
4.NCW & IRR
Antwoord: MIRR = 16,31 %
Gemodificeerde IRR: rent elke inkomende kasstroom op tot het eind van het project tegen het herbeleggingspercentage (meestal de vermogenskosten) om de eindwaarde TV te krijgen. De MIRR is de rente die de initiële investering laat groeien tot TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.
Eindwaarde van de inkomende kasstromen
7 000·1,13 = 9 317,00
9 000·1,12 = 10 890,00
9 000·1,11 = 9 900,00
6 500·1,10 = 6 500,00
TV = 36 607,00
MIRR
MIRR = (36 607,00/20 000)1/4 − 1 = 16,31%
Antwoord
MIRR = 16,31%
5.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: c = 5,999 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Contante waarde van de nominale waarde
1000·(1 + 0,08)−9 = €500,25
Coupon
C = (875 − 500,25)/6,247 = €59,99
Couponrente
c = 59,99/1000 = 5,999%
Antwoord
c = 5,999%
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: YTM = 6,998 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vergelijking voor het rendement
€935 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹
Los numeriek op
P(6%) = €1 000,00, P(7%) = €934,85
YTM = 6,998%
Antwoord
YTM = 6,998%
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 7,912 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = 2
Tabel standaardnormale verdeling
Φ(2) = 0,9772
P = 0,9772
Antwoord
P = 0,9772
11.Kansrekening
Antwoord: Var(X) = 2,31
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.
z-scores
z₁ = (166,8 − 178)/7 = −1,6
z₂ = (190,6 − 178)/7 = 1,8
Oppervlakte ertussen
P = Φ(1,8) − Φ(−1,6) = 0,9641 − 0,0548 = 0,9093
Antwoord
P = 0,9093
14.Normale verdeling
Antwoord: P = 0,7881
Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μX ± μY. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σX² + σY², dus σ = √(σX² + σY²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.
Verdeling van het verschil
μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,025 mm
Standaardiseren
z = (0 − 0,02)/0,025 = −0,8
Kansrekening
P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881
Antwoord
P = 0,7881
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: ondergrens = −8,165 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Puntschatting
x̄₁ − x̄₂ = 77 − 80 = −3
Standaardfout
SE = √(19²/100 + 10²/30) = 2,635
Foutmarge
E = 1,96·2,635 = 5,165
Interval
−3 ± 5,165 → [−8,165, 2,165]
Antwoord
ondergrens = −8,165 h
Het interval bevat 0, dus de data laten geen significant verschil zien.
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: ondergrens = −11,51 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Gepoolde standaardafwijking
sp² = (11·5,5² + 9·9²)/20 = 53,09
sp = 7,286
Foutmarge
E = 2,086·7,286·√(1/12 + 1/10) = 6,508
Interval
−5 ± 6,508 → [−11,51, 1,508]
Antwoord
ondergrens = −11,51 kg
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: t = 1,68
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
Standaardfout
SE = 15/√49 = 15/7 = 2,143
Toetsingsgrootheid
t = (503,6 − 500)/2,143 = 1,68
Antwoord
t = 1,68
t0,025; df = 48 = 2,011
|t| < 2.011, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: 1 − β = 66,2 %
Onderscheidend vermogen van een toets: het onderscheidend vermogen 1 − β is de kans dat H₀ wordt verworpen als die onwaar is. Bepaal de grens x̄c uit μ₀ en z_α, en bereken dan met het ware gemiddelde de kans om voorbij x̄c uit te komen: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Kritiek steekproefgemiddelde
SE = 8/√64 = 1
x̄c = 100 − 1,282·1 = 98,72
z onder het ware gemiddelde
z = (98,72 − 98,3)/1 = 0,418
Vermogen
onderscheidend vermogen = P(Z < 0.418) = 66.2%
1 − β = 66,2%
Antwoord
1 − β = 66,2%
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r = 0,9559
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 282/5 = 56,4
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 112
Syy = Σ(y − ȳ)² = 343,2
Correlatiecoëfficiënt
r = 112/√(40·343,2) = 0,9559
Antwoord
r = 0,9559
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: e = −3,138
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.