Je belegt €5 000 tegen een nominale rente van 3,6 % per jaar, maandelijks samengesteld. Bereken de waarde FV van de belegging na 6 jaar.
PV = €5 0003,6% / 12n = 6
FV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Je leent €12 000 tegen 4,2 % per jaar, maandelijks samengesteld, en betaalt aan het eind van elke maand €225 terug. Hoeveel maanden duurt het tot de lening is afgelost (de laatste betaling mag kleiner zijn)? Geef het aantal betalingen N.
P = €12 000A = €2254,2% / 12
N = betalingen
3.NCW & IRRGemiddeld
Een machine kost vandaag €40 000, gaat 8 jaar mee en kost €1 000 per jaar aan bedrijfskosten (betaald aan het eind van elk jaar). De vermogenskosten zijn 6 %. Bereken de equivalente jaarlijkse kosten EAC.
C0 = €40 000M = €1 000n = 8r = 6%
EAC = €
4.NCW & IRRMoeilijk
Een project kost €40 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 €26 000, €26 500, €15 500 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
CF0 = −40 000CF1 = 26 000CF2 = 26 500CF3 = 15 500
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 4% en loopt over 14 jaar af. Het effectieve rendement verandert van 7% naar 8%. Hoeveel ΔP verandert de koers van de obligatie?
F = €1 000coupon = 4%n = 14y1 = 7%y2 = 8%
ΔP = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie noteert op €935 met een effectief rendement van 7% (jaarlijks samengesteld) en een Macaulay-duration van 4,7 jaar. Schat met de gemodificeerde duration de nieuwe koers P als het rendement met 25 basispunten daalt.
P0 = €935y = 7%D = 4,7Δy = −25 bp
P = €
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €10 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €2 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 11%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 5% en het belastingtarief is 30%. Bereken de WACC.
Een onderneming heeft 5 000 000 aandelen van €8,50 per stuk en 10 000 obligaties met een koers van €960 per stuk. De kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 4,5% en het belastingtarief is 25%. De bèta van het aandeel is 0,8, de risicovrije rente 1,5% en het marktrendement 5,5%. Bereken de WACC.
β = 0,8rf = 1,5%rm = 5,5%rd = 4,5%T = 25%
WACC = %
9.Beschrijvende statistiekGemiddeld
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 15, 47, 39, 15, 11.
n = 5
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 50 en standaardafwijking 5. Bereken de z-score z van een score van 40.
μ = 50σ = 5x = 40
z =
11.KansrekeningGemiddeld
Bepaal voor de getoonde verdeling de standaardafwijking σ van X.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,25, 0,1, 0,3, 0,35
σ =
12.KansrekeningMoeilijk
X heeft de getoonde verdeling, en Y = 5X + 1. Bepaal de standaardafwijking σY van Y.
De levensduren van batterijen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 500 h en standaardafwijking 40 h. Welk deel ligt tussen 436 en 580 h? Geef P als decimaal getal.
μ = 500σ = 40x1 = 436x2 = 580
P =
14.Normale verdelingMoeilijk
De examencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 65 punten en standaardafwijking 10 punten. Bereken de waarde x waaronder 99% ervan ligt (het 99e percentiel).
μ = 65σ = 10P = 99%
x = punten
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
De batterijduur van twee telefoonmodellen wordt vergeleken. Model 1: 30 telefoons, gemiddelde 70 h, bekende standaardafwijking 6 h. Model 2: 80 telefoons, gemiddelde 61,5 h, bekende standaardafwijking 12 h. Bereken de ondergrens van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.
De standaardafwijking van de populatie is 11. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 1 heeft?
Een steekproef van 81 studenten heeft een gemiddelde score van 46,53 en een steekproefstandaardafwijking van 12. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 50.
Een steekproef van 49 metingen heeft gemiddelde 499,7. De standaardafwijking van de populatie is 20. Bereken de bovengrens U van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.
x̄ = 499,7σ = 20n = 4990%
U =
19.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.
n = 6Σx = 21Σy = 110Σx² = 91Σy² = 2182Σxy = 334
r =
20.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = temperatuur in °C en y = verkochte ijsjes. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voor welke waarde x voorspelt de lijn ŷ = 73?
n = 5ŷ = 73
x =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 6204 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Herschrijf de annuïteitenformule
i = 0,0035
(1 + i)−N = 1 − 12 000·0,0035/225 = 0,8133
Los op met logaritmen
N = −ln(0,8133)/ln(1,004) = 59,14
Rond naar boven af op hele betalingen
59 volledige betalingen laten een klein saldo over, dat de laatste, kleinere betaling aflost.
N = 60
Antwoord
N = 60 betalingen
3.NCW & IRR
Antwoord: EAC = 7441 €
Equivalente jaarlijkse kosten: spreid de contante waarde van alle kosten over de levensduur als een gelijk jaarlijks bedrag (een annuïteit): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Zo kun je machines met verschillende levensduren vergelijken.
Annuïteitsfactor
(1 − 1,06−8)/0,06 = 6,21
Aanschafprijs omgerekend per jaar
40 000/6,21 = 6 441,44
EAC
EAC = 6 441,44 + 1 000 = €7 441,44
Antwoord
EAC = €7 441,44
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 35,2 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De IRR insluiten
De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.
NPV(35%) = 99,58
NPV(40%) = −2 259,48
Verfijnen
Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.
IRR ≈ 35 + 5·99,58/(99,58 − (−2 259,48)) = 35,21%
exact: NPV(35,2%) = 0 → IRR = 35,2%
Antwoord
IRR = 35,2%
5.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: ΔP = −67,41 €
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Duration: de Macaulay-duration is het gewogen gemiddelde tijdstip waarop een obligatie haar kasstromen uitbetaalt, met de contante waarden van de kasstromen als gewichten: D = Σ t·PVₜ/P. De gemodificeerde duration D/(1 + y) schat de procentuele koersverandering bij een kleine verandering van het rendement: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Gemodificeerde duration
Dmod = 4,7/1,07 = 4,393
Geschatte koersverandering
%ΔP ≈ −4,393·(−0,0025) = 1,098%
P ≈ 935·(1 + 0,01098) = €945,27
Antwoord
P = €945,27
Duration is een lineaire schatting; bij grote rendementsveranderingen maakt de convexiteit de werkelijke koers iets hoger.
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 9,75 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Gewichten
V = €12 000 000, E/V = 0,8333, D/V = 0,1667
WACC
WACC = 0,8333·11% + 0,1667·5%·(1 − 0,3) = 9,75%
Antwoord
WACC = 9,75%
8.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 4,456 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = (40 − 50)/5 = −2
Antwoord
z = −2
11.Kansrekening
Antwoord: σ = 2,356
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Gemiddelde
μ = 0·0,25 + 2·0,1 + 4·0,3 + 6·0,35 = 3,5
Gemiddelde van de kwadraten
E(X²) = 0·0,25 + 4·0,1 + 16·0,3 + 36·0,35 = 17,8
Variantie
Var(X) = 17,8 − 3,5² = 5,55
σ = √5,55 = 2,356
Antwoord
σ = 2,356
12.Kansrekening
Antwoord: σY = 5,5
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.
z-scores
z₁ = (436 − 500)/40 = −1,6
z₂ = (580 − 500)/40 = 2
Oppervlakte ertussen
P = Φ(2) − Φ(−1,6) = 0,9772 − 0,0548 = 0,9225
Antwoord
P = 0,9225
14.Normale verdeling
Antwoord: x = 88,26 punten
Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.
z voor het percentiel
Φ(z) = 0,99 → z = 2,326
Terug naar x
x = 65 + 2,326·10 = 88,26 punten
Antwoord
x = 88,26 punten
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: ondergrens = 5,105 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Puntschatting
x̄₁ − x̄₂ = 70 − 61,5 = 8,5
Standaardfout
SE = √(6²/30 + 12²/80) = 1,732
Foutmarge
E = 1,96·1,732 = 3,395
Interval
8,5 ± 3,395 → [5,105, 11,89]
Antwoord
ondergrens = 5,105 h
Het interval bevat 0 niet, dus de gemiddelden verschillen significant.
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 328
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
n oplossen
n = (1,645·11/1)² = 327,4
Naar boven afronden
Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.
n = 328
Antwoord
n = 328
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: t = −2,602
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
Standaardfout
SE = 12/√81 = 12/9 = 1,333
Toetsingsgrootheid
t = (46,53 − 50)/1,333 = −2,602
Antwoord
t = −2,602
t0,025; df = 80 = 1,99
|t| > 1,99, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: U = 504,4
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
Foutmarge
E = 1,645·20/√49 = 4,7
Intervalgrens
U = 499,7 + 4,7 = 504,4
Antwoord
U = 504,4
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r = −0,9481
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gecentreerde sommen
Sxy = 334 − 21·110/6 = −51
Sxx = 91 − 21²/6 = 17,5
Syy = 2182 − 110²/6 = 165,3
Correlatiecoëfficiënt
r = −51/√(17,5·165,3) = −0,9481
Antwoord
r = −0,9481
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: x = 16,54
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 105/5 = 21
ȳ = 475/5 = 95
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 444
Regressielijn
b = 444/90 = 4,933
a = 95 − 4,933·21 = −8,6
ŷ = −8,6 + 4,933·x
Los op naar x
x = (73 − (−8,6))/4,933 = 16,54
Antwoord
x = 16,54
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.