Je hebt over 10 jaar €10 000 nodig. Een rekening geeft 4,8 % per jaar, per kwartaal samengesteld. Hoeveel moet je vandaag storten? Bereken de contante waarde PV.
FV = €10 0004,8% / 4n = 10
PV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Een lening van €12 000 wordt in 5 jaar afgelost met gelijke maandtermijnen. De rente is 7,2 % per jaar, maandelijks samengesteld. Bereken de maandtermijn A.
P = €12 0007,2% / 12N = 60
A = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een project kost vandaag €40 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 4 €15 500, €15 000, €9 000, €16 500 op. De vermogenskosten zijn 5 %. Neem aan dat de kasstromen gelijkmatig over elk jaar binnenkomen. Bereken de verdisconteerde terugverdientijd DPB in jaren.
Een project kost vandaag €50 000. De kasstroom is €5 000 aan het eind van jaar 1 en groeit met 4 % per jaar tot de laatste kasstroom aan het eind van jaar 9. De vermogenskosten zijn 8 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
C0 = €50 000CF1 = €5 000g = 4%n = 9r = 8%
NPV = €
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 loopt over 4 jaar af en betaalt jaarlijkse coupons. Ze wordt verkocht voor €1 109 als het effectieve rendement 4% is. Bereken het couponpercentage c in procenten.
F = €1 000n = 4P = €1 109YTM = 4%
c = %
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 3% en loopt over 3 jaar af. Het effectieve rendement is 5%. Bereken de Macaulay-duration D in jaren.
F = €1 000coupon = 3%n = 3YTM = 5%
D = jaar
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €8 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €4 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 11%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 4,5% en het belastingtarief is 28%. Bereken de WACC.
Een onderneming heeft 2 500 000 aandelen van €11,50 per stuk en 5 000 obligaties met een koers van €980 per stuk. De kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 6% en het belastingtarief is 20%. De bèta van het aandeel is 1,2, de risicovrije rente 4% en het marktrendement 10%. Bereken de WACC.
β = 1,2rf = 4%rm = 10%rd = 6%T = 20%
WACC = %
9.Beschrijvende statistiekGemiddeld
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 23, 42, 44, 56, 58.
n = 5
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 50 en standaardafwijking 10. Welk deel P van de waarden ligt boven 65?
μ = 50σ = 10x = 65
P =
11.KansrekeningGemiddeld
Een zak bevat 6 rode en 7 blauwe knikkers. Je pakt er twee zonder de eerste terug te leggen. Wat is de kans P dat ze allebei rood zijn?
6 / 7
P =
12.KansrekeningMoeilijk
Een spel kost €5 inzet. Je wint €15 met kans 0,3 en €250 met kans 0,01; anders win je niets. De inzet krijg je niet terug. Bepaal de verwachte nettowinst E(G) per spel.
inzet = €5€15: p = 0,3€250: p = 0,01
E(G) = €
13.Normale verdelingGemiddeld
Sleep z zo dat het gearceerde oppervlak onder de standaardnormale kromme, rechts van z, 0,0107 is. Bepaal z op twee decimalen.
A = 0,0107
z =
14.Normale verdelingMoeilijk
De gewichten van zakken zijn normaal verdeeld met gemiddelde 250 g en standaardafwijking 5 g. Bereken de waarde x waaronder 97,5% ervan ligt (het 97,5e percentiel).
μ = 250σ = 5P = 97,5%
x = g
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
Een steekproef van 12 items heeft gemiddelde 102,5 en standaardafwijking s = 4,5. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de bovengrens van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.
n = 12x̄ = 102,5s = 4,599%t(11) = 3,106
bovengrens =
16.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
Twee kunstmeststoffen worden getest. Groep 1: 14 proefvelden, gemiddelde opbrengst 10 kg, standaardafwijking 6 kg. Groep 2: 7 proefvelden, gemiddelde 19,5 kg, standaardafwijking 6 kg. Neem gelijke varianties aan (gepoolde t, df = n₁ + n₂ − 2). Bereken de foutmarge E van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.
Een steekproef van 100 studenten heeft een gemiddelde score van 118,3 en een steekproefstandaardafwijking van 12. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 120.
Een steekproef van 64 metingen heeft gemiddelde 74,6. De standaardafwijking van de populatie is 15. Bereken de bovengrens U van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.
x̄ = 74,6σ = 15n = 6490%
U =
19.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = temperatuur in °C en y = verkochte ijsjes. Bereken de determinatiecoëfficiënt r² van de kleinstekwadratenlijn.
n = 6
r² =
20.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voorspel ŷ voor x = 11.
n = 6x = 11
ŷ =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: PV = 6206 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Rente en aantal perioden
i = 0,048/4 = 0,012
N = 4·10 = 40
Contante waarde
PV = FV/(1 + i)N = 10 000/1,611 = €6 205,54
Antwoord
PV = €6 205,54
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: A = 238,7 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Maandrente en aantal termijnen
i = 0,07200000000000001/12 = 0,006
N = 12·5 = 60
Termijn
De contante waarde van N gelijke betalingen A is A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Stel die gelijk aan de lening en los A op.
(1 + i)−N = 0,6984
A = 12 000·0,006/(1 − 0,6984) = €238,75
Antwoord
A = €238,75
3.NCW & IRR
Antwoord: DPB = 3,284 jaar
Terugverdientijd: de tijd tot de cumulatieve kasstromen de initiële investering hebben terugbetaald. Aangenomen wordt dat het geld gelijkmatig over elk jaar binnenkomt, dus het laatste deel is een fractie van een jaar. De eenvoudige terugverdientijd negeert de tijdswaarde van geld; de verdisconteerde terugverdientijd gebruikt in plaats daarvan de contant gemaakte kasstromen.
Contant gemaakte en cumulatieve kasstromen
jaar 1: 15 500/1,05 = 14 761,90 → Σ = 14 761,90
jaar 2: 15 000/1,103 = 13 605,44 → Σ = 28 367,35
jaar 3: 9 000/1,158 = 7 774,54 → Σ = 36 141,89
jaar 4: 16 500/1,216 = 13 574,59 → Σ = 49 716,48
Fractie van het laatste jaar
DPB = 3 + 3 858,11/13 574,59 = 3,284
Antwoord
DPB = 3,284 jaar
De verdisconteerde terugverdientijd is altijd langer dan de eenvoudige terugverdientijd (3,03 jaar).
4.NCW & IRR
Antwoord: NPV = −14001 €
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Contante waarde van de groeiende annuïteit
((1,04)/(1,08))9 = 0,712
PV = 5 000/(0,08 − 0,04)·(1 − 0,712) = 35 998,72
NPV
NPV = 35 998,72 − 50 000 = −€14 001,28
Antwoord
NPV = −€14 001,28
De NCW is negatief, dus het project verdient minder dan het vereiste rendement.
5.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: c = 7,003 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Contante waarde van de nominale waarde
1000·(1 + 0,04)−4 = €854,80
Coupon
C = (1109 − 854,80)/3,63 = €70,03
Couponrente
c = 70,03/1000 = 7,003%
Antwoord
c = 7,003%
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: D = 2,911 jaar
Duration: de Macaulay-duration is het gewogen gemiddelde tijdstip waarop een obligatie haar kasstromen uitbetaalt, met de contante waarden van de kasstromen als gewichten: D = Σ t·PVₜ/P. De gemodificeerde duration D/(1 + y) schat de procentuele koersverandering bij een kleine verandering van het rendement: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Contante waarde van elke kasstroom
t = 1: 30/1,05 = 28,57, t·PV = 28,57
t = 2: 30/1,103 = 27,21, t·PV = 54,42
t = 3: 1030/1,158 = 889,75, t·PV = 2 669,26
Duration
P = 945,54
D = 2 752,25/945,54 = 2,911
Antwoord
D = 2,911 jaar
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 8,413 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = 1,5
Tabel standaardnormale verdeling
Φ(1,5) = 0,9332
P = 1 − 0,9332 = 0,06681
Antwoord
P = 0,06681
11.Kansrekening
Antwoord: P = 0,1923
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Eerste en tweede trekking
P = 6/13 · 5/12 = 30/156 = 0,1923
Antwoord
P = 0,1923
12.Kansrekening
Antwoord: E(G) = 2 €
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Netto-uitkomsten
G: 10 (p = 0,3), 245 (p = 0,01), −5 (p = 0,69)
Verwachtingswaarde
E(G) = 10·0,3 + 245·0,01 − 5·0,69 = 2 €
Antwoord
E(G) = 2 €
Een positieve waarde betekent dat je gemiddeld geld wint.
13.Normale verdeling
Antwoord: z = 2,3
Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.
Oppervlak links van z
Φ(z) = 1 − 0,0107 = 0,9893
Lees de z-tabel achterstevoren
Zoek 0,9893 in de tabel en lees z af.
z = 2,30
Antwoord
z = 2,30
14.Normale verdeling
Antwoord: x = 259,8 g
Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.
z voor het percentiel
Φ(z) = 0,975 → z = 1,96
Terug naar x
x = 250 + 1,96·5 = 259,8 g
Antwoord
x = 259,8 g
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: bovengrens = 106,5
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
Kritieke waarde
df = n − 1 = 11, t = 3,106
Foutmarge
E = 3,106·4,5/√12 = 4,035
Interval
102,5 ± 4,035 → [98,47, 106,5]
Antwoord
bovengrens = 106,5
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: E = 4,802 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Gepoolde standaardafwijking
sp² = (13·6² + 6·6²)/19 = 36
sp = 6
Foutmarge
E = 1,729·6·√(1/14 + 1/7) = 4,802
Antwoord
E = 4,802 kg
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: t = −1,417
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
Standaardfout
SE = 12/√100 = 12/10 = 1,2
Toetsingsgrootheid
t = (118,3 − 120)/1,2 = −1,417
Antwoord
t = −1,417
t0,025; df = 99 = 1,984
|t| < 1.984, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: U = 77,68
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
Foutmarge
E = 1,645·15/√64 = 3,084
Intervalgrens
U = 74,6 + 3,084 = 77,68
Antwoord
U = 77,68
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r² = 0,9851
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 147/6 = 24,5
ȳ = 787/6 = 131,2
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 862,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 4795
Determinatiecoëfficiënt
r² = 862,5²/(157,5·4795) = 0,9851
Antwoord
r² = 0,9851
Ongeveer 98,51% van de variatie in y wordt door de lijn verklaard.
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: ŷ = 28,4
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 108/6 = 18
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 182
Regressielijn
b = 182/70 = 2,6
a = 18 − 2,6·7 = −0,2
ŷ = −0,2 + 2,6·x
Voorspelling
ŷ = −0,2 + 2,6·11 = 28,4
Antwoord
ŷ = 28,4
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.