Je belegt €12 000 tegen een nominale rente van 3,6 % per jaar, maandelijks samengesteld. Bereken de waarde FV van de belegging na 9 jaar.
PV = €12 0003,6% / 12n = 9
FV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Je spaart 24 jaar lang aan het eind van elke maand €300. De rekening geeft 2,4 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel heb je aan het eind gespaard? Bereken FV.
A = €3002,4% / 12N = 288
FV = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een investering van €45 000 levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 deze kasstromen op: €15 000, €13 000, €16 000. De vermogenskosten zijn 6 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
Een investering van €10 000 levert 5 jaar lang aan het eind van elk jaar €3 000 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
C0 = €10 000CF = €3 000n = 5
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 8% en loopt over 8 jaar af. Het effectieve rendement verandert van 5% naar 4%. Hoeveel ΔP verandert de koers van de obligatie?
F = €1 000coupon = 8%n = 8y1 = 5%y2 = 4%
ΔP = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 en een jaarlijkse coupon van 3% loopt over 4 jaar af en wordt verkocht voor €1 080. Bereken het effectieve rendement YTM in procenten.
F = €1 000coupon = 3%n = 4P = €1 080
YTM = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een aandeel met een bèta van 0,6 heeft een vereist rendement van 6,8%. De risicovrije rente is 3,5%. Welk verwacht marktrendement rm volgt uit CAPM?
β = 0,6re = 6,8%rf = 3,5%
rm = %
8.CAPM en WACCMoeilijk
Een onderneming heeft 1 000 000 aandelen van €57,00 per stuk en 20 000 obligaties met een koers van €960 per stuk. De kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 3% en het belastingtarief is 30%. De bèta van het aandeel is 1,5, de risicovrije rente 1,5% en het marktrendement 8%. Bereken de WACC.
β = 1,5rf = 1,5%rm = 8%rd = 3%T = 30%
WACC = %
9.Beschrijvende statistiekGemiddeld
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 59, 28, 29, 34, 27, 45.
n = 6
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 70 en standaardafwijking 5. Welk deel P van de waarden ligt onder 62,5?
μ = 70σ = 5x = 62,5
P =
11.KansrekeningGemiddeld
Bepaal voor de getoonde verdeling de variantie Var(X) van X.
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,25, 0,2, 0,35, 0,05, 0,15
Var(X) =
12.KansrekeningMoeilijk
X heeft de getoonde verdeling, en Y = 10X + 4. Bepaal de standaardafwijking σY van Y.
De IQ-scores zijn normaal verdeeld met gemiddelde 100 punten en standaardafwijking 15 punten. Welk deel ligt tussen 95,5 en 112 punten? Geef P als decimaal getal.
μ = 100σ = 15x1 = 95,5x2 = 112
P =
14.Normale verdelingMoeilijk
De IQ-scores zijn normaal verdeeld met gemiddelde 100 punten en standaardafwijking 15 punten. Bereken de waarde x waaronder 5% ervan ligt (het 5e percentiel).
μ = 100σ = 15P = 5%
x = punten
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
Een steekproef van 7 items heeft gemiddelde 110,5 en standaardafwijking s = 2,5. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de ondergrens van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.
n = 7x̄ = 110,5s = 2,599%t(6) = 3,707
ondergrens =
16.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
Over de fractie defecte producten is vooraf niets bekend. Hoeveel producten n moeten worden gecontroleerd zodat een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de fractie een foutmarge van hoogstens 0,02 heeft?
Twee productielijnen maken hetzelfde onderdeel. Lijn 1: een steekproef van 40 onderdelen heeft een gemiddelde lengte van 79 mm, en de bekende standaardafwijking van de lijn is 7 mm. Lijn 2: een steekproef van 40 onderdelen heeft gemiddelde 75,6 mm, bekende standaardafwijking 6 mm. Bereken de toetsingsgrootheid z voor H₀: μ₁ = μ₂, met als verschil x̄₁ − x̄₂ (lijn 1 min lijn 2).
Een eenzijdige z-toets van H₀: μ = 100 tegen H₁: μ > 100 wordt uitgevoerd bij α = 0,01 met een steekproef van 36; de standaardafwijking is bekend en is 9. In werkelijkheid is het gemiddelde 105,55. Bereken de kans op een fout van de tweede soort β in procenten.
μ₀ = 100μ = 105,55σ = 9n = 36α = 0,01
β = %
19.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.
n = 6Σx = 21Σy = 114Σx² = 91Σy² = 2296Σxy = 353
r =
20.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voorspel ŷ voor x = 9.
n = 6x = 9
ŷ =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 16584 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Contante waarde van elke kasstroom
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,06)1 = 15 000/1,06 = 14 150,94
CF2/(1 + 0,06)2 = 13 000/1,124 = 11 569,95
CF3/(1 + 0,06)3 = 16 000/1,191 = 13 433,91
Optellen
NPV = €−5 845,19
Antwoord
NPV = €−5 845,19
De NCW is negatief, dus het project verdient minder dan het vereiste rendement.
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 15,24 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Benodigde annuïteitsfactor
(1 − (1 + i)−5)/i = 10 000/3 000 = 3,333
Los de rente op
De annuïteitsfactor daalt als de rente stijgt; sluit de rente in tussen twee waarden en verklein het interval.
i = 15%: 3,352
i = 16%: 3,274
IRR = 15,24%
Antwoord
IRR = 15,24%
5.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: ΔP = 75,41 €
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vergelijking voor het rendement
€1 080 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴
Los numeriek op
P(1%) = €1 078,04, P(1%) = €1 078,04
YTM = 0,9522%
Antwoord
YTM = 0,9522%
7.CAPM en WACC
Antwoord: rm = 9 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Marktrisicopremie
rm − rf = (6,8% − 3,5%)/0,6 = 5,5%
Marktrendement
rm = 3,5% + 5,5% = 9%
Antwoord
rm = 9%
8.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 8,944 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Marktwaarden
E = 1 000 000·€57,00 = €57 000 000
D = 20 000·€960 = €19 200 000
Kosten eigen vermogen (CAPM)
re = 1,5% + 1,5·6,5% = 11,25%
Gewichten
V = €76 200 000, E/V = 0,748, D/V = 0,252
WACC
WACC = 0,748·11,25% + 0,252·3%·(1 − 0,3) = 8,944%
Antwoord
WACC = 8,944%
9.Beschrijvende statistiek
Antwoord: s = 12,66
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = −1,5
Tabel standaardnormale verdeling
Φ(−1,5) = 0,06681
P = 0,06681
Antwoord
P = 0,06681
11.Kansrekening
Antwoord: Var(X) = 1,728
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.
z-scores
z₁ = (95,5 − 100)/15 = −0,3
z₂ = (112 − 100)/15 = 0,8
Oppervlakte ertussen
P = Φ(0,8) − Φ(−0,3) = 0,7881 − 0,3821 = 0,4061
Antwoord
P = 0,4061
14.Normale verdeling
Antwoord: x = 75,33 punten
Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.
z voor het percentiel
Φ(z) = 0,05 → z = −1,645
Terug naar x
x = 100 + −1,645·15 = 75,33 punten
Antwoord
x = 75,33 punten
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: ondergrens = 107
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
Kritieke waarde
df = n − 1 = 6, t = 3,707
Foutmarge
E = 3,707·2,5/√7 = 3,503
Interval
110,5 ± 3,503 → [107, 114]
Antwoord
ondergrens = 107
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 2401
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
n oplossen
n = 1,96²·0,5·0,5/0,02² = 2401
Naar boven afronden
n = 2401
Antwoord
n = 2401
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: z = 2,332
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Standaardfout van het verschil
SE = √(7²/40 + 6²/40) = √2,125 = 1,458
Toetsingsgrootheid
z = (79 − 75,6)/1,458 = 2,332
Antwoord
z = 2,332
|z| > 1,96, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: β = 8,472 %
Onderscheidend vermogen van een toets: het onderscheidend vermogen 1 − β is de kans dat H₀ wordt verworpen als die onwaar is. Bepaal de grens x̄c uit μ₀ en z_α, en bereken dan met het ware gemiddelde de kans om voorbij x̄c uit te komen: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Kritiek steekproefgemiddelde
SE = 9/√36 = 1,5
x̄c = 100 + 2,326·1,5 = 103,5
z onder het ware gemiddelde
z = (103,5 − 105,55)/1,5 = −1,374
Fout van de tweede soort
onderscheidend vermogen = P(Z > −1,374) = 91,53%
β = 100% − 91,53% = 8,472%
Antwoord
β = 8,472%
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r = −0,9644
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gecentreerde sommen
Sxy = 353 − 21·114/6 = −46
Sxx = 91 − 21²/6 = 17,5
Syy = 2296 − 114²/6 = 130
Correlatiecoëfficiënt
r = −46/√(17,5·130) = −0,9644
Antwoord
r = −0,9644
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: ŷ = 83,8
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 433/6 = 72,17
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 407
Regressielijn
b = 407/70 = 5,814
a = 72,17 − 5,814·7 = 31,47
ŷ = 31,47 + 5,814·x
Voorspelling
ŷ = 31,47 + 5,814·9 = 83,8
Antwoord
ŷ = 83,8
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.