Je belegt €20 000 tegen 2 % per jaar met continue samengestelde rente. Bereken de waarde FV na 16 jaar.
PV = €20 000r = 2%t = 16
FV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Je spaart 5 jaar lang aan het eind van elke maand €100. De rekening geeft 3,6 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel heb je aan het eind gespaard? Bereken FV.
A = €1003,6% / 12N = 60
FV = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een investering van €30 000 levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 deze kasstromen op: €6 000, €12 000, €11 000. De vermogenskosten zijn 8 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
Een investering van €20 000 levert 4 jaar lang aan het eind van elk jaar €7 000 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
C0 = €20 000CF = €7 000n = 4
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 6% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 10 jaar af. Het effectieve rendement is 9% per jaar. Bereken de koers P van de obligatie.
F = €1 000coupon = 6%YTM = 9%n = 10
P = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 en een jaarlijkse coupon van 8% loopt over 8 jaar af en wordt verkocht voor €920. Bereken het effectieve rendement YTM in procenten.
F = €1 000coupon = 8%n = 8P = €920
YTM = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft een verhouding vreemd/eigen vermogen (tegen marktwaarde) van 0,4. De kosten van het eigen vermogen zijn 14%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting 3,5% en het belastingtarief is 30%. Bereken de WACC.
D/E = 0,4re = 14%rd = 3,5%T = 30%
WACC = %
8.CAPM en WACCMoeilijk
Een onderneming heeft 1 000 000 aandelen die noteren op €55,50; de boekwaarde van het eigen vermogen is €33 300 000. Ze heeft net een dividend van €1,50 per aandeel uitgekeerd, en het dividend groeit met 4% per jaar. Het vreemd vermogen heeft een marktwaarde van €55 500 000 en kosten vóór belasting van 4,5%. Het belastingtarief is 25%. Bereken de WACC, met het dividendgroeimodel voor de kosten van het eigen vermogen.
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 12, 30, 27, 30, 45, 41.
n = 6
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 50 en standaardafwijking 8. Welk deel P van de waarden ligt boven 46?
μ = 50σ = 8x = 46
P =
11.KansrekeningGemiddeld
Bepaal voor de getoonde verdeling de variantie Var(X) van X.
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,35, 0,2, 0,15, 0,3
Var(X) =
12.KansrekeningMoeilijk
Een spel kost €10 inzet. Je wint €40 met kans 0,15 en €500 met kans 0,01; anders win je niets. De inzet krijg je niet terug. Bepaal de verwachte nettowinst E(G) per spel.
inzet = €10€40: p = 0,15€500: p = 0,01
E(G) = €
13.Normale verdelingGemiddeld
De examencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 65 punten en standaardafwijking 10 punten. Welk deel ligt tussen 49 en 73,5 punten? Geef P als decimaal getal.
μ = 65σ = 10x1 = 49x2 = 73,5
P =
14.Normale verdelingMoeilijk
De lengtes van volwassen mannen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 178 cm en standaardafwijking 7 cm. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde onderste 30% links ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.
μ = 178 cmσ = 7 cm30%
x = cm
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
De bloeddruk van 11 patiënten wordt gemeten voor en na een behandeling. De verschillen d = voor − na (mmHg) hebben gemiddelde −3,9 en standaardafwijking 3,1. Bereken de bovengrens van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde verschil.
n = 11d̄ = −3,9sd = 3,195%t(10) = 2,228
bovengrens = mmHg
16.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
De standaardafwijking van de populatie is 27. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 5 heeft?
Twee productielijnen maken hetzelfde onderdeel. Lijn 1: een steekproef van 50 onderdelen heeft een gemiddelde lengte van 101 mm, en de bekende standaardafwijking van de lijn is 5 mm. Lijn 2: een steekproef van 100 onderdelen heeft gemiddelde 97,1 mm, bekende standaardafwijking 11 mm. Bereken de toetsingsgrootheid z voor H₀: μ₁ = μ₂, met als verschil x̄₁ − x̄₂ (lijn 1 min lijn 2).
Hoe groot moet een steekproef zijn zodat het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde een foutmarge van hoogstens 1,5 heeft? De standaardafwijking is 4. Bereken de kleinste steekproefomvang n.
σ = 4E = 1,595%
n =
19.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Bereken de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.
n = 6
r =
20.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Er wordt een nieuwe waarneming (4, 66) gedaan. Bereken het residu e = y − ŷ.
n = 5(4, 66)
e =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 27543 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Exponent
r·t = 0,02·16 = 0,32
e0,32 = 1,377
Eindwaarde
FV = 20 000·1,377 = €27 542,56
Antwoord
FV = €27 542,56
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 6563 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Contante waarde van elke kasstroom
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,08)1 = 6 000/1,08 = 5 555,56
CF2/(1 + 0,08)2 = 12 000/1,166 = 10 288,07
CF3/(1 + 0,08)3 = 11 000/1,26 = 8 732,15
Optellen
NPV = €−5 424,22
Antwoord
NPV = €−5 424,22
De NCW is negatief, dus het project verdient minder dan het vereiste rendement.
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 14,96 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Benodigde annuïteitsfactor
(1 − (1 + i)−4)/i = 20 000/7 000 = 2,857
Los de rente op
De annuïteitsfactor daalt als de rente stijgt; sluit de rente in tussen twee waarden en verklein het interval.
i = 14%: 2,914
i = 15%: 2,855
IRR = 14,96%
Antwoord
IRR = 14,96%
5.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: P = 804,9 €
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Per periode
C = €30,00, i = 0,045, N = 20
Contante waarde van de coupons
€30,00·(1 − 0,4146)/0,045 = €390,24
Contante waarde van de nominale waarde
€1 000·0,4146 = €414,64
Koers
P = €804,88
Antwoord
P = €804,88
Het rendement ligt boven de couponrente, dus de obligatie wordt onder pari verkocht.
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: YTM = 9,471 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vergelijking voor het rendement
€920 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸
Los numeriek op
P(9%) = €944,65, P(10%) = €893,30
YTM = 9,471%
Antwoord
YTM = 9,471%
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 10,7 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Gewichten uit D/E
E/V = 1/(1 + 0,4) = 0,7143
D/V = 0,4/(1 + 0,4) = 0,2857
WACC
WACC = 0,7143·14% + 0,2857·3,5%·(1 − 0,3) = 10,7%
Antwoord
WACC = 10,7%
8.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 5,093 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Kosten van het eigen vermogen
D1 = 1,5·1,04 = €1,56
re = 1,56/55,5 + 0,04 = 6,811%
Marktwaarden
E = 1 000 000·€55,50 = €55 500 000
V = €111 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·6,811% + 0,5·4,5%·(1 − 0,25) = 5,093%
Antwoord
WACC = 5,093%
9.Beschrijvende statistiek
Antwoord: s = 11,62
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = −0,5
Tabel standaardnormale verdeling
Φ(−0,5) = 0,3085
P = 1 − 0,3085 = 0,6915
Antwoord
P = 0,6915
11.Kansrekening
Antwoord: Var(X) = 154
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Netto-uitkomsten
G: 30 (p = 0,15), 490 (p = 0,01), −10 (p = 0,84)
Verwachtingswaarde
E(G) = 30·0,15 + 490·0,01 − 10·0,84 = 1 €
Antwoord
E(G) = 1 €
Een positieve waarde betekent dat je gemiddeld geld wint.
13.Normale verdeling
Antwoord: P = 0,7475
Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.
z-scores
z₁ = (49 − 65)/10 = −1,6
z₂ = (73,5 − 65)/10 = 0,85
Oppervlakte ertussen
P = Φ(0,85) − Φ(−1,6) = 0,8023 − 0,0548 = 0,7475
Antwoord
P = 0,7475
14.Normale verdeling
Antwoord: x = 174,4 cm
Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.
Oppervlak links
Φ(z) = 0,3
z uit de tabel
z ≈ −0,52
Terug naar de oorspronkelijke eenheden
x = 178 − 0,52·7 = 174,4 cm
Antwoord
x = 174,4 cm
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: bovengrens = −1,818 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Kritieke waarde
df = 10, t = 2,228
Foutmarge
E = 2,228·3,1/√11 = 2,082
Interval
−3,9 ± 2,082 → [−5,982, −1,818]
Antwoord
bovengrens = −1,818 mmHg
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 113
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
n oplossen
n = (1,96·27/5)² = 112
Naar boven afronden
Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.
n = 113
Antwoord
n = 113
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: z = 2,982
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Standaardfout van het verschil
SE = √(5²/50 + 11²/100) = √1,71 = 1,308
Toetsingsgrootheid
z = (101 − 97,1)/1,308 = 2,982
Antwoord
z = 2,982
|z| > 1,96, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 28
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
n oplossen
n = (1,96·4/1,5)² = 27,32
Naar boven afronden
n = 28
Antwoord
n = 28
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r = −0,9755
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 111/6 = 18,5
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −58,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 205,5
Correlatiecoëfficiënt
r = −58,5/√(17,5·205,5) = −0,9755
Antwoord
r = −0,9755
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: e = −5,2
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 449/5 = 89,8
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 248
Regressielijn
b = 248/40 = 6,2
a = 89,8 − 6,2·7 = 46,4
ŷ = 46,4 + 6,2·x
Voorspelde waarde
ŷ = 46,4 + 6,2·4 = 71,2
Residu
e = 66 − 71,2 = −5,2
Antwoord
e = −5,2
Het punt ligt onder de lijn.
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.