Je belegt €1 000 tegen 2 % per jaar met continue samengestelde rente. Bereken de waarde FV na 17 jaar.
PV = €1 000r = 2%t = 17
FV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Je leent €25 000 tegen 4,2 % per jaar, maandelijks samengesteld, en betaalt aan het eind van elke maand €400 terug. Hoeveel maanden duurt het tot de lening is afgelost (de laatste betaling mag kleiner zijn)? Geef het aantal betalingen N.
P = €25 000A = €4004,2% / 12
N = betalingen
3.NCW & IRRGemiddeld
Een investering van €75 000 levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 deze kasstromen op: €24 000, €30 000, €36 000. De vermogenskosten zijn 10 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
Een project kost €40 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 €17 500, €24 500, €18 500 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
CF0 = −40 000CF1 = 17 500CF2 = 24 500CF3 = 18 500
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 loopt over 7 jaar af en betaalt jaarlijkse coupons. Ze wordt verkocht voor €888 als het effectieve rendement 6% is. Bereken het couponpercentage c in procenten.
F = €1 000n = 7P = €888YTM = 6%
c = %
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie noteert op €1 035 met een effectief rendement van 4% (jaarlijks samengesteld) en een Macaulay-duration van 3 jaar. Schat met de gemodificeerde duration de nieuwe koers P als het rendement met 150 basispunten stijgt.
P0 = €1 035y = 4%D = 3Δy = +150 bp
P = €
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €2 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €1 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 13%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 3,5% en het belastingtarief is 25%. Bereken de WACC.
Een onderneming heeft 5 000 000 aandelen van €41,50 per stuk en 5 000 obligaties met een koers van €1 000 per stuk. De kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 3,5% en het belastingtarief is 25%. De bèta van het aandeel is 1,5, de risicovrije rente 2,5% en het marktrendement 7,5%. Bereken de WACC.
β = 1,5rf = 2,5%rm = 7,5%rd = 3,5%T = 25%
WACC = %
9.Beschrijvende statistiekGemiddeld
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 34, 40, 18, 34, 36, 56, 25.
n = 7
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 500 en standaardafwijking 25. Welk deel P van de waarden ligt onder 487,5?
μ = 500σ = 25x = 487,5
P =
11.KansrekeningGemiddeld
Bepaal voor de getoonde verdeling de standaardafwijking σ van X.
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,35, 0,2, 0,3, 0,15
σ =
12.KansrekeningMoeilijk
Een spel kost €1 inzet. Je wint €2 met kans 0,2 en €50 met kans 0,05; anders win je niets. De inzet krijg je niet terug. Bepaal de verwachte nettowinst E(G) per spel.
inzet = €1€2: p = 0,2€50: p = 0,05
E(G) = €
13.Normale verdelingGemiddeld
X is normaal verdeeld met gemiddelde 60 s en standaardafwijking 5 s; Y is onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 45 s en standaardafwijking 4 s. Bepaal de kans P dat X + Y groter is dan 114,6 s. Rond z af op twee decimalen.
μX = 60, σX = 5μY = 45, σY = 4X + Y > 114,6 s
P =
14.Normale verdelingMoeilijk
Gatdiameters D zijn normaal verdeeld met gemiddelde 25,04 mm en standaardafwijking 0,02 mm. Asdiameters d zijn onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 25 mm en standaardafwijking 0,02 mm. Een willekeurig gekozen as past als D − d > 0. Bepaal de kans P dat hij past. Rond z af op twee decimalen.
gat: μ = 25,04 mm, σ = 0,02 mmas: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm
P =
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
Een steekproef van 12 items heeft gemiddelde 34,5 en standaardafwijking s = 11. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de foutmarge E van een 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.
n = 12x̄ = 34,5s = 1190%t(11) = 1,796
E =
16.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
De standaardafwijking van de populatie is 5. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 2 heeft?
Een steekproef van 36 studenten heeft een gemiddelde score van 73,2 en een steekproefstandaardafwijking van 12. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 75.
Een eenzijdige z-toets bij α = 0,05 moet een verschuiving van het gemiddelde van 5 eenheden ontdekken met een onderscheidend vermogen van 90 %. De standaardafwijking is 29. Bereken de minimale steekproefomvang n.
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Bereken de determinatiecoëfficiënt r² van de kleinstekwadratenlijn.
n = 5
r² =
20.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = temperatuur in °C en y = verkochte ijsjes. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voorspel ŷ voor x = 21.
n = 5x = 21
ŷ =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 1405 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Exponent
r·t = 0,02·17 = 0,34
e0,34 = 1,405
Eindwaarde
FV = 1 000·1,405 = €1 404,95
Antwoord
FV = €1 404,95
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: N = 71 betalingen
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Herschrijf de annuïteitenformule
i = 0,0035
(1 + i)−N = 1 − 25 000·0,0035/400 = 0,7813
Los op met logaritmen
N = −ln(0,7813)/ln(1,004) = 70,65
Rond naar boven af op hele betalingen
70 volledige betalingen laten een klein saldo over, dat de laatste, kleinere betaling aflost.
N = 71
Antwoord
N = 71 betalingen
3.NCW & IRR
Antwoord: NPV = −1341 €
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Contante waarde van elke kasstroom
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,1)1 = 24 000/1,1 = 21 818,18
CF2/(1 + 0,1)2 = 30 000/1,21 = 24 793,39
CF3/(1 + 0,1)3 = 36 000/1,331 = 27 047,33
Optellen
NPV = €−1 341,10
Antwoord
NPV = €−1 341,10
De NCW is negatief, dus het project verdient minder dan het vereiste rendement.
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 23,59 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De IRR insluiten
De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.
NPV(20%) = 2 303,24
NPV(25%) = −848,00
Verfijnen
Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Contante waarde van de nominale waarde
1000·(1 + 0,06)−7 = €665,06
Coupon
C = (888 − 665,06)/5,582 = €39,94
Couponrente
c = 39,94/1000 = 3,994%
Antwoord
c = 3,994%
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: P = 990,2 €
Duration: de Macaulay-duration is het gewogen gemiddelde tijdstip waarop een obligatie haar kasstromen uitbetaalt, met de contante waarden van de kasstromen als gewichten: D = Σ t·PVₜ/P. De gemodificeerde duration D/(1 + y) schat de procentuele koersverandering bij een kleine verandering van het rendement: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Gemodificeerde duration
Dmod = 3/1,04 = 2,885
Geschatte koersverandering
%ΔP ≈ −2,885·(0,015) = −4,327%
P ≈ 1035·(1 − 0,04327) = €990,22
Antwoord
P = €990,22
Duration is een lineaire schatting; bij grote rendementsveranderingen maakt de convexiteit de werkelijke koers iets hoger.
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 9,542 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = −0,5
Tabel standaardnormale verdeling
Φ(−0,5) = 0,3085
P = 0,3085
Antwoord
P = 0,3085
11.Kansrekening
Antwoord: σ = 10,9
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Netto-uitkomsten
G: 1 (p = 0,2), 49 (p = 0,05), −1 (p = 0,75)
Verwachtingswaarde
E(G) = 1·0,2 + 49·0,05 − 1·0,75 = 1,9 €
Antwoord
E(G) = 1,9 €
Een positieve waarde betekent dat je gemiddeld geld wint.
13.Normale verdeling
Antwoord: P = 0,06681
Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μX ± μY. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σX² + σY², dus σ = √(σX² + σY²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.
Verdeling van de som
μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s
Standaardiseren
z = (114,6 − 105)/6,403 = 1,5
Rechterstaart
P = 1 − Φ(1,5) = 1 − 0,9332 = 0,06681
Antwoord
P = 0,06681
14.Normale verdeling
Antwoord: P = 0,9207
Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μX ± μY. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σX² + σY², dus σ = √(σX² + σY²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.
Verdeling van het verschil
μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,02828 mm
Standaardiseren
z = (0 − 0,04)/0,02828 = −1,41
Kansrekening
P = 1 − Φ(−1,41) = 0,9207
Antwoord
P = 0,9207
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: E = 5,703
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
Kritieke waarde
df = n − 1 = 11, t = 1,796
Foutmarge
E = 1,796·11/√12 = 5,703
Antwoord
E = 5,703
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 42
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
n oplossen
n = (2,576·5/2)² = 41,47
Naar boven afronden
Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.
n = 42
Antwoord
n = 42
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: t = −0,9
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
Standaardfout
SE = 12/√36 = 12/6 = 2
Toetsingsgrootheid
t = (73,2 − 75)/2 = −0,9
Antwoord
t = −0,9
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| < 2.03, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 289
Steekproefomvang voor een toets: om een werkelijke verschuiving δ te ontdekken met onderscheidend vermogen 1 − β in een eenzijdige z-toets bij niveau α, moet de standaardfout voldoen aan δ = (z_α + z_β)·σ/√n, dus n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², naar boven afgerond.
n oplossen
n = ((1,645 + 1,282)·29/5)² = 288,2
Naar boven afronden
n = 289
Antwoord
n = 289
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r² = 0,8533
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 298/5 = 59,6
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 106
Syy = Σ(y − ȳ)² = 329,2
Determinatiecoëfficiënt
r² = 106²/(40·329,2) = 0,8533
Antwoord
r² = 0,8533
Ongeveer 85,33% van de variatie in y wordt door de lijn verklaard.
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: ŷ = 68,35
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 100/5 = 20
ȳ = 321/5 = 64,2
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 166
Regressielijn
b = 166/40 = 4,15
a = 64,2 − 4,15·20 = −18,8
ŷ = −18,8 + 4,15·x
Voorspelling
ŷ = −18,8 + 4,15·21 = 68,35
Antwoord
ŷ = 68,35
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.