Een vastgoedobject levert volgend jaar naar verwachting €10 000 netto huur op. De huur groeit naar verwachting voor altijd met 3 % per jaar. Het vereiste rendement is 9 % per jaar. Bereken de waarde PV van het object vandaag.
C1 = €10 000g = 3%r = 9%
PV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Een lening van €25 000 wordt in 4 jaar afgelost met gelijke maandbedragen tegen 4,8 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel rente I wordt er in totaal over de looptijd van de lening betaald?
P = €25 0004,8% / 12N = 48
I = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een project kost vandaag €100 000. Het levert aan het eind van het eerste jaar €6 000 op, en de kasstroom groeit daarna voor altijd met 3 % per jaar. De vermogenskosten zijn 8 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
C0 = €100 000CF1 = €6 000g = 3%r = 8%
NPV = €
4.NCW & IRRMoeilijk
Een project kost €20 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 €7 500, €14 000, €14 000 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
CF0 = −20 000CF1 = 7 500CF2 = 14 000CF3 = 14 000
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 loopt over 5 jaar af en betaalt jaarlijkse coupons. Ze wordt verkocht voor €961 als het effectieve rendement 9% is. Bereken het couponpercentage c in procenten.
F = €1 000n = 5P = €961YTM = 9%
c = %
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 en een jaarlijkse coupon van 5% loopt over 9 jaar af en wordt verkocht voor €930. Bereken het effectieve rendement YTM in procenten.
F = €1 000coupon = 5%n = 9P = €930
YTM = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €5 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €6 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 13%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 5% en het belastingtarief is 20%. Bereken de WACC.
Een onderneming heeft 5 000 000 aandelen van €29,50 per stuk en 10 000 obligaties met een koers van €1 000 per stuk. De kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 4,5% en het belastingtarief is 21%. De bèta van het aandeel is 1,8, de risicovrije rente 2% en het marktrendement 8,5%. Bereken de WACC.
β = 1,8rf = 2%rm = 8,5%rd = 4,5%T = 21%
WACC = %
9.Beschrijvende statistiekGemiddeld
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 39, 24, 41, 15, 33, 52, 26.
n = 7
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 100 en standaardafwijking 8. Bereken de z-score z van een score van 104,8.
μ = 100σ = 8x = 104,8
z =
11.KansrekeningGemiddeld
Bepaal voor de getoonde verdeling de standaardafwijking σ van X.
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,2, 0,15, 0,35, 0,3
σ =
12.KansrekeningMoeilijk
Een toets heeft 11 meerkeuzevragen. Een student die gokt, heeft elke vraag onafhankelijk goed met kans 0,5. Wat is de kans P op precies 2 goede antwoorden?
n = 11p = 0,5k = 2
P =
13.Normale verdelingGemiddeld
De gewichten van zakken zijn normaal verdeeld met gemiddelde 250 g en standaardafwijking 5 g. Welk deel ligt tussen 248,5 en 252,75 g? Geef P als decimaal getal.
μ = 250σ = 5x1 = 248,5x2 = 252,75
P =
14.Normale verdelingMoeilijk
De lengtes van volwassen mannen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 178 cm en standaardafwijking 7 cm. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde onderste 95% links ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.
μ = 178 cmσ = 7 cm95%
x = cm
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
De bloeddruk van 20 patiënten wordt gemeten voor en na een behandeling. De verschillen d = voor − na (mmHg) hebben gemiddelde 6,4 en standaardafwijking 2,2. Bereken de ondergrens van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde verschil.
n = 20d̄ = 6,4sd = 2,290%t(19) = 1,729
ondergrens = mmHg
16.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
De diameters van 15 bewerkte assen hebben een steekproefstandaardafwijking van 5 µm. Neem aan dat de diameters normaal verdeeld zijn en bereken de ondergrens σ van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de standaardafwijking van de populatie. Bij df = 14 ligt 2,5% van de χ²-verdeling onder 5,629 en 2,5% boven 26,119.
Twee lesmethoden worden vergeleken. Groep 1: 9 studenten, gemiddelde score 84,5, standaardafwijking 4,5. Groep 2: 7 studenten, gemiddelde score 76,6, standaardafwijking 6. Neem gelijke populatievarianties aan en gebruik de gepoolde t-toets voor twee steekproeven. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ₁ = μ₂, met als verschil x̄₁ − x̄₂ (groep 1 min groep 2).
Een eenzijdige z-toets bij α = 0,05 moet een verschuiving van het gemiddelde van 5 eenheden ontdekken met een onderscheidend vermogen van 95 %. De standaardafwijking is 11. Bereken de minimale steekproefomvang n.
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = temperatuur in °C en y = verkochte ijsjes. Bereken de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.
n = 6
r =
20.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = temperatuur in °C en y = verkochte ijsjes. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voorspel ŷ voor x = 19,5.
n = 5x = 19,5
ŷ =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: PV = 166667 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Maandbedrag
i = 0,004, N = 48
A = 25 000·0,004/(1 − (1 + 0,004)−48) = €573,47
Totale rente
I = N·A − P = 48·573,5 − 25 000 = €2 526,57
Antwoord
I = €2 526,57
3.NCW & IRR
Antwoord: NPV = 20000 €
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Waarde van de kasstromen
PV = 6 000/(0,08 − 0,03) = 120 000,00
NPV
NPV = 120 000,00 − 100 000 = €20 000,00
Antwoord
NPV = €20 000,00
De NCW is positief, dus het project verdient meer dan het vereiste rendement.
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 31,36 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De IRR insluiten
De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.
NPV(30%) = 425,58
NPV(35%) = −1 072,50
Verfijnen
Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Contante waarde van de nominale waarde
1000·(1 + 0,09)−5 = €649,93
Coupon
C = (961 − 649,93)/3,89 = €79,97
Couponrente
c = 79,97/1000 = 7,997%
Antwoord
c = 7,997%
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: YTM = 6,031 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vergelijking voor het rendement
€930 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹
Los numeriek op
P(6%) = €931,98, P(7%) = €869,70
YTM = 6,031%
Antwoord
YTM = 6,031%
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 8,091 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Gewichten
V = €11 000 000, E/V = 0,4545, D/V = 0,5455
WACC
WACC = 0,4545·13% + 0,5455·5%·(1 − 0,2) = 8,091%
Antwoord
WACC = 8,091%
8.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 13,06 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = (104,8 − 100)/8 = 0,6
Antwoord
z = 0,6
11.Kansrekening
Antwoord: σ = 10,9
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.
z-scores
z₁ = (248,5 − 250)/5 = −0,3
z₂ = (252,75 − 250)/5 = 0,55
Oppervlakte ertussen
P = Φ(0,55) − Φ(−0,3) = 0,7088 − 0,3821 = 0,3268
Antwoord
P = 0,3268
14.Normale verdeling
Antwoord: x = 189,5 cm
Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.
Oppervlak links
Φ(z) = 0,95
z uit de tabel
z ≈ 1,64
Terug naar de oorspronkelijke eenheden
x = 178 + 1,64·7 = 189,5 cm
Antwoord
x = 189,5 cm
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: ondergrens = 5,549 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Kritieke waarde
df = 19, t = 1,729
Foutmarge
E = 1,729·2,2/√20 = 0,8506
Interval
6,4 ± 0,8506 → [5,549, 7,251]
Antwoord
ondergrens = 5,549 mmHg
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: σ = 3,661 µm
Interval voor een variantie: (n − 1)s²/σ² heeft een χ²-verdeling met n − 1 vrijheidsgraden. Het 95%-interval voor σ² loopt van (n − 1)s² gedeeld door de bovenste χ²-waarde (2,5% erboven) tot (n − 1)s² gedeeld door de onderste χ²-waarde (2,5% eronder); het interval voor σ is de wortel van beide grenzen. Het is niet symmetrisch rond s.
Kwadratensom
(n − 1)s² = 14·5² = 350
Grenzen voor σ²
350/26,119 = 13,4
350/5,629 = 62,18
Grens voor σ
σ = √13,4 = 3,661 µm
Antwoord
σ = 3,661 µm
95%-interval voor σ: [3,661, 7,885] µm.
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: t = 3,017
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Gepoolde variantie
sp² = (8·4,5² + 6·6²)/14 = 27
sp = 5,196
Standaardfout
SE = 5,196·√(1/9 + 1/7) = 2,619
Toetsingsgrootheid
t = (84,5 − 76,6)/2,619 = 3,017
Antwoord
t = 3,017
Bij df = 14 is de tweezijdige kritieke waarde bij 5% gelijk aan 2,145; |t| is groter, dus H₀ wordt verworpen.
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 53
Steekproefomvang voor een toets: om een werkelijke verschuiving δ te ontdekken met onderscheidend vermogen 1 − β in een eenzijdige z-toets bij niveau α, moet de standaardfout voldoen aan δ = (z_α + z_β)·σ/√n, dus n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², naar boven afgerond.
n oplossen
n = ((1,645 + 1,645)·11/5)² = 52,39
Naar boven afronden
n = 53
Antwoord
n = 53
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r = 0,9904
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 147/6 = 24,5
ȳ = 546/6 = 91
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 711
Syy = Σ(y − ȳ)² = 3272
Correlatiecoëfficiënt
r = 711/√(157,5·3272) = 0,9904
Antwoord
r = 0,9904
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: ŷ = 93,1
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 120/5 = 24
ȳ = 569/5 = 113,8
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 414
Regressielijn
b = 414/90 = 4,6
a = 113,8 − 4,6·24 = 3,4
ŷ = 3,4 + 4,6·x
Voorspelling
ŷ = 3,4 + 4,6·19,5 = 93,1
Antwoord
ŷ = 93,1
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.