Je hebt over 2 jaar €5 000 nodig. Een rekening geeft 3,6 % per jaar, per kwartaal samengesteld. Hoeveel moet je vandaag storten? Bereken de contante waarde PV.
FV = €5 0003,6% / 4n = 2
PV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Je wilt over 20 jaar €75 000 hebben. Je spaart aan het eind van elke maand hetzelfde bedrag op een rekening die 7,2 % per jaar geeft, maandelijks samengesteld. Bereken de maandelijkse inleg A.
FV = €75 0007,2% / 12N = 240
A = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een machine kost vandaag €40 000. Ze levert 7 jaar lang aan het eind van elk jaar €6 500 op en kan daarna voor €4 000 worden verkocht. De vermogenskosten zijn 8 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
C0 = €40 000CF = €6 500S = €4 000n = 7r = 8%
NPV = €
4.NCW & IRRMoeilijk
Een project kost €25 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 €9 500, €16 000, €10 000 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
CF0 = −25 000CF1 = 9 500CF2 = 16 000CF3 = 10 000
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 3% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 10 jaar af. Het effectieve rendement is 5,5% per jaar. Bereken de koers P van de obligatie.
F = €1 000coupon = 3%YTM = 5,5%n = 10
P = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 3% en loopt over 4 jaar af. Het effectieve rendement is 7%. Bereken de Macaulay-duration D in jaren.
F = €1 000coupon = 3%n = 4YTM = 7%
D = jaar
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €6 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €2 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 9%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 3% en het belastingtarief is 30%. Bereken de WACC.
E = €6 000 000D = €2 000 000re = 9%rd = 3%T = 30%
WACC = %
8.CAPM en WACCMoeilijk
De bedrijfsactiviteiten van een onderneming hebben een bèta zonder hefboom (asset beta) van 1. Ze is van plan een verhouding vreemd/eigen vermogen van 0,6 aan te houden. Het belastingtarief is 28%, de risicovrije rente 2% en de marktrisicopremie 6%. Bereken de kosten van het eigen vermogen re bij de nieuwe vermogensstructuur.
βU = 1D/E = 0,6T = 28%rf = 2%rm − rf = 6%
re = %
9.Beschrijvende statistiekGemiddeld
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 35, 60, 13, 46, 51, 53.
n = 6
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 70 en standaardafwijking 10. Bereken de z-score z van een score van 82,5.
μ = 70σ = 10x = 82,5
z =
11.KansrekeningGemiddeld
Er wordt 7 keer met een eerlijke dobbelsteen gegooid. Wat is de kans P op minstens één zes?
n = 7
P =
12.KansrekeningMoeilijk
Een toets heeft 10 meerkeuzevragen. Een student die gokt, heeft elke vraag onafhankelijk goed met kans 0,6. Wat is de kans P op precies 3 goede antwoorden?
n = 10p = 0,6k = 3
P =
13.Normale verdelingGemiddeld
X is normaal verdeeld met gemiddelde 12 min en standaardafwijking 1,5 min; Y is onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 20 min en standaardafwijking 2 min. Bepaal de kans P dat X + Y groter is dan 29,5 min. Rond z af op twee decimalen.
μX = 12, σX = 1,5μY = 20, σY = 2X + Y > 29,5 min
P =
14.Normale verdelingMoeilijk
De lengtes van volwassen mannen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 178 cm en standaardafwijking 7 cm. Bereken de waarde x waaronder 10% ervan ligt (het 10e percentiel).
μ = 178σ = 7P = 10%
x = cm
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
Een steekproef van 21 items heeft gemiddelde 41 en standaardafwijking s = 15. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de foutmarge E van een 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.
n = 21x̄ = 41s = 1599%t(20) = 2,845
E =
16.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
Twee kunstmeststoffen worden getest. Groep 1: 6 proefvelden, gemiddelde opbrengst 81 kg, standaardafwijking 2 kg. Groep 2: 6 proefvelden, gemiddelde 89,5 kg, standaardafwijking 1 kg. Neem gelijke varianties aan (gepoolde t, df = n₁ + n₂ − 2). Bereken de foutmarge E van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.
Een steekproef van 64 studenten heeft een gemiddelde score van 97,25 en een steekproefstandaardafwijking van 10. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 100.
Een eenzijdige z-toets van H₀: μ = 80 tegen H₁: μ < 80 wordt uitgevoerd bij α = 0.05 met een steekproef van 64; de standaardafwijking is bekend en is 12. In werkelijkheid is het gemiddelde 77.3. Bereken de kans op een fout van de tweede soort β in procenten.
μ₀ = 80μ = 77,3σ = 12n = 64α = 0,05
β = %
19.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.
n = 5Σx = 15Σy = 93Σx² = 55Σy² = 1809Σxy = 252
r =
20.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = temperatuur in °C en y = verkochte ijsjes. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Er wordt een nieuwe waarneming (25,5, 84) gedaan. Bereken het residu e = y − ŷ.
n = 6(25,5, 84)
e =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: PV = 4654 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Rente en aantal perioden
i = 0,036000000000000004/4 = 0,009
N = 4·2 = 8
Contante waarde
PV = FV/(1 + i)N = 5 000/1,074 = €4 654,15
Antwoord
PV = €4 654,15
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: A = 140,5 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Contante waarde van de jaarlijkse kasstromen
6 500·5,206 = 33 841,41
Contante waarde van de restwaarde
4 000/1,714 = 2 333,96
NPV
NPV = −40 000 + 33 841,41 + 2 333,96 = −€3 824,63
Antwoord
NPV = −€3 824,63
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 19,54 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De IRR insluiten
De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.
NPV(15%) = 1 934,33
NPV(20%) = −185,19
Verfijnen
Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Per periode
C = €15,00, i = 0,0275, N = 20
Contante waarde van de coupons
€15,00·(1 − 0,5813)/0,0275 = €228,41
Contante waarde van de nominale waarde
€1 000·0,5813 = €581,25
Koers
P = €809,66
Antwoord
P = €809,66
Het rendement ligt boven de couponrente, dus de obligatie wordt onder pari verkocht.
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: D = 3,814 jaar
Duration: de Macaulay-duration is het gewogen gemiddelde tijdstip waarop een obligatie haar kasstromen uitbetaalt, met de contante waarden van de kasstromen als gewichten: D = Σ t·PVₜ/P. De gemodificeerde duration D/(1 + y) schat de procentuele koersverandering bij een kleine verandering van het rendement: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Contante waarde van elke kasstroom
t = 1: 30/1,07 = 28,04, t·PV = 28,04
t = 2: 30/1,145 = 26,20, t·PV = 52,41
t = 3: 30/1,225 = 24,49, t·PV = 73,47
t = 4: 1030/1,311 = 785,78, t·PV = 3 143,13
Duration
P = 864,51
D = 3 297,04/864,51 = 3,814
Antwoord
D = 3,814 jaar
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 7,275 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Gewichten
V = €8 000 000, E/V = 0,75, D/V = 0,25
WACC
WACC = 0,75·9% + 0,25·3%·(1 − 0,3) = 7,275%
Antwoord
WACC = 7,275%
8.CAPM en WACC
Antwoord: re = 10,59 %
Bèta met hefboom (Hamada): vreemd vermogen maakt het eigen vermogen riskanter. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), waarbij βU de bèta van de onderneming zonder schuld is. Om een bèta naar een andere vermogensstructuur om te zetten, haal je eerst de hefboom eruit (unlever) en reken je hem daarna opnieuw in bij de nieuwe D/E (relever).
Bèta met hefboom
βL = 1·(1 + 0,72·0,6) = 1,432
Kosten eigen vermogen (CAPM)
re = 2% + 1,432·6% = 10,59%
Antwoord
re = 10,59%
9.Beschrijvende statistiek
Antwoord: s = 16,89
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = (82,5 − 70)/10 = 1,25
Antwoord
z = 1,25
11.Kansrekening
Antwoord: P = 0,7209
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Complement
P(geen zes) = (5/6)7 = 0,2791
P = 1 − 0,2791 = 0,7209
Antwoord
P = 0,7209
12.Kansrekening
Antwoord: P = 0,04247
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μX ± μY. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σX² + σY², dus σ = √(σX² + σY²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.
Verdeling van de som
μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min
Standaardiseren
z = (29,5 − 32)/2,5 = −1
Rechterstaart
P = 1 − Φ(−1) = 1 − 0,1587 = 0,8413
Antwoord
P = 0,8413
14.Normale verdeling
Antwoord: x = 169 cm
Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.
z voor het percentiel
Φ(z) = 0,1 → z = −1,282
Terug naar x
x = 178 + −1,282·7 = 169,03 cm
Antwoord
x = 169,03 cm
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: E = 9,312
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
Kritieke waarde
df = n − 1 = 20, t = 2,845
Foutmarge
E = 2,845·15/√21 = 9,312
Antwoord
E = 9,312
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: E = 2,034 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Gepoolde standaardafwijking
sp² = (5·2² + 5·1²)/10 = 2,5
sp = 1,581
Foutmarge
E = 2,228·1,581·√(1/6 + 1/6) = 2,034
Antwoord
E = 2,034 kg
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: t = −2,2
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
Standaardfout
SE = 10/√64 = 10/8 = 1,25
Toetsingsgrootheid
t = (97,25 − 100)/1,25 = −2,2
Antwoord
t = −2,2
t0,025; df = 63 = 1,998
|t| > 1,998, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: β = 43,84 %
Onderscheidend vermogen van een toets: het onderscheidend vermogen 1 − β is de kans dat H₀ wordt verworpen als die onwaar is. Bepaal de grens x̄c uit μ₀ en z_α, en bereken dan met het ware gemiddelde de kans om voorbij x̄c uit te komen: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Kritiek steekproefgemiddelde
SE = 12/√64 = 1,5
x̄c = 80 − 1,645·1,5 = 77,53
z onder het ware gemiddelde
z = (77,53 − 77,3)/1,5 = 0,155
Fout van de tweede soort
onderscheidend vermogen = P(Z < 0.155) = 56.16%
β = 100% − 56,16% = 43,84%
Antwoord
β = 43,84%
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r = −0,9594
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gecentreerde sommen
Sxy = 252 − 15·93/5 = −27
Sxx = 55 − 15²/5 = 10
Syy = 1809 − 93²/5 = 79,2
Correlatiecoëfficiënt
r = −27/√(10·79,2) = −0,9594
Antwoord
r = −0,9594
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: e = −3,6
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 135/6 = 22,5
ȳ = 468/6 = 78
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 504
Regressielijn
b = 504/157,5 = 3,2
a = 78 − 3,2·22,5 = 6
ŷ = 6 + 3,2·x
Voorspelde waarde
ŷ = 6 + 3,2·25,5 = 87,6
Residu
e = 84 − 87,6 = −3,6
Antwoord
e = −3,6
Het punt ligt onder de lijn.
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.