Een creditcard rekent een nominale rente van 15 % per jaar, dagelijks samengesteld. Bereken de effectieve jaarrente EAR in procent.
r = 15%m = 365
EAR = %
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Een lening van €10 000 wordt in 3 jaar afgelost met gelijke maandbedragen tegen 4,8 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel rente I wordt er in totaal over de looptijd van de lening betaald?
P = €10 0004,8% / 12N = 36
I = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een investering van €30 000 levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 deze kasstromen op: €15 000, €8 000, €12 000. De vermogenskosten zijn 9 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
Een project kost €20 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 €10 000, €7 500, €13 000 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
CF0 = −20 000CF1 = 10 000CF2 = 7 500CF3 = 13 000
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 8% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 5 jaar af. Het effectieve rendement is 4% per jaar. Bereken de koers P van de obligatie.
F = €1 000coupon = 8%YTM = 4%n = 5
P = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 en een jaarlijkse coupon van 6% loopt over 7 jaar af en wordt verkocht voor €1 090. Bereken het effectieve rendement YTM in procenten.
F = €1 000coupon = 6%n = 7P = €1 090
YTM = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €5 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €5 000 000. De WACC is 6,3%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting 4,5% en het belastingtarief is 20%. Bereken de kosten van het eigen vermogen re.
Een onderneming heeft 1 000 000 aandelen van €35,50 per stuk en 40 000 obligaties met een koers van €1 000 per stuk. De kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 3% en het belastingtarief is 25%. De bèta van het aandeel is 0,8, de risicovrije rente 2,5% en het marktrendement 7,5%. Bereken de WACC.
β = 0,8rf = 2,5%rm = 7,5%rd = 3%T = 25%
WACC = %
9.Beschrijvende statistiekGemiddeld
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 45, 35, 57, 30, 27, 37.
n = 6
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 170 en standaardafwijking 12. Bereken de z-score z van een score van 152.
μ = 170σ = 12x = 152
z =
11.KansrekeningGemiddeld
Er wordt 6 keer met een eerlijke dobbelsteen gegooid. Wat is de kans P op minstens één zes?
n = 6
P =
12.KansrekeningMoeilijk
X heeft de getoonde verdeling, en Y = 0,5X + 1. Bepaal de standaardafwijking σY van Y.
x: 0, 1, 2p(x): 0,3, 0,35, 0,35Y = 0,5X + 1
σY =
13.Normale verdelingGemiddeld
De massa's van passagiers met bagage zijn onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 85 kg en standaardafwijking 12 kg. Bepaal de kans P dat de totale massa van 12 ervan kleiner is dan 1082 kg. Rond z af op twee decimalen.
μ = 85 kgσ = 12 kgn = 12< 1082 kg
P =
14.Normale verdelingMoeilijk
De levertijden zijn normaal verdeeld met gemiddelde 32 min en standaardafwijking 6 min. Bereken de waarde x waaronder 97,5% ervan ligt (het 97,5e percentiel).
μ = 32σ = 6P = 97,5%
x = min
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
Een steekproef van 7 items heeft gemiddelde 54,5 en standaardafwijking s = 2. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de foutmarge E van een 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.
n = 7x̄ = 54,5s = 299%t(6) = 3,707
E =
16.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
De standaardafwijking van de populatie is 32. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 2,5 heeft?
Een steekproef van 64 studenten heeft een gemiddelde score van 197,4 en een steekproefstandaardafwijking van 15. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 200.
Hoe groot moet een steekproef zijn zodat het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde een foutmarge van hoogstens 1,5 heeft? De standaardafwijking is 10. Bereken de kleinste steekproefomvang n.
σ = 10E = 1,595%
n =
19.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.
n = 6Σx = 42Σy = 87Σx² = 364Σy² = 1509Σxy = 738
r =
20.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voor welke waarde x voorspelt de lijn ŷ = 30?
n = 6ŷ = 30
x =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: EAR = 16,18 %
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Rente per periode
r/m = 0,15/365 = 0,000411
Samenstellen over één jaar
EAR = (1 + 0,000411)365 − 1 = 1,162 − 1 = 16,18%
Antwoord
EAR = 16,18%
De effectieve jaarrente ligt altijd boven de nominale rente als de rente vaker dan één keer per jaar wordt bijgeschreven.
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: I = 757,2 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Maandbedrag
i = 0,004, N = 36
A = 10 000·0,004/(1 − (1 + 0,004)−36) = €298,81
Totale rente
I = N·A − P = 36·298,8 − 10 000 = €757,23
Antwoord
I = €757,23
3.NCW & IRR
Antwoord: NPV = −238,9 €
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Contante waarde van elke kasstroom
CF0 = −30 000
CF1/(1 + 0,09)1 = 15 000/1,09 = 13 761,47
CF2/(1 + 0,09)2 = 8 000/1,188 = 6 733,44
CF3/(1 + 0,09)3 = 12 000/1,295 = 9 266,20
Optellen
NPV = €−238,89
Antwoord
NPV = €−238,89
De NCW is negatief, dus het project verdient minder dan het vereiste rendement.
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 23,23 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De IRR insluiten
De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.
NPV(20%) = 1 064,81
NPV(25%) = −544,00
Verfijnen
Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Per periode
C = €40,00, i = 0,02, N = 10
Contante waarde van de coupons
€40,00·(1 − 0,8203)/0,02 = €359,30
Contante waarde van de nominale waarde
€1 000·0,8203 = €820,35
Koers
P = €1 179,65
Antwoord
P = €1 179,65
Het rendement ligt onder de couponrente, dus de obligatie wordt boven pari verkocht.
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: YTM = 4,474 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vergelijking voor het rendement
€1 090 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷
Los numeriek op
P(4%) = €1 120,04, P(5%) = €1 057,86
YTM = 4,474%
Antwoord
YTM = 4,474%
7.CAPM en WACC
Antwoord: re = 9 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Gewichten
V = €10 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
Deel van het vreemd vermogen in de WACC
0,5·4,5%·(1 − 0,2) = 1,8%
Kosten van het eigen vermogen
re = (6,3% − 1,8%)/0,5 = 9%
Antwoord
re = 9%
8.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 4,248 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = (152 − 170)/12 = −1,5
Antwoord
z = −1,5
11.Kansrekening
Antwoord: P = 0,6651
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Complement
P(geen zes) = (5/6)6 = 0,3349
P = 1 − 0,3349 = 0,6651
Antwoord
P = 0,6651
12.Kansrekening
Antwoord: σY = 0,4023
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μX ± μY. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σX² + σY², dus σ = √(σX² + σY²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.
Verdeling van het totaal
μT = 1020 kg, σT = 12·√12 = 41,57 kg
Standaardiseren
z = (1082 − 1020)/41,57 = 1,5
Kansrekening
P = Φ(1,5) = 0,9332
Antwoord
P = 0,9332
14.Normale verdeling
Antwoord: x = 43,76 min
Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.
z voor het percentiel
Φ(z) = 0,975 → z = 1,96
Terug naar x
x = 32 + 1,96·6 = 43,76 min
Antwoord
x = 43,76 min
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: E = 2,802
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
Kritieke waarde
df = n − 1 = 6, t = 3,707
Foutmarge
E = 3,707·2/√7 = 2,802
Antwoord
E = 2,802
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 630
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
n oplossen
n = (1,96·32/2,5)² = 629,4
Naar boven afronden
Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.
n = 630
Antwoord
n = 630
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: t = −1,387
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
Standaardfout
SE = 15/√64 = 15/8 = 1,875
Toetsingsgrootheid
t = (197,4 − 200)/1,875 = −1,387
Antwoord
t = −1,387
t0,025; df = 63 = 1,998
|t| < 1.998, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 171
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
n oplossen
n = (1,96·10/1,5)² = 170,7
Naar boven afronden
n = 171
Antwoord
n = 171
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r = 0,9801
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gecentreerde sommen
Sxy = 738 − 42·87/6 = 129
Sxx = 364 − 42²/6 = 70
Syy = 1509 − 87²/6 = 247,5
Correlatiecoëfficiënt
r = 129/√(70·247,5) = 0,9801
Antwoord
r = 0,9801
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: x = 1,521
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 256/6 = 42,67
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 112
Regressielijn
b = 112/17,5 = 6,4
a = 42,67 − 6,4·3,5 = 20,27
ŷ = 20,27 + 6,4·x
Los op naar x
x = (30 − 20,27)/6,4 = 1,521
Antwoord
x = 1,521
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.