Je hebt over 10 jaar €50 000 nodig. Een rekening geeft 5 % per jaar, per kwartaal samengesteld. Hoeveel moet je vandaag storten? Bereken de contante waarde PV.
FV = €50 0005% / 4n = 10
PV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Je stort 22 jaar lang aan het begin van elk jaar €3 000, de eerste storting vandaag. De rekening geeft 4 % per jaar. Hoeveel staat er aan het eind van jaar 22 op de rekening? Bereken FV.
A = €3 000i = 4%n = 22
FV = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een investering van €60 000 levert aan het eind van jaar 1 tot en met 4 deze kasstromen op: €21 000, €20 000, €24 000, €23 000. De vermogenskosten zijn 15 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
Een project kost €50 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 €21 500, €31 500, €36 000 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
CF0 = −50 000CF1 = 21 500CF2 = 31 500CF3 = 36 000
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 6% en loopt over 7 jaar af. Het effectieve rendement verandert van 3,5% naar 4,5%. Hoeveel ΔP verandert de koers van de obligatie?
F = €1 000coupon = 6%n = 7y1 = 3,5%y2 = 4,5%
ΔP = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 6% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 3 jaar af. Ze wordt verkocht voor €1 056. Bereken het effectieve rendement YTM als jaarrente (twee keer het halfjaarlijkse rendement), in procenten.
F = €1 000coupon = 6% (2×)n = 3P = €1 056
YTM = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een aandeel met een bèta van 1,6 heeft een vereist rendement van 13,1%. De risicovrije rente is 3,5%. Welk verwacht marktrendement rm volgt uit CAPM?
β = 1,6re = 13,1%rf = 3,5%
rm = %
8.CAPM en WACCMoeilijk
Een onderneming heeft 4 000 000 aandelen van €20,00 per stuk en 10 000 obligaties met een koers van €980 per stuk. De kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 4% en het belastingtarief is 25,8%. De bèta van het aandeel is 0,8, de risicovrije rente 3% en het marktrendement 9,5%. Bereken de WACC.
β = 0,8rf = 3%rm = 9,5%rd = 4%T = 25,8%
WACC = %
9.Beschrijvende statistiekGemiddeld
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 15, 60, 38, 47, 14, 41, 36.
n = 7
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 70 en standaardafwijking 20. Welk deel P van de waarden ligt boven 40?
μ = 70σ = 20x = 40
P =
11.KansrekeningGemiddeld
Op hoeveel manieren N kun je een commissie van 5 personen kiezen uit een groep van 12? De volgorde doet er niet toe.
n = 12k = 5
N =
12.KansrekeningMoeilijk
Een toets heeft 9 meerkeuzevragen. Een student die gokt, heeft elke vraag onafhankelijk goed met kans 0,7. Wat is de kans P op precies 4 goede antwoorden?
n = 9p = 0,7k = 4
P =
13.Normale verdelingGemiddeld
Sleep z zo dat het gearceerde oppervlak tussen −z en z onder de standaardnormale kromme 0,3401 is. Bepaal z op twee decimalen.
A = 0,3401
z =
14.Normale verdelingMoeilijk
Gatdiameters D zijn normaal verdeeld met gemiddelde 25,02 mm en standaardafwijking 0,02 mm. Asdiameters d zijn onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 25 mm en standaardafwijking 0,02 mm. Een willekeurig gekozen as past als D − d > 0. Bepaal de kans P dat hij past. Rond z af op twee decimalen.
gat: μ = 25,02 mm, σ = 0,02 mmas: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm
P =
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
De bloeddruk van 16 patiënten wordt gemeten voor en na een behandeling. De verschillen d = voor − na (mmHg) hebben gemiddelde −1,9 en standaardafwijking 6,6. Bereken de foutmarge E van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde verschil.
n = 16d̄ = −1,9sd = 6,690%t(15) = 1,753
E = mmHg
16.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
De standaardafwijking van de populatie is 35. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 5 heeft?
Van een populatie wordt beweerd dat het gemiddelde 250 is; de standaardafwijking van de populatie is bekend en is 10. Een aselecte steekproef van 100 waarnemingen heeft een gemiddelde van 251,98. Toets H₀: μ = 250 tegen H₁: μ ≠ 250. Bereken de p-waarde p.
Een eenzijdige z-toets bij α = 0,01 moet een verschuiving van het gemiddelde van 3 eenheden ontdekken met een onderscheidend vermogen van 80 %. De standaardafwijking is 15. Bereken de minimale steekproefomvang n.
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voorspel ŷ voor x = 4,5.
n = 5x = 4,5
ŷ =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: PV = 30421 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Rente en aantal perioden
i = 0,05/4 = 0,0125
N = 4·10 = 40
Contante waarde
PV = FV/(1 + i)N = 50 000/1,644 = €30 420,67
Antwoord
PV = €30 420,67
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 106854 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Gewone annuïteitsfactor
((1 + 0,04)22 − 1)/0,04 = 34,25
Prenumerando annuïteit
Elke storting staat een jaar langer uit.
FV = 3 000·34,25·1,04 = €106 853,67
Antwoord
FV = €106 853,67
3.NCW & IRR
Antwoord: NPV = 2314 €
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Contante waarde van elke kasstroom
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0,15)1 = 21 000/1,15 = 18 260,87
CF2/(1 + 0,15)2 = 20 000/1,322 = 15 122,87
CF3/(1 + 0,15)3 = 24 000/1,521 = 15 780,39
CF4/(1 + 0,15)4 = 23 000/1,749 = 13 150,32
Optellen
NPV = €2 314,46
Antwoord
NPV = €2 314,46
De NCW is positief, dus het project verdient meer dan het vereiste rendement.
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 32,02 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De IRR insluiten
De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.
NPV(30%) = 1 563,50
NPV(35%) = −2 158,21
Verfijnen
Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Per periode
C = €30,00, N = 6
Los numeriek op
i = 2% per halfjaar
YTM
YTM = 2·2% = 4%
Antwoord
YTM = 4%
7.CAPM en WACC
Antwoord: rm = 9,5 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Marktrisicopremie
rm − rf = (13,1% − 3,5%)/1,6 = 6%
Marktrendement
rm = 3,5% + 6% = 9,5%
Antwoord
rm = 9,5%
8.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 7,629 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = −1,5
Tabel standaardnormale verdeling
Φ(−1,5) = 0,06681
P = 1 − 0,06681 = 0,9332
Antwoord
P = 0,9332
11.Kansrekening
Antwoord: N = 792
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Combinaties
C(12, 5) = (12·11·10·9·8)/(5·4·3·2·1) = 792
Antwoord
N = 792
12.Kansrekening
Antwoord: P = 0,07351
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.
Oppervlak links van z
Φ(z) = (1 + 0,3401)/2 = 0,6700
Lees de z-tabel achterstevoren
Zoek 0,6700 in de tabel en lees z af.
z = 0,44
Antwoord
z = 0,44
14.Normale verdeling
Antwoord: P = 0,7611
Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μX ± μY. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σX² + σY², dus σ = √(σX² + σY²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.
Verdeling van het verschil
μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,02828 mm
Standaardiseren
z = (0 − 0,02)/0,02828 = −0,71
Kansrekening
P = 1 − Φ(−0,71) = 0,7611
Antwoord
P = 0,7611
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: E = 2,892 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Kritieke waarde
df = 15, t = 1,753
Foutmarge
E = 1,753·6,6/√16 = 2,892
Antwoord
E = 2,892 mmHg
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 133
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
n oplossen
n = (1,645·35/5)² = 132,6
Naar boven afronden
Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.
n = 133
Antwoord
n = 133
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: p = 0,0477
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Toetsingsgrootheid
SE = σ/√n = 10/√100 = 1
z = (251,98 − 250)/1 = 1,98
Staartoppervlakte
Φ(1,98) = 0,9761
1 − Φ(1,98) = 0,0239
p-waarde
p = 2·0,0239 = 0,0477
Antwoord
p = 0,0477
p ≤ 0,05, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau.
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 251
Steekproefomvang voor een toets: om een werkelijke verschuiving δ te ontdekken met onderscheidend vermogen 1 − β in een eenzijdige z-toets bij niveau α, moet de standaardfout voldoen aan δ = (z_α + z_β)·σ/√n, dus n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², naar boven afgerond.
n oplossen
n = ((2,326 + 0,842)·15/3)² = 250,9
Naar boven afronden
n = 251
Antwoord
n = 251
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r = 0,9909
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gecentreerde sommen
Sxy = 2447 − 36·357/6 = 305
Sxx = 286 − 36²/6 = 70
Syy = 22595 − 357²/6 = 1354
Correlatiecoëfficiënt
r = 305/√(70·1354) = 0,9909
Antwoord
r = 0,9909
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: ŷ = 54,85
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 254/5 = 50,8
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 27
Regressielijn
b = 27/10 = 2,7
a = 50,8 − 2,7·3 = 42,7
ŷ = 42,7 + 2,7·x
Voorspelling
ŷ = 42,7 + 2,7·4,5 = 54,85
Antwoord
ŷ = 54,85
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.