Je belegt €3 000 tegen een nominale rente van 4,8 % per jaar, per kwartaal samengesteld. Bereken de waarde FV van de belegging na 4 jaar.
PV = €3 0004,8% / 4n = 4
FV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Je wilt over 7 jaar €30 000 hebben. Je spaart aan het eind van elke maand hetzelfde bedrag op een rekening die 3,6 % per jaar geeft, maandelijks samengesteld. Bereken de maandelijkse inleg A.
FV = €30 0003,6% / 12N = 84
A = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een machine kost vandaag €20 000, gaat 7 jaar mee en kost €5 000 per jaar aan bedrijfskosten (betaald aan het eind van elk jaar). De vermogenskosten zijn 12 %. Bereken de equivalente jaarlijkse kosten EAC.
C0 = €20 000M = €5 000n = 7r = 12%
EAC = €
4.NCW & IRRMoeilijk
Een project kost €10 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 2 €7 000, €4 000 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
CF0 = −10 000CF1 = 7 000CF2 = 4 000
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 8% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 12 jaar af. Het effectieve rendement is 5,5% per jaar. Bereken de koers P van de obligatie.
F = €1 000coupon = 8%YTM = 5,5%n = 12
P = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 2% en loopt over 4 jaar af. Het effectieve rendement is 5%. Bereken de Macaulay-duration D in jaren.
F = €1 000coupon = 2%n = 4YTM = 5%
D = jaar
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een aandeel met een bèta van 0,9 heeft een vereist rendement van 6,9%. De risicovrije rente is 1,5%. Welk verwacht marktrendement rm volgt uit CAPM?
β = 0,9re = 6,9%rf = 1,5%
rm = %
8.CAPM en WACCMoeilijk
Een onderneming heeft 5 000 000 aandelen van €54,00 per stuk en 20 000 obligaties met een koers van €1 050 per stuk. De kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 4% en het belastingtarief is 25,8%. De bèta van het aandeel is 1,1, de risicovrije rente 2,5% en het marktrendement 8,5%. Bereken de WACC.
β = 1,1rf = 2,5%rm = 8,5%rd = 4%T = 25,8%
WACC = %
9.Beschrijvende statistiekGemiddeld
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 44, 17, 41, 34, 16, 51, 30.
n = 7
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 170 en standaardafwijking 15. Welk deel P van de waarden ligt boven 162,5?
μ = 170σ = 15x = 162,5
P =
11.KansrekeningGemiddeld
Op hoeveel manieren N kun je een commissie van 3 personen kiezen uit een groep van 11? De volgorde doet er niet toe.
n = 11k = 3
N =
12.KansrekeningMoeilijk
Een toets heeft 10 meerkeuzevragen. Een student die gokt, heeft elke vraag onafhankelijk goed met kans 0,3. Wat is de kans P op precies 5 goede antwoorden?
n = 10p = 0,3k = 5
P =
13.Normale verdelingGemiddeld
Sleep z zo dat het gearceerde oppervlak onder de standaardnormale kromme, rechts van z, 0,7019 is. Bepaal z op twee decimalen.
A = 0,7019
z =
14.Normale verdelingMoeilijk
De IQ-scores zijn normaal verdeeld met gemiddelde 100 punten en standaardafwijking 15 punten. Bereken de waarde x waaronder 97,5% ervan ligt (het 97,5e percentiel).
μ = 100σ = 15P = 97,5%
x = punten
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
De batterijduur van twee telefoonmodellen wordt vergeleken. Model 1: 60 telefoons, gemiddelde 108 h, bekende standaardafwijking 16 h. Model 2: 50 telefoons, gemiddelde 94 h, bekende standaardafwijking 4 h. Bereken de foutmarge E van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.
De standaardafwijking van de populatie is 30. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 4 heeft?
Een steekproef van 81 studenten heeft een gemiddelde score van 96,53 en een steekproefstandaardafwijking van 12. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 100.
Hoe groot moet een steekproef zijn zodat het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde een foutmarge van hoogstens 2,5 heeft? De standaardafwijking is 5. Bereken de kleinste steekproefomvang n.
σ = 5E = 2,595%
n =
19.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = temperatuur in °C en y = verkochte ijsjes. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voorspel ŷ voor x = 7.
n = 5x = 7
ŷ =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 3631 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Rente en aantal perioden
i = r/m = 0,048/4 = 0,012
N = m·n = 4·4 = 16
Eindwaarde
FV = 3 000·(1 + 0,012)16 = 3 000·1,21 = €3 630,86
Antwoord
FV = €3 630,86
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: A = 314,6 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Equivalente jaarlijkse kosten: spreid de contante waarde van alle kosten over de levensduur als een gelijk jaarlijks bedrag (een annuïteit): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Zo kun je machines met verschillende levensduren vergelijken.
Annuïteitsfactor
(1 − 1,12−7)/0,12 = 4,564
Aanschafprijs omgerekend per jaar
20 000/4,564 = 4 382,35
EAC
EAC = 4 382,35 + 5 000 = €9 382,35
Antwoord
EAC = €9 382,35
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 7,284 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De IRR insluiten
De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.
NPV(5%) = 294,78
NPV(10%) = −330,58
Verfijnen
Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.
IRR ≈ 5 + 5·294,78/(294,78 − (−330,58)) = 7,357%
exact: NPV(7,284%) = 0 → IRR = 7,284%
Antwoord
IRR = 7,284%
5.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: P = 1218 €
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Per periode
C = €40,00, i = 0,0275, N = 24
Contante waarde van de coupons
€40,00·(1 − 0,5215)/0,0275 = €696,03
Contante waarde van de nominale waarde
€1 000·0,5215 = €521,48
Koers
P = €1 217,51
Antwoord
P = €1 217,51
Het rendement ligt onder de couponrente, dus de obligatie wordt boven pari verkocht.
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: D = 3,876 jaar
Duration: de Macaulay-duration is het gewogen gemiddelde tijdstip waarop een obligatie haar kasstromen uitbetaalt, met de contante waarden van de kasstromen als gewichten: D = Σ t·PVₜ/P. De gemodificeerde duration D/(1 + y) schat de procentuele koersverandering bij een kleine verandering van het rendement: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Contante waarde van elke kasstroom
t = 1: 20/1,05 = 19,05, t·PV = 19,05
t = 2: 20/1,103 = 18,14, t·PV = 36,28
t = 3: 20/1,158 = 17,28, t·PV = 51,83
t = 4: 1020/1,216 = 839,16, t·PV = 3 356,63
Duration
P = 893,62
D = 3 463,79/893,62 = 3,876
Antwoord
D = 3,876 jaar
7.CAPM en WACC
Antwoord: rm = 7,5 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Marktrisicopremie
rm − rf = (6,9% − 1,5%)/0,9 = 6%
Marktrendement
rm = 1,5% + 6% = 7,5%
Antwoord
rm = 7,5%
8.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 8,657 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = −0,5
Tabel standaardnormale verdeling
Φ(−0,5) = 0,3085
P = 1 − 0,3085 = 0,6915
Antwoord
P = 0,6915
11.Kansrekening
Antwoord: N = 165
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Combinaties
C(11, 3) = (11·10·9)/(3·2·1) = 165
Antwoord
N = 165
12.Kansrekening
Antwoord: P = 0,1029
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.
Oppervlak links van z
Φ(z) = 1 − 0,7019 = 0,2981
Lees de z-tabel achterstevoren
Zoek 0,2981 in de tabel en lees z af.
z = −0,53
Antwoord
z = −0,53
14.Normale verdeling
Antwoord: x = 129,4 punten
Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.
z voor het percentiel
Φ(z) = 0,975 → z = 1,96
Terug naar x
x = 100 + 1,96·15 = 129,4 punten
Antwoord
x = 129,4 punten
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: E = 3,523 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Puntschatting
x̄₁ − x̄₂ = 108 − 94 = 14
Standaardfout
SE = √(16²/60 + 4²/50) = 2,142
Foutmarge
E = 1,645·2,142 = 3,523
Antwoord
E = 3,523 h
Het interval bevat 0 niet, dus de gemiddelden verschillen significant.
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 153
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
n oplossen
n = (1,645·30/4)² = 152,2
Naar boven afronden
Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.
n = 153
Antwoord
n = 153
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: t = −2,602
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
Standaardfout
SE = 12/√81 = 12/9 = 1,333
Toetsingsgrootheid
t = (96,53 − 100)/1,333 = −2,602
Antwoord
t = −2,602
t0,025; df = 80 = 1,99
|t| > 1,99, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 16
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
n oplossen
n = (1,96·5/2,5)² = 15,37
Naar boven afronden
n = 16
Antwoord
n = 16
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r = 0,9978
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gecentreerde sommen
Sxy = 6921 − 100·330/5 = 321
Sxx = 2090 − 100²/5 = 90
Syy = 22930 − 330²/5 = 1150
Correlatiecoëfficiënt
r = 321/√(90·1150) = 0,9978
Antwoord
r = 0,9978
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: ŷ = 22,65
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 97/5 = 19,4
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 130
Regressielijn
b = 130/40 = 3,25
a = 19,4 − 3,25·6 = −0,1
ŷ = −0,1 + 3,25·x
Voorspelling
ŷ = −0,1 + 3,25·7 = 22,65
Antwoord
ŷ = 22,65
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.