Een vastgoedobject levert volgend jaar naar verwachting €2 000 netto huur op. De huur groeit naar verwachting voor altijd met 2 % per jaar. Het vereiste rendement is 8 % per jaar. Bereken de waarde PV van het object vandaag.
C1 = €2 000g = 2%r = 8%
PV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Je spaart 22 jaar lang aan het eind van elke maand €300. De rekening geeft 4,2 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel heb je aan het eind gespaard? Bereken FV.
A = €3004,2% / 12N = 264
FV = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een project kost vandaag €500 000. Het levert aan het eind van het eerste jaar €32 000 op, en de kasstroom groeit daarna voor altijd met 2 % per jaar. De vermogenskosten zijn 10 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
C0 = €500 000CF1 = €32 000g = 2%r = 10%
NPV = €
4.NCW & IRRMoeilijk
Een project kost €10 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 €5 500, €6 500, €4 500 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
CF0 = −10 000CF1 = 5 500CF2 = 6 500CF3 = 4 500
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 4,5% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 8 jaar af. Het effectieve rendement is 2,5% per jaar. Bereken de koers P van de obligatie.
F = €1 000coupon = 4,5%YTM = 2,5%n = 8
P = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie noteert op €1 030 met een effectief rendement van 3% (jaarlijks samengesteld) en een Macaulay-duration van 4,6 jaar. Schat met de gemodificeerde duration de nieuwe koers P als het rendement met 100 basispunten stijgt.
P0 = €1 030y = 3%D = 4,6Δy = +100 bp
P = €
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft een verhouding vreemd/eigen vermogen (tegen marktwaarde) van 1,5. De kosten van het eigen vermogen zijn 10%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting 3% en het belastingtarief is 21%. Bereken de WACC.
D/E = 1,5re = 10%rd = 3%T = 21%
WACC = %
8.CAPM en WACCMoeilijk
Een onderneming heeft 2 500 000 aandelen van €32,00 per stuk en 10 000 obligaties met een koers van €1 000 per stuk. De kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 3,5% en het belastingtarief is 28%. De bèta van het aandeel is 1,3, de risicovrije rente 2% en het marktrendement 7,5%. Bereken de WACC.
β = 1,3rf = 2%rm = 7,5%rd = 3,5%T = 28%
WACC = %
9.Beschrijvende statistiekGemiddeld
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 31, 27, 38, 50, 29.
n = 5
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 70 en standaardafwijking 5. Bereken de z-score z van een score van 65.
μ = 70σ = 5x = 65
z =
11.KansrekeningGemiddeld
Op hoeveel manieren N kun je een commissie van 2 personen kiezen uit een groep van 11? De volgorde doet er niet toe.
n = 11k = 2
N =
12.KansrekeningMoeilijk
Een spel kost €5 inzet. Je wint €25 met kans 0,1 en €250 met kans 0,02; anders win je niets. De inzet krijg je niet terug. Bepaal de verwachte nettowinst E(G) per spel.
inzet = €5€25: p = 0,1€250: p = 0,02
E(G) = €
13.Normale verdelingGemiddeld
De levertijden zijn normaal verdeeld met gemiddelde 32 min en standaardafwijking 6 min. Welk deel ligt tussen 25,1 en 38,3 min? Geef P als decimaal getal.
μ = 32σ = 6x1 = 25,1x2 = 38,3
P =
14.Normale verdelingMoeilijk
De lengtes van volwassen mannen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 178 cm en standaardafwijking 7 cm. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde bovenste 40% rechts ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.
μ = 178 cmσ = 7 cm40%
x = cm
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
Een steekproef van 15 items heeft gemiddelde 48 en standaardafwijking s = 7,5. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de bovengrens van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.
n = 15x̄ = 48s = 7,590%t(14) = 1,761
bovengrens =
16.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
Over de fractie defecte producten is vooraf niets bekend. Hoeveel producten n moeten worden gecontroleerd zodat een 90%-betrouwbaarheidsinterval voor de fractie een foutmarge van hoogstens 0,04 heeft?
Twee productielijnen maken hetzelfde onderdeel. Lijn 1: een steekproef van 40 onderdelen heeft een gemiddelde lengte van 83 mm, en de bekende standaardafwijking van de lijn is 8 mm. Lijn 2: een steekproef van 80 onderdelen heeft gemiddelde 81,1 mm, bekende standaardafwijking 6 mm. Bereken de toetsingsgrootheid z voor H₀: μ₁ = μ₂, met als verschil x̄₁ − x̄₂ (lijn 1 min lijn 2).
Een steekproef van 100 metingen heeft gemiddelde 74,9. De standaardafwijking van de populatie is 4. Bereken de bovengrens U van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.
x̄ = 74,9σ = 4n = 10095%
U =
19.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Bereken de determinatiecoëfficiënt r² van de kleinstekwadratenlijn.
n = 5
r² =
20.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Er wordt een nieuwe waarneming (3,5, 40) gedaan. Bereken het residu e = y − ŷ.
n = 5(3,5, 40)
e =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: PV = 33333 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Waarde van de kasstromen
PV = 32 000/(0,1 − 0,02) = 400 000,00
NPV
NPV = 400 000,00 − 500 000 = −€100 000,00
Antwoord
NPV = −€100 000,00
De NCW is negatief, dus het project verdient minder dan het vereiste rendement.
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 30,91 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De IRR insluiten
De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.
NPV(30%) = 125,17
NPV(35%) = −530,41
Verfijnen
Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.
IRR ≈ 30 + 5·125,17/(125,17 − (−530,41)) = 30,95%
exact: NPV(30,91%) = 0 → IRR = 30,91%
Antwoord
IRR = 30,91%
5.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: P = 1144 €
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Per periode
C = €22,50, i = 0,0125, N = 16
Contante waarde van de coupons
€22,50·(1 − 0,8197)/0,0125 = €324,46
Contante waarde van de nominale waarde
€1 000·0,8197 = €819,75
Koers
P = €1 144,20
Antwoord
P = €1 144,20
Het rendement ligt onder de couponrente, dus de obligatie wordt boven pari verkocht.
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: P = 984 €
Duration: de Macaulay-duration is het gewogen gemiddelde tijdstip waarop een obligatie haar kasstromen uitbetaalt, met de contante waarden van de kasstromen als gewichten: D = Σ t·PVₜ/P. De gemodificeerde duration D/(1 + y) schat de procentuele koersverandering bij een kleine verandering van het rendement: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Gemodificeerde duration
Dmod = 4,6/1,03 = 4,466
Geschatte koersverandering
%ΔP ≈ −4,466·(0,01) = −4,466%
P ≈ 1030·(1 − 0,04466) = €984,00
Antwoord
P = €984,00
Duration is een lineaire schatting; bij grote rendementsveranderingen maakt de convexiteit de werkelijke koers iets hoger.
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 5,422 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Gewichten uit D/E
E/V = 1/(1 + 1,5) = 0,4
D/V = 1,5/(1 + 1,5) = 0,6
WACC
WACC = 0,4·10% + 0,6·3%·(1 − 0,21) = 5,422%
Antwoord
WACC = 5,422%
8.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 8,413 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = (65 − 70)/5 = −1
Antwoord
z = −1
11.Kansrekening
Antwoord: N = 55
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Combinaties
C(11, 2) = (11·10)/(2·1) = 55
Antwoord
N = 55
12.Kansrekening
Antwoord: E(G) = 2,5 €
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Netto-uitkomsten
G: 20 (p = 0,1), 245 (p = 0,02), −5 (p = 0,88)
Verwachtingswaarde
E(G) = 20·0,1 + 245·0,02 − 5·0,88 = 2,5 €
Antwoord
E(G) = 2,5 €
Een positieve waarde betekent dat je gemiddeld geld wint.
13.Normale verdeling
Antwoord: P = 0,7281
Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.
z-scores
z₁ = (25,1 − 32)/6 = −1,15
z₂ = (38,3 − 32)/6 = 1,05
Oppervlakte ertussen
P = Φ(1,05) − Φ(−1,15) = 0,8531 − 0,1251 = 0,7281
Antwoord
P = 0,7281
14.Normale verdeling
Antwoord: x = 179,8 cm
Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.
Oppervlak links
Φ(z) = 0,6
z uit de tabel
z ≈ 0,25
Terug naar de oorspronkelijke eenheden
x = 178 + 0,25·7 = 179,8 cm
Antwoord
x = 179,8 cm
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: bovengrens = 51,41
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
Kritieke waarde
df = n − 1 = 14, t = 1,761
Foutmarge
E = 1,761·7,5/√15 = 3,41
Interval
48 ± 3,41 → [44,59, 51,41]
Antwoord
bovengrens = 51,41
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 423
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
n oplossen
n = 1,645²·0,5·0,5/0,04² = 422,8
Naar boven afronden
n = 423
Antwoord
n = 423
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: z = 1,327
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Standaardfout van het verschil
SE = √(8²/40 + 6²/80) = √2,05 = 1,432
Toetsingsgrootheid
z = (83 − 81,1)/1,432 = 1,327
Antwoord
z = 1,327
|z| < 1.96, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: U = 75,68
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
Foutmarge
E = 1,96·4/√100 = 0,784
Intervalgrens
U = 74,9 + 0,784 = 75,68
Antwoord
U = 75,68
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r² = 0,7903
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 99/5 = 19,8
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −14
Syy = Σ(y − ȳ)² = 24,8
Determinatiecoëfficiënt
r² = −14²/(10·24,8) = 0,7903
Antwoord
r² = 0,7903
Ongeveer 79,03% van de variatie in y wordt door de lijn verklaard.
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: e = −2,5
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 253/5 = 50,6
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 54
Regressielijn
b = 54/10 = 5,4
a = 50,6 − 5,4·5 = 23,6
ŷ = 23,6 + 5,4·x
Voorspelde waarde
ŷ = 23,6 + 5,4·3,5 = 42,5
Residu
e = 40 − 42,5 = −2,5
Antwoord
e = −2,5
Het punt ligt onder de lijn.
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.