Een annuïteit betaalt 7 jaar lang aan het eind van elk jaar €2 000. De rente is 8 % per jaar. Bereken de contante waarde PV van de annuïteit.
A = €2 000i = 8%n = 7
PV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Een lening van €150 000 wordt in 30 jaar afgelost met gelijke maandtermijnen. De rente is 7,2 % per jaar, maandelijks samengesteld. Bereken de maandtermijn A.
P = €150 0007,2% / 12N = 360
A = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een machine kost vandaag €40 000, gaat 6 jaar mee en kost €4 000 per jaar aan bedrijfskosten (betaald aan het eind van elk jaar). De vermogenskosten zijn 10 %. Bereken de equivalente jaarlijkse kosten EAC.
C0 = €40 000M = €4 000n = 6r = 10%
EAC = €
4.NCW & IRRMoeilijk
Project A kost €30 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 €17 000, €12 500, €7 000 op. Project B kost €35 000 en levert €9 500, €16 500, €18 500 op. Bereken de omslagrente (crossover rate) r* waarbij beide projecten dezelfde NCW hebben, in procenten.
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 loopt over 15 jaar af en betaalt jaarlijkse coupons. Ze wordt verkocht voor €1 119 als het effectieve rendement 3% is. Bereken het couponpercentage c in procenten.
F = €1 000n = 15P = €1 119YTM = 3%
c = %
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 8% en loopt over 6 jaar af. Het effectieve rendement is 3,5%. Bereken de Macaulay-duration D in jaren.
F = €1 000coupon = 8%n = 6YTM = 3,5%
D = jaar
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming is gefinancierd met gewone aandelen ter waarde van €6 000 000, preferente aandelen ter waarde van €1 500 000 en vreemd vermogen ter waarde van €3 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 14%, de kosten van de preferente aandelen 6% en de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting 3%. Het belastingtarief is 25%. Bereken de WACC.
De aandelen van een onderneming hebben een bèta van 1,1 bij de huidige verhouding vreemd/eigen vermogen van 0,2. Ze wil die verhouding verhogen tot 0,6. Het belastingtarief is 20%, de risicovrije rente 3,5% en de marktrisicopremie 6%. Bereken de kosten van het eigen vermogen re na de wijziging.
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 53, 20, 21, 25, 27, 18.
n = 6
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 500 en standaardafwijking 60. Welk deel P van de waarden ligt boven 536?
μ = 500σ = 60x = 536
P =
11.KansrekeningGemiddeld
Op hoeveel manieren N kun je een commissie van 3 personen kiezen uit een groep van 8? De volgorde doet er niet toe.
n = 8k = 3
N =
12.KansrekeningMoeilijk
Een toets heeft 11 meerkeuzevragen. Een student die gokt, heeft elke vraag onafhankelijk goed met kans 0,2. Wat is de kans P op precies 1 goede antwoorden?
n = 11p = 0,2k = 1
P =
13.Normale verdelingGemiddeld
De gewichten van zakken zijn normaal verdeeld met gemiddelde 250 g en standaardafwijking 5 g. Welk deel ligt tussen 244,25 en 256,25 g? Geef P als decimaal getal.
μ = 250σ = 5x1 = 244,25x2 = 256,25
P =
14.Normale verdelingMoeilijk
De levensduren van batterijen zijn normaal verdeeld met gemiddelde 500 h en standaardafwijking 40 h. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde onderste 5% links ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.
μ = 500 hσ = 40 h5%
x = h
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
De batterijduur van twee telefoonmodellen wordt vergeleken. Model 1: 100 telefoons, gemiddelde 47,5 h, bekende standaardafwijking 17 h. Model 2: 30 telefoons, gemiddelde 34 h, bekende standaardafwijking 12 h. Bereken de ondergrens van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.
Twee kunstmeststoffen worden getest. Groep 1: 9 proefvelden, gemiddelde opbrengst 29,5 kg, standaardafwijking 9 kg. Groep 2: 5 proefvelden, gemiddelde 31,5 kg, standaardafwijking 7,5 kg. Neem gelijke varianties aan (gepoolde t, df = n₁ + n₂ − 2). Bereken de foutmarge E van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.
9 werknemers doen een typetest voor en na een training. Voor elke persoon wordt het verschil d = na − voor (woorden per minuut) genoteerd. Het gemiddelde verschil is 4,42 en de standaardafwijking van de verschillen is 3,9. Bereken de toetsingsgrootheid t van de gepaarde toets voor H₀: μd = 0.
Een steekproef van 81 metingen heeft gemiddelde 75,2. De standaardafwijking van de populatie is 4. Bereken de ondergrens L van het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.
x̄ = 75,2σ = 4n = 8199%
L =
19.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = temperatuur in °C en y = verkochte ijsjes. Bereken de determinatiecoëfficiënt r² van de kleinstekwadratenlijn.
n = 5
r² =
20.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voor welke waarde x voorspelt de lijn ŷ = 5?
n = 5ŷ = 5
x =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: PV = 10413 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Annuïteitsfactor
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,5835)/0,08 = 5,206
Contante waarde
PV = 2 000·5,206 = €10 412,74
Antwoord
PV = €10 412,74
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: A = 1018 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Maandrente en aantal termijnen
i = 0,07200000000000001/12 = 0,006
N = 12·30 = 360
Termijn
De contante waarde van N gelijke betalingen A is A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Stel die gelijk aan de lening en los A op.
(1 + i)−N = 0,1161
A = 150 000·0,006/(1 − 0,1161) = €1 018,18
Antwoord
A = €1 018,18
3.NCW & IRR
Antwoord: EAC = 13184 €
Equivalente jaarlijkse kosten: spreid de contante waarde van alle kosten over de levensduur als een gelijk jaarlijks bedrag (een annuïteit): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Zo kun je machines met verschillende levensduren vergelijken.
Annuïteitsfactor
(1 − 1,1−6)/0,1 = 4,355
Aanschafprijs omgerekend per jaar
40 000/4,355 = 9 184,30
EAC
EAC = 9 184,30 + 4 000 = €13 184,30
Antwoord
EAC = €13 184,30
4.NCW & IRR
Antwoord: r* = 10,55 %
Omslagrente (crossover rate): de disconteringsvoet waarbij twee projecten dezelfde NCW hebben. Het is de IRR van het verschil in hun kasstromen (B − A). Daaronder heeft het project met de latere, grotere kasstromen de hoogste NCW; daarboven wint het andere.
Verschil in kasstromen
ΔCF0 = −35 000 − (−30 000) = −5 000
ΔCF1 = 9 500 − 17 000 = −7 500
ΔCF2 = 16 500 − 12 500 = 4 000
ΔCF3 = 18 500 − 7 000 = 11 500
IRR van het verschil
NPVΔ(10%) = 127,72
NPVΔ(11%) = −101,57
r* = 10,55%
Antwoord
r* = 10,55%
Controle: bij 10,55% zijn beide NCW’s €785,75.
5.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: c = 3,997 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Contante waarde van de nominale waarde
1000·(1 + 0,03)−15 = €641,86
Coupon
C = (1119 − 641,86)/11,94 = €39,97
Couponrente
c = 39,97/1000 = 3,997%
Antwoord
c = 3,997%
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: D = 5,106 jaar
Duration: de Macaulay-duration is het gewogen gemiddelde tijdstip waarop een obligatie haar kasstromen uitbetaalt, met de contante waarden van de kasstromen als gewichten: D = Σ t·PVₜ/P. De gemodificeerde duration D/(1 + y) schat de procentuele koersverandering bij een kleine verandering van het rendement: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Contante waarde van elke kasstroom
t = 1: 80/1,035 = 77,29, t·PV = 77,29
t = 2: 80/1,071 = 74,68, t·PV = 149,36
t = 3: 80/1,109 = 72,16, t·PV = 216,47
t = 4: 80/1,148 = 69,72, t·PV = 278,86
t = 5: 80/1,188 = 67,36, t·PV = 336,79
t = 6: 1080/1,229 = 878,58, t·PV = 5 271,48
Duration
P = 1 239,78
D = 6 330,26/1 239,78 = 5,106
Antwoord
D = 5,106 jaar
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 9,5 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Bèta met hefboom (Hamada): vreemd vermogen maakt het eigen vermogen riskanter. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), waarbij βU de bèta van de onderneming zonder schuld is. Om een bèta naar een andere vermogensstructuur om te zetten, haal je eerst de hefboom eruit (unlever) en reken je hem daarna opnieuw in bij de nieuwe D/E (relever).
Haal de hefboom uit de bèta
βU = 1,1/(1 + 0,8·0,2) = 0,9483
Reken de hefboom in bij de nieuwe D/E
βL = 0,9483·(1 + 0,8·0,6) = 1,403
Kosten eigen vermogen (CAPM)
re = 3,5% + 1,403·6% = 11,92%
Antwoord
re = 11,92%
9.Beschrijvende statistiek
Antwoord: s = 13
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = 0,6
Tabel standaardnormale verdeling
Φ(0,6) = 0,7257
P = 1 − 0,7257 = 0,2743
Antwoord
P = 0,2743
11.Kansrekening
Antwoord: N = 56
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Combinaties
C(8, 3) = (8·7·6)/(3·2·1) = 56
Antwoord
N = 56
12.Kansrekening
Antwoord: P = 0,2362
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Binomiale formule
P(X = 1) = 11·0,21·0,810 = 11·0,2·0,1074 = 0,2362
Antwoord
P = 0,2362
13.Normale verdeling
Antwoord: P = 0,7693
Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.
z-scores
z₁ = (244,25 − 250)/5 = −1,15
z₂ = (256,25 − 250)/5 = 1,25
Oppervlakte ertussen
P = Φ(1,25) − Φ(−1,15) = 0,8944 − 0,1251 = 0,7693
Antwoord
P = 0,7693
14.Normale verdeling
Antwoord: x = 434 h
Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.
Oppervlak links
Φ(z) = 0,05
z uit de tabel
z ≈ −1,64
Terug naar de oorspronkelijke eenheden
x = 500 − 1,64·40 = 434 h
Antwoord
x = 434 h
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: ondergrens = 8,065 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Puntschatting
x̄₁ − x̄₂ = 47,5 − 34 = 13,5
Standaardfout
SE = √(17²/100 + 12²/30) = 2,773
Foutmarge
E = 1,96·2,773 = 5,435
Interval
13,5 ± 5,435 → [8,065, 18,94]
Antwoord
ondergrens = 8,065 h
Het interval bevat 0 niet, dus de gemiddelden verschillen significant.
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: E = 8,478 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Gepoolde standaardafwijking
sp² = (8·9² + 4·7,5²)/12 = 72,75
sp = 8,529
Foutmarge
E = 1,782·8,529·√(1/9 + 1/5) = 8,478
Antwoord
E = 8,478 kg
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: t = 3,4
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Standaardfout van het gemiddelde verschil
SE = 3,9/√9 = 1,3
Toetsingsgrootheid
t = 4,42/1,3 = 3,4
Antwoord
t = 3,4
Bij df = 8 is de tweezijdige kritieke waarde bij 5% gelijk aan 2,306; |t| is groter, dus H₀ wordt verworpen.
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: L = 74,06
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
Foutmarge
E = 2,576·4/√81 = 1,145
Intervalgrens
L = 75,2 − 1,145 = 74,06
Antwoord
L = 74,06
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r² = 0,9362
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 105/5 = 21
ȳ = 302/5 = 60,4
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 264
Syy = Σ(y − ȳ)² = 827,2
Determinatiecoëfficiënt
r² = 264²/(90·827,2) = 0,9362
Antwoord
r² = 0,9362
Ongeveer 93,62% van de variatie in y wordt door de lijn verklaard.
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: x = 3,29
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 46/5 = 9,2
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 62
Regressielijn
b = 62/40 = 1,55
a = 9,2 − 1,55·6 = −0,1
ŷ = −0,1 + 1,55·x
Los op naar x
x = (5 − (−0,1))/1,55 = 3,29
Antwoord
x = 3,29
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.