Je belegt €5 000 tegen 6 % per jaar met continue samengestelde rente. Bereken de waarde FV na 19 jaar.
PV = €5 000r = 6%t = 19
FV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Je wilt over 4 jaar €10 000 hebben. Je spaart aan het eind van elke maand hetzelfde bedrag op een rekening die 3 % per jaar geeft, maandelijks samengesteld. Bereken de maandelijkse inleg A.
FV = €10 0003% / 12N = 48
A = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een investering van €75 000 levert aan het eind van jaar 1 tot en met 4 deze kasstromen op: €25 000, €31 000, €24 000, €22 000. De vermogenskosten zijn 9 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
Project A kost €10 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 €5 500, €4 000, €2 500 op. Project B kost €15 000 en levert €4 500, €6 000, €8 000 op. Bereken de omslagrente (crossover rate) r* waarbij beide projecten dezelfde NCW hebben, in procenten.
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 7% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 8 jaar af. Het effectieve rendement is 8% per jaar. Bereken de koers P van de obligatie.
F = €1 000coupon = 7%YTM = 8%n = 8
P = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 en een jaarlijkse coupon van 5% loopt over 6 jaar af en wordt verkocht voor €1 110. Bereken het effectieve rendement YTM in procenten.
F = €1 000coupon = 5%n = 6P = €1 110
YTM = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een aandeel met een bèta van 1,2 heeft een vereist rendement van 11,3%. De risicovrije rente is 3,5%. Welk verwacht marktrendement rm volgt uit CAPM?
β = 1,2re = 11,3%rf = 3,5%
rm = %
8.CAPM en WACCMoeilijk
Een onderneming heeft 1 000 000 aandelen die noteren op €59,00; de boekwaarde van het eigen vermogen is €35 400 000. Ze heeft net een dividend van €2,50 per aandeel uitgekeerd, en het dividend groeit met 4% per jaar. Het vreemd vermogen heeft een marktwaarde van €17 700 000 en kosten vóór belasting van 6%. Het belastingtarief is 28%. Bereken de WACC, met het dividendgroeimodel voor de kosten van het eigen vermogen.
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 15, 27, 47, 26, 14, 28.
n = 6
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 170 en standaardafwijking 12. Bereken de z-score z van een score van 155,6.
μ = 170σ = 12x = 155,6
z =
11.KansrekeningGemiddeld
Op hoeveel manieren N kun je een commissie van 2 personen kiezen uit een groep van 6? De volgorde doet er niet toe.
n = 6k = 2
N =
12.KansrekeningMoeilijk
Een spel kost €5 inzet. Je wint €25 met kans 0,25 en €250 met kans 0,01; anders win je niets. De inzet krijg je niet terug. Bepaal de verwachte nettowinst E(G) per spel.
inzet = €5€25: p = 0,25€250: p = 0,01
E(G) = €
13.Normale verdelingGemiddeld
De IQ-scores zijn normaal verdeeld met gemiddelde 100 punten en standaardafwijking 15 punten. Welk deel ligt tussen 82 en 130,75 punten? Geef P als decimaal getal.
μ = 100σ = 15x1 = 82x2 = 130,75
P =
14.Normale verdelingMoeilijk
De examencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 65 punten en standaardafwijking 10 punten. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde bovenste 15% rechts ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.
μ = 65 puntenσ = 10 punten15%
x = punten
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
Een steekproef van 15 items heeft gemiddelde 59 en standaardafwijking s = 15. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de ondergrens van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.
n = 15x̄ = 59s = 1590%t(14) = 1,761
ondergrens =
16.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
De standaardafwijking van de populatie is 32. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 1,5 heeft?
Een steekproef van 81 studenten heeft een gemiddelde score van 119,5 en een steekproefstandaardafwijking van 5. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 120.
Een eenzijdige z-toets bij α = 0,05 moet een verschuiving van het gemiddelde van 5 eenheden ontdekken met een onderscheidend vermogen van 90 %. De standaardafwijking is 21. Bereken de minimale steekproefomvang n.
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = temperatuur in °C en y = verkochte ijsjes. Bereken de determinatiecoëfficiënt r² van de kleinstekwadratenlijn.
n = 5
r² =
20.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voor welke waarde x voorspelt de lijn ŷ = 61?
n = 5ŷ = 61
x =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 15634 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Exponent
r·t = 0,06·19 = 1,14
e1,14 = 3,127
Eindwaarde
FV = 5 000·3,127 = €15 633,84
Antwoord
FV = €15 633,84
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: A = 196,3 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Contante waarde van elke kasstroom
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,09)1 = 25 000/1,09 = 22 935,78
CF2/(1 + 0,09)2 = 31 000/1,188 = 26 092,08
CF3/(1 + 0,09)3 = 24 000/1,295 = 18 532,40
CF4/(1 + 0,09)4 = 22 000/1,412 = 15 585,35
Optellen
NPV = €8 145,62
Antwoord
NPV = €8 145,62
De NCW is positief, dus het project verdient meer dan het vereiste rendement.
4.NCW & IRR
Antwoord: r* = 9,093 %
Omslagrente (crossover rate): de disconteringsvoet waarbij twee projecten dezelfde NCW hebben. Het is de IRR van het verschil in hun kasstromen (B − A). Daaronder heeft het project met de latere, grotere kasstromen de hoogste NCW; daarboven wint het andere.
Verschil in kasstromen
ΔCF0 = −15 000 − (−10 000) = −5 000
ΔCF1 = 4 500 − 5 500 = −1 000
ΔCF2 = 6 000 − 4 000 = 2 000
ΔCF3 = 8 000 − 2 500 = 5 500
IRR van het verschil
NPVΔ(9%) = 12,94
NPVΔ(10%) = −123,97
r* = 9,093%
Antwoord
r* = 9,093%
Controle: bij 9,093% zijn beide NCW’s €328,08.
5.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: P = 941,7 €
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Per periode
C = €35,00, i = 0,04, N = 16
Contante waarde van de coupons
€35,00·(1 − 0,5339)/0,04 = €407,83
Contante waarde van de nominale waarde
€1 000·0,5339 = €533,91
Koers
P = €941,74
Antwoord
P = €941,74
Het rendement ligt boven de couponrente, dus de obligatie wordt onder pari verkocht.
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: YTM = 2,971 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vergelijking voor het rendement
€1 110 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + €1 000/(1 + y)⁶
Los numeriek op
P(2%) = €1 168,04, P(3%) = €1 108,34
YTM = 2,971%
Antwoord
YTM = 2,971%
7.CAPM en WACC
Antwoord: rm = 10 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Marktrisicopremie
rm − rf = (11,3% − 3,5%)/1,2 = 6,5%
Marktrendement
rm = 3,5% + 6,5% = 10%
Antwoord
rm = 10%
8.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 7,464 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = (155,6 − 170)/12 = −1,2
Antwoord
z = −1,2
11.Kansrekening
Antwoord: N = 15
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Combinaties
C(6, 2) = (6·5)/(2·1) = 15
Antwoord
N = 15
12.Kansrekening
Antwoord: E(G) = 3,75 €
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Netto-uitkomsten
G: 20 (p = 0,25), 245 (p = 0,01), −5 (p = 0,74)
Verwachtingswaarde
E(G) = 20·0,25 + 245·0,01 − 5·0,74 = 3,75 €
Antwoord
E(G) = 3,75 €
Een positieve waarde betekent dat je gemiddeld geld wint.
13.Normale verdeling
Antwoord: P = 0,8647
Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.
z-scores
z₁ = (82 − 100)/15 = −1,2
z₂ = (130,75 − 100)/15 = 2,05
Oppervlakte ertussen
P = Φ(2,05) − Φ(−1,2) = 0,9798 − 0,1151 = 0,8647
Antwoord
P = 0,8647
14.Normale verdeling
Antwoord: x = 75,4 punten
Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.
Oppervlak links
Φ(z) = 0,85
z uit de tabel
z ≈ 1,04
Terug naar de oorspronkelijke eenheden
x = 65 + 1,04·10 = 75,4 punten
Antwoord
x = 75,4 punten
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: ondergrens = 52,18
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
Kritieke waarde
df = n − 1 = 14, t = 1,761
Foutmarge
E = 1,761·15/√15 = 6,82
Interval
59 ± 6,82 → [52,18, 65,82]
Antwoord
ondergrens = 52,18
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 1749
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
n oplossen
n = (1,96·32/1,5)² = 1748
Naar boven afronden
Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.
n = 1749
Antwoord
n = 1749
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: t = −0,9
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
Standaardfout
SE = 5/√81 = 5/9 = 0,5556
Toetsingsgrootheid
t = (119,5 − 120)/0,5556 = −0,9
Antwoord
t = −0,9
t0,025; df = 80 = 1,99
|t| < 1.99, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 152
Steekproefomvang voor een toets: om een werkelijke verschuiving δ te ontdekken met onderscheidend vermogen 1 − β in een eenzijdige z-toets bij niveau α, moet de standaardfout voldoen aan δ = (z_α + z_β)·σ/√n, dus n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², naar boven afgerond.
n oplossen
n = ((1,645 + 1,282)·21/5)² = 151,1
Naar boven afronden
n = 152
Antwoord
n = 152
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r² = 0,9527
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 100/5 = 20
ȳ = 313/5 = 62,6
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 315
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1157
Determinatiecoëfficiënt
r² = 315²/(90·1157) = 0,9527
Antwoord
r² = 0,9527
Ongeveer 95,27% van de variatie in y wordt door de lijn verklaard.
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: x = 8,07
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 239/5 = 47,8
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 172
Regressielijn
b = 172/40 = 4,3
a = 47,8 − 4,3·5 = 26,3
ŷ = 26,3 + 4,3·x
Los op naar x
x = (61 − 26,3)/4,3 = 8,07
Antwoord
x = 8,07
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.