Je belegt €10 000 tegen 2 % per jaar met continue samengestelde rente. Bereken de waarde FV na 14 jaar.
PV = €10 000r = 2%t = 14
FV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Je spaart 21 jaar lang aan het eind van elke maand €500. De rekening geeft 2,4 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel heb je aan het eind gespaard? Bereken FV.
A = €5002,4% / 12N = 252
FV = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een machine kost vandaag €50 000. Ze levert 6 jaar lang aan het eind van elk jaar €8 500 op en kan daarna voor €5 000 worden verkocht. De vermogenskosten zijn 6 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
C0 = €50 000CF = €8 500S = €5 000n = 6r = 6%
NPV = €
4.NCW & IRRMoeilijk
Een project kost €40 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 €19 000, €21 000, €17 000 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
CF0 = −40 000CF1 = 19 000CF2 = 21 000CF3 = 17 000
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Je koopt een obligatie met een resterende looptijd van 7 jaar (nominale waarde €1 000, jaarlijkse coupon 7%) als het effectieve rendement 9% is. Een jaar later, direct na ontvangst van de eerste coupon, verkoop je haar als het effectieve rendement 8,5% is. Bereken je perioderendement (holding period return) HPR in procenten.
F = €1 000coupon = 7%n = 7y0 = 9%y1 = 8,5%
HPR = %
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 en een jaarlijkse coupon van 5% loopt over 9 jaar af en wordt verkocht voor €930. Bereken het effectieve rendement YTM in procenten.
F = €1 000coupon = 5%n = 9P = €930
YTM = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €4 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €2 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 12%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 3% en het belastingtarief is 25,8%. Bereken de WACC.
Een onderneming heeft 5 000 000 aandelen van €16,00 per stuk en 40 000 obligaties met een koers van €980 per stuk. De kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 5% en het belastingtarief is 25,8%. De bèta van het aandeel is 0,8, de risicovrije rente 4% en het marktrendement 9,5%. Bereken de WACC.
β = 0,8rf = 4%rm = 9,5%rd = 5%T = 25,8%
WACC = %
9.Beschrijvende statistiekGemiddeld
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 39, 24, 56, 38, 25.
n = 5
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Tentamencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 50 en standaardafwijking 10. Bereken de z-score z van een score van 35.
μ = 50σ = 10x = 35
z =
11.KansrekeningGemiddeld
Bepaal voor de getoonde verdeling de variantie Var(X) van X.
x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,3, 0,35
Var(X) =
12.KansrekeningMoeilijk
X heeft de getoonde verdeling, en Y = 2X + 10. Bepaal de standaardafwijking σY van Y.
X is normaal verdeeld met gemiddelde 120 mm en standaardafwijking 0,3 mm; Y is onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 80 mm en standaardafwijking 0,4 mm. Bepaal de kans P dat X + Y groter is dan 199,8 mm. Rond z af op twee decimalen.
μX = 120, σX = 0,3μY = 80, σY = 0,4X + Y > 199,8 mm
P =
14.Normale verdelingMoeilijk
De massa X van een product van lijn 1 en Y van lijn 2 zijn onafhankelijk en normaal verdeeld: X heeft gemiddelde 500 g en standaardafwijking 8 g, Y heeft gemiddelde 490 g en standaardafwijking 6 g. Bepaal de kans P dat X groter is dan Y. Rond z af op twee decimalen.
μX = 500 g, σX = 8 gμY = 490 g, σY = 6 g
P =
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
De batterijduur van twee telefoonmodellen wordt vergeleken. Model 1: 100 telefoons, gemiddelde 84,5 h, bekende standaardafwijking 20 h. Model 2: 100 telefoons, gemiddelde 99,5 h, bekende standaardafwijking 17 h. Bereken de foutmarge E van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.
Twee kunstmeststoffen worden getest. Groep 1: 5 proefvelden, gemiddelde opbrengst 28 kg, standaardafwijking 3 kg. Groep 2: 7 proefvelden, gemiddelde 23 kg, standaardafwijking 4 kg. Neem gelijke varianties aan (gepoolde t, df = n₁ + n₂ − 2). Bereken de ondergrens van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.
Van een populatie wordt beweerd dat het gemiddelde 100 is; de standaardafwijking van de populatie is bekend en is 36. Een aselecte steekproef van 144 waarnemingen heeft een gemiddelde van 103,24. Toets H₀: μ = 100 tegen H₁: μ ≠ 100. Bereken de p-waarde p.
Hoe groot moet een steekproef zijn zodat het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde een foutmarge van hoogstens 1,5 heeft? De standaardafwijking is 10. Bereken de kleinste steekproefomvang n.
σ = 10E = 1,599%
n =
19.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Bereken de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.
n = 6
r =
20.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voor welke waarde x voorspelt de lijn ŷ = 47?
n = 6ŷ = 47
x =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 13231 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Exponent
r·t = 0,02·14 = 0,28
e0,28 = 1,323
Eindwaarde
FV = 10 000·1,323 = €13 231,30
Antwoord
FV = €13 231,30
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 163624 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Contante waarde van de jaarlijkse kasstromen
8 500·4,917 = 41 797,26
Contante waarde van de restwaarde
5 000/1,419 = 3 524,80
NPV
NPV = −50 000 + 41 797,26 + 3 524,80 = −€4 677,94
Antwoord
NPV = −€4 677,94
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 20,41 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De IRR insluiten
De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.
NPV(20%) = 254,63
NPV(25%) = −2 656,00
Verfijnen
Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vergelijking voor het rendement
€930 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁹)/y + €1 000/(1 + y)⁹
Los numeriek op
P(6%) = €931,98, P(7%) = €869,70
YTM = 6,031%
Antwoord
YTM = 6,031%
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 8,742 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = (35 − 50)/10 = −1,5
Antwoord
z = −1,5
11.Kansrekening
Antwoord: Var(X) = 0,7
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Gemiddelde
μ = 0·0,35 + 1·0,3 + 2·0,35 = 1
Gemiddelde van de kwadraten
E(X²) = 0·0,35 + 1·0,3 + 4·0,35 = 1,7
Variantie
Var(X) = 1,7 − 1² = 0,7
Antwoord
Var(X) = 0,7
12.Kansrekening
Antwoord: σY = 4,468
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μX ± μY. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σX² + σY², dus σ = √(σX² + σY²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.
Verdeling van de som
μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm
Standaardiseren
z = (199,8 − 200)/0,5 = −0,4
Rechterstaart
P = 1 − Φ(−0,4) = 1 − 0,3446 = 0,6554
Antwoord
P = 0,6554
14.Normale verdeling
Antwoord: P = 0,8413
Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μX ± μY. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σX² + σY², dus σ = √(σX² + σY²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.
Verdeling van het verschil
μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g
Standaardiseren
z = (0 − 10)/10 = −1
Kansrekening
P = 1 − Φ(−1) = 0,8413
Antwoord
P = 0,8413
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: E = 4,318 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Puntschatting
x̄₁ − x̄₂ = 84,5 − 99,5 = −15
Standaardfout
SE = √(20²/100 + 17²/100) = 2,625
Foutmarge
E = 1,645·2,625 = 4,318
Antwoord
E = 4,318 h
Het interval bevat 0 niet, dus de gemiddelden verschillen significant.
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: ondergrens = 0,2602 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Gepoolde standaardafwijking
sp² = (4·3² + 6·4²)/10 = 13,2
sp = 3,633
Foutmarge
E = 2,228·3,633·√(1/5 + 1/7) = 4,74
Interval
5 ± 4,74 → [0,2602, 9,74]
Antwoord
ondergrens = 0,2602 kg
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: p = 0,2801
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Toetsingsgrootheid
SE = σ/√n = 36/√144 = 3
z = (103,24 − 100)/3 = 1,08
Staartoppervlakte
Φ(1,08) = 0,8599
1 − Φ(1,08) = 0,1401
p-waarde
p = 2·0,1401 = 0,2801
Antwoord
p = 0,2801
p > 0,05, dus H₀ wordt niet verworpen op het 5%-niveau.
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 295
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
n oplossen
n = (2,576·10/1,5)² = 294,9
Naar boven afronden
n = 295
Antwoord
n = 295
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r = 0,9938
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 544/6 = 90,67
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 418
Syy = Σ(y − ȳ)² = 2527
Correlatiecoëfficiënt
r = 418/√(70·2527) = 0,9938
Antwoord
r = 0,9938
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: x = 1,995
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 351/6 = 58,5
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 201
Regressielijn
b = 201/70 = 2,871
a = 58,5 − 2,871·6 = 41,27
ŷ = 41,27 + 2,871·x
Los op naar x
x = (47 − 41,27)/2,871 = 1,995
Antwoord
x = 1,995
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.