Een creditcard rekent een nominale rente van 22 % per jaar, halfjaarlijks samengesteld. Bereken de effectieve jaarrente EAR in procent.
r = 22%m = 2
EAR = %
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Je stort 28 jaar lang aan het begin van elk jaar €5 000, de eerste storting vandaag. De rekening geeft 4 % per jaar. Hoeveel staat er aan het eind van jaar 28 op de rekening? Bereken FV.
A = €5 000i = 4%n = 28
FV = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een investering van €20 000 levert aan het eind van jaar 1 tot en met 4 deze kasstromen op: €9 000, €5 000, €9 000, €7 000. De vermogenskosten zijn 8 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
Een project kost €40 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 4 €19 500, €23 000, €15 500, €17 000 op. Kasstromen kunnen worden herbelegd tegen de vermogenskosten van 8 %. Bereken de gemodificeerde interne rentabiliteit MIRR in procenten.
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 6% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 8 jaar af. Het effectieve rendement is 5% per jaar. Bereken de koers P van de obligatie.
F = €1 000coupon = 6%YTM = 5%n = 8
P = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 3% en loopt over 5 jaar af. Het effectieve rendement is 4%. Bereken de Macaulay-duration D in jaren.
F = €1 000coupon = 3%n = 5YTM = 4%
D = jaar
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €3 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €2 000 000. De WACC is 10,08%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting 6% en het belastingtarief is 30%. Bereken de kosten van het eigen vermogen re.
Een onderneming heeft 1 000 000 aandelen die noteren op €10,00; de boekwaarde van het eigen vermogen is €3 000 000. Ze heeft net een dividend van €0,50 per aandeel uitgekeerd, en het dividend groeit met 2% per jaar. Het vreemd vermogen heeft een marktwaarde van €10 000 000 en kosten vóór belasting van 4%. Het belastingtarief is 28%. Bereken de WACC, met het dividendgroeimodel voor de kosten van het eigen vermogen.
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 36, 42, 59, 28, 42, 44, 15.
n = 7
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 170 en standaardafwijking 15. Welk deel P van de waarden ligt boven 147,5?
μ = 170σ = 15x = 147,5
P =
11.KansrekeningGemiddeld
Bepaal voor de getoonde verdeling de variantie Var(X) van X.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,3, 0,3, 0,05, 0,35
Var(X) =
12.KansrekeningMoeilijk
Er worden 5 onderdelen getest, en elk valt onafhankelijk uit met kans 0,1. Wat is de kans P dat er hoogstens één uitvalt?
n = 5p = 0,1
P =
13.Normale verdelingGemiddeld
De IQ-scores zijn normaal verdeeld met gemiddelde 100 punten en standaardafwijking 15 punten. Welk deel ligt tussen 85,75 en 127 punten? Geef P als decimaal getal.
μ = 100σ = 15x1 = 85,75x2 = 127
P =
14.Normale verdelingMoeilijk
De gewichten van zakken zijn normaal verdeeld met gemiddelde 250 g en standaardafwijking 5 g. Bereken de waarde x waaronder 20% ervan ligt (het 20e percentiel).
μ = 250σ = 5P = 20%
x = g
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
Een 90%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde, gebaseerd op 25 waarnemingen en een bekende σ, heeft een foutmarge van 11. Wat is de foutmarge E₂ als hetzelfde onderzoek in plaats daarvan 225 waarnemingen gebruikt?
90%n₁ = 25E₁ = 11n₂ = 225
E₂ =
16.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
De diameters van 21 bewerkte assen hebben een steekproefstandaardafwijking van 7,5 µm. Neem aan dat de diameters normaal verdeeld zijn en bereken de ondergrens σ van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de standaardafwijking van de populatie. Bij df = 20 ligt 2,5% van de χ²-verdeling onder 9,591 en 2,5% boven 34,17.
11 werknemers doen een typetest voor en na een training. Voor elke persoon wordt het verschil d = na − voor (woorden per minuut) genoteerd. Het gemiddelde verschil is −2,82 en de standaardafwijking van de verschillen is 10,4. Bereken de toetsingsgrootheid t van de gepaarde toets voor H₀: μd = 0.
Een steekproef van 25 metingen heeft gemiddelde 121,9. De standaardafwijking van de populatie is 5. Bereken de ondergrens L van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.
x̄ = 121,9σ = 5n = 2590%
L =
19.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Bereken de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.
n = 6
r =
20.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voor welke waarde x voorspelt de lijn ŷ = 96?
n = 6ŷ = 96
x =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: EAR = 23,21 %
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Rente per periode
r/m = 0,22/2 = 0,11
Samenstellen over één jaar
EAR = (1 + 0,11)2 − 1 = 1,232 − 1 = 23,21%
Antwoord
EAR = 23,21%
De effectieve jaarrente ligt altijd boven de nominale rente als de rente vaker dan één keer per jaar wordt bijgeschreven.
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 259831 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Gewone annuïteitsfactor
((1 + 0,04)28 − 1)/0,04 = 49,97
Prenumerando annuïteit
Elke storting staat een jaar langer uit.
FV = 5 000·49,97·1,04 = €259 831,43
Antwoord
FV = €259 831,43
3.NCW & IRR
Antwoord: NPV = 4910 €
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Contante waarde van elke kasstroom
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0,08)1 = 9 000/1,08 = 8 333,33
CF2/(1 + 0,08)2 = 5 000/1,166 = 4 286,69
CF3/(1 + 0,08)3 = 9 000/1,26 = 7 144,49
CF4/(1 + 0,08)4 = 7 000/1,36 = 5 145,21
Optellen
NPV = €4 909,73
Antwoord
NPV = €4 909,73
De NCW is positief, dus het project verdient meer dan het vereiste rendement.
4.NCW & IRR
Antwoord: MIRR = 20,78 %
Gemodificeerde IRR: rent elke inkomende kasstroom op tot het eind van het project tegen het herbeleggingspercentage (meestal de vermogenskosten) om de eindwaarde TV te krijgen. De MIRR is de rente die de initiële investering laat groeien tot TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.
Eindwaarde van de inkomende kasstromen
19 500·1,083 = 24 564,38
23 000·1,082 = 26 827,20
15 500·1,081 = 16 740,00
17 000·1,080 = 17 000,00
TV = 85 131,58
MIRR
MIRR = (85 131,58/40 000)1/4 − 1 = 20,78%
Antwoord
MIRR = 20,78%
5.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: P = 1065 €
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Per periode
C = €30,00, i = 0,025, N = 16
Contante waarde van de coupons
€30,00·(1 − 0,6736)/0,025 = €391,65
Contante waarde van de nominale waarde
€1 000·0,6736 = €673,62
Koers
P = €1 065,28
Antwoord
P = €1 065,28
Het rendement ligt onder de couponrente, dus de obligatie wordt boven pari verkocht.
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: D = 4,709 jaar
Duration: de Macaulay-duration is het gewogen gemiddelde tijdstip waarop een obligatie haar kasstromen uitbetaalt, met de contante waarden van de kasstromen als gewichten: D = Σ t·PVₜ/P. De gemodificeerde duration D/(1 + y) schat de procentuele koersverandering bij een kleine verandering van het rendement: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Contante waarde van elke kasstroom
t = 1: 30/1,04 = 28,85, t·PV = 28,85
t = 2: 30/1,082 = 27,74, t·PV = 55,47
t = 3: 30/1,125 = 26,67, t·PV = 80,01
t = 4: 30/1,17 = 25,64, t·PV = 102,58
t = 5: 1030/1,217 = 846,58, t·PV = 4 232,92
Duration
P = 955,48
D = 4 499,83/955,48 = 4,709
Antwoord
D = 4,709 jaar
7.CAPM en WACC
Antwoord: re = 14 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Gewichten
V = €5 000 000, E/V = 0,6, D/V = 0,4
Deel van het vreemd vermogen in de WACC
0,4·6%·(1 − 0,3) = 1,68%
Kosten van het eigen vermogen
re = (10,08% − 1,68%)/0,6 = 14%
Antwoord
re = 14%
8.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 4,99 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Kosten van het eigen vermogen
D1 = 0,5·1,02 = €0,51
re = 0,51/10 + 0,02 = 7,1%
Marktwaarden
E = 1 000 000·€10,00 = €10 000 000
V = €20 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·7,1% + 0,5·4%·(1 − 0,28) = 4,99%
Antwoord
WACC = 4,99%
9.Beschrijvende statistiek
Antwoord: s = 13,8
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = −1,5
Tabel standaardnormale verdeling
Φ(−1,5) = 0,06681
P = 1 − 0,06681 = 0,9332
Antwoord
P = 0,9332
11.Kansrekening
Antwoord: Var(X) = 6,19
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Gemiddelde
μ = 0·0,3 + 2·0,3 + 4·0,05 + 6·0,35 = 2,9
Gemiddelde van de kwadraten
E(X²) = 0·0,3 + 4·0,3 + 16·0,05 + 36·0,35 = 14,6
Variantie
Var(X) = 14,6 − 2,9² = 6,19
Antwoord
Var(X) = 6,19
12.Kansrekening
Antwoord: P = 0,9185
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Nul en één uitval
P(X = 0) = 0,95 = 0,5905
P(X = 1) = 5·0,1·0,94 = 0,3281
Tel ze op
P = 0,5905 + 0,3281 = 0,9185
Antwoord
P = 0,9185
13.Normale verdeling
Antwoord: P = 0,793
Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.
z-scores
z₁ = (85,75 − 100)/15 = −0,95
z₂ = (127 − 100)/15 = 1,8
Oppervlakte ertussen
P = Φ(1,8) − Φ(−0,95) = 0,9641 − 0,1711 = 0,793
Antwoord
P = 0,793
14.Normale verdeling
Antwoord: x = 245,8 g
Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.
z voor het percentiel
Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416
Terug naar x
x = 250 + −0,8416·5 = 245,79 g
Antwoord
x = 245,79 g
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: E₂ = 3,667
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Verhouding van de marges
E₂/E₁ = (1,645/1,645)·√(25/225) = 0,3333
Nieuwe marge
E₂ = 11·0,3333 = 3,667
Antwoord
E₂ = 3,667
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: σ = 5,738 µm
Interval voor een variantie: (n − 1)s²/σ² heeft een χ²-verdeling met n − 1 vrijheidsgraden. Het 95%-interval voor σ² loopt van (n − 1)s² gedeeld door de bovenste χ²-waarde (2,5% erboven) tot (n − 1)s² gedeeld door de onderste χ²-waarde (2,5% eronder); het interval voor σ is de wortel van beide grenzen. Het is niet symmetrisch rond s.
Kwadratensom
(n − 1)s² = 20·7,5² = 1125
Grenzen voor σ²
1125/34,17 = 32,92
1125/9,591 = 117,3
Grens voor σ
σ = √32,92 = 5,738 µm
Antwoord
σ = 5,738 µm
95%-interval voor σ: [5,738, 10,83] µm.
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: t = −0,8993
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Standaardfout van het gemiddelde verschil
SE = 10,4/√11 = 3,136
Toetsingsgrootheid
t = −2,82/3,136 = −0,8993
Antwoord
t = −0,8993
Bij df = 10 is de tweezijdige kritieke waarde bij 5% gelijk aan 2,228; |t| is kleiner, dus H₀ wordt niet verworpen.
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: L = 120,3
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
Foutmarge
E = 1,645·5/√25 = 1,645
Intervalgrens
L = 121,9 − 1,645 = 120,3
Antwoord
L = 120,3
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r = −0,9435
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 108/6 = 18
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −45
Syy = Σ(y − ȳ)² = 130
Correlatiecoëfficiënt
r = −45/√(17,5·130) = −0,9435
Antwoord
r = −0,9435
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: x = 8,983
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 499/6 = 83,17
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 453
Regressielijn
b = 453/70 = 6,471
a = 83,17 − 6,471·7 = 37,87
ŷ = 37,87 + 6,471·x
Los op naar x
x = (96 − 37,87)/6,471 = 8,983
Antwoord
x = 8,983
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.