Je belegt €20 000 tegen 5 % per jaar met continue samengestelde rente. Bereken de waarde FV na 3 jaar.
PV = €20 000r = 5%t = 3
FV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Je stort 26 jaar lang aan het begin van elk jaar €3 000, de eerste storting vandaag. De rekening geeft 8 % per jaar. Hoeveel staat er aan het eind van jaar 26 op de rekening? Bereken FV.
A = €3 000i = 8%n = 26
FV = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een investering van €45 000 levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 deze kasstromen op: €18 000, €14 000, €10 000. De vermogenskosten zijn 10 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
Project A kost €30 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 €17 500, €11 000, €7 000 op. Project B kost €40 000 en levert €10 500, €16 500, €22 000 op. Bereken de omslagrente (crossover rate) r* waarbij beide projecten dezelfde NCW hebben, in procenten.
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 loopt over 5 jaar af en betaalt jaarlijkse coupons. Ze wordt verkocht voor €920 als het effectieve rendement 8% is. Bereken het couponpercentage c in procenten.
F = €1 000n = 5P = €920YTM = 8%
c = %
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 en een jaarlijkse coupon van 7% loopt over 4 jaar af en wordt verkocht voor €1 070. Bereken het effectieve rendement YTM in procenten.
F = €1 000coupon = 7%n = 4P = €1 070
YTM = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €6 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €4 000 000. De WACC is 9,55%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting 4% en het belastingtarief is 28%. Bereken de kosten van het eigen vermogen re.
Een onderneming heeft eigen vermogen met een marktwaarde van €8 000 000 en kosten van het eigen vermogen van 9%. Het vreemd vermogen bestaat uit 8 000 obligaties (nominale waarde €1 000, jaarlijkse coupon 5%, resterende looptijd 6 jaar) die elk op €927 noteren. Het belastingtarief is 25%. Bereken de WACC, met het effectieve rendement van de obligaties als kosten van het vreemd vermogen vóór belasting.
X is normaal verdeeld met gemiddelde 12 min en standaardafwijking 1,5 min; Y is onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 20 min en standaardafwijking 2 min. Bepaal de kans P dat X + Y groter is dan 29,5 min. Rond z af op twee decimalen.
μX = 12, σX = 1,5μY = 20, σY = 2X + Y > 29,5 min
P =
14.Normale verdelingMoeilijk
De gewichten van zakken zijn normaal verdeeld met gemiddelde 250 g en standaardafwijking 5 g. Sleep de grenswaarde zo dat de gearceerde bovenste 40% rechts ervan ligt. Bepaal de grenswaarde x.
μ = 250 gσ = 5 g40%
x = g
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
Een steekproef van 12 items heeft gemiddelde 89,5 en standaardafwijking s = 14. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de bovengrens van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.
n = 12x̄ = 89,5s = 1495%t(11) = 2,201
bovengrens =
16.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
De standaardafwijking van de populatie is 33. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 0,5 heeft?
Twee lesmethoden worden vergeleken. Groep 1: 8 studenten, gemiddelde score 24, standaardafwijking 10. Groep 2: 14 studenten, gemiddelde score 18,3, standaardafwijking 2. Neem gelijke populatievarianties aan en gebruik de gepoolde t-toets voor twee steekproeven. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ₁ = μ₂, met als verschil x̄₁ − x̄₂ (groep 1 min groep 2).
Een eenzijdige z-toets van H₀: μ = 100 tegen H₁: μ > 100 wordt uitgevoerd bij α = 0,10 met een steekproef van 36; de standaardafwijking is bekend en is 9. In werkelijkheid is het gemiddelde 104,65. Bereken het onderscheidend vermogen 1 − β van de toets in procenten.
μ₀ = 100μ = 104,65σ = 9n = 36α = 0,10
1 − β = %
19.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Bereken de determinatiecoëfficiënt r² van de kleinstekwadratenlijn.
n = 5
r² =
20.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = belasting in kN en y = verlenging in mm. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voorspel ŷ voor x = 5.
n = 5x = 5
ŷ =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 23237 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Exponent
r·t = 0,05·3 = 0,15
e0,15 = 1,162
Eindwaarde
FV = 20 000·1,162 = €23 236,68
Antwoord
FV = €23 236,68
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 259052 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Gewone annuïteitsfactor
((1 + 0,08)26 − 1)/0,08 = 79,95
Prenumerando annuïteit
Elke storting staat een jaar langer uit.
FV = 3 000·79,95·1,08 = €259 052,31
Antwoord
FV = €259 052,31
3.NCW & IRR
Antwoord: NPV = −9553 €
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Contante waarde van elke kasstroom
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,1)1 = 18 000/1,1 = 16 363,64
CF2/(1 + 0,1)2 = 14 000/1,21 = 11 570,25
CF3/(1 + 0,1)3 = 10 000/1,331 = 7 513,15
Optellen
NPV = €−9 552,97
Antwoord
NPV = €−9 552,97
De NCW is negatief, dus het project verdient minder dan het vereiste rendement.
4.NCW & IRR
Antwoord: r* = 8,398 %
Omslagrente (crossover rate): de disconteringsvoet waarbij twee projecten dezelfde NCW hebben. Het is de IRR van het verschil in hun kasstromen (B − A). Daaronder heeft het project met de latere, grotere kasstromen de hoogste NCW; daarboven wint het andere.
Verschil in kasstromen
ΔCF0 = −40 000 − (−30 000) = −10 000
ΔCF1 = 10 500 − 17 500 = −7 000
ΔCF2 = 16 500 − 11 000 = 5 500
ΔCF3 = 22 000 − 7 000 = 15 000
IRR van het verschil
NPVΔ(8%) = 141,37
NPVΔ(9%) = −210,03
r* = 8,398%
Antwoord
r* = 8,398%
Controle: bij 8,398% zijn beide NCW’s €1 001,76.
5.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: c = 5,996 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Contante waarde van de nominale waarde
1000·(1 + 0,08)−5 = €680,58
Coupon
C = (920 − 680,58)/3,993 = €59,96
Couponrente
c = 59,96/1000 = 5,996%
Antwoord
c = 5,996%
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: YTM = 5,025 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vergelijking voor het rendement
€1 070 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴
Los numeriek op
P(5%) = €1 070,92, P(6%) = €1 034,65
YTM = 5,025%
Antwoord
YTM = 5,025%
7.CAPM en WACC
Antwoord: re = 14 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Gewichten
V = €10 000 000, E/V = 0,6, D/V = 0,4
Deel van het vreemd vermogen in de WACC
0,4·4%·(1 − 0,28) = 1,152%
Kosten van het eigen vermogen
re = (9,55% − 1,152%)/0,6 = 14%
Antwoord
re = 14%
8.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 7,019 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = −1,5
Tabel standaardnormale verdeling
Φ(−1,5) = 0,06681
P = 1 − 0,06681 = 0,9332
Antwoord
P = 0,9332
11.Kansrekening
Antwoord: P = 0,4213
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Complement
P(geen zes) = (5/6)3 = 0,5787
P = 1 − 0,5787 = 0,4213
Antwoord
P = 0,4213
12.Kansrekening
Antwoord: σY = 6,205
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μX ± μY. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σX² + σY², dus σ = √(σX² + σY²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.
Verdeling van de som
μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min
Standaardiseren
z = (29,5 − 32)/2,5 = −1
Rechterstaart
P = 1 − Φ(−1) = 1 − 0,1587 = 0,8413
Antwoord
P = 0,8413
14.Normale verdeling
Antwoord: x = 251,3 g
Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.
Oppervlak links
Φ(z) = 0,6
z uit de tabel
z ≈ 0,25
Terug naar de oorspronkelijke eenheden
x = 250 + 0,25·5 = 251,3 g
Antwoord
x = 251,3 g
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: bovengrens = 98,4
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
Kritieke waarde
df = n − 1 = 11, t = 2,201
Foutmarge
E = 2,201·14/√12 = 8,895
Interval
89,5 ± 8,895 → [80,6, 98,4]
Antwoord
bovengrens = 98,4
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 11788
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
n oplossen
n = (1,645·33/0,5)² = 11787
Naar boven afronden
Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.
n = 11788
Antwoord
n = 11788
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: t = 2,097
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Gepoolde variantie
sp² = (7·10² + 13·2²)/20 = 37,6
sp = 6,132
Standaardfout
SE = 6,132·√(1/8 + 1/14) = 2,718
Toetsingsgrootheid
t = (24 − 18,3)/2,718 = 2,097
Antwoord
t = 2,097
Bij df = 20 is de tweezijdige kritieke waarde bij 5% gelijk aan 2,086; |t| is groter, dus H₀ wordt verworpen.
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: 1 − β = 96,55 %
Onderscheidend vermogen van een toets: het onderscheidend vermogen 1 − β is de kans dat H₀ wordt verworpen als die onwaar is. Bepaal de grens x̄c uit μ₀ en z_α, en bereken dan met het ware gemiddelde de kans om voorbij x̄c uit te komen: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Kritiek steekproefgemiddelde
SE = 9/√36 = 1,5
x̄c = 100 + 1,282·1,5 = 101,9
z onder het ware gemiddelde
z = (101,9 − 104,65)/1,5 = −1,818
Vermogen
onderscheidend vermogen = P(Z > −1,818) = 96,55%
1 − β = 96,55%
Antwoord
1 − β = 96,55%
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r² = 0,9853
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 274/5 = 54,8
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 188
Syy = Σ(y − ȳ)² = 896,8
Determinatiecoëfficiënt
r² = 188²/(40·896,8) = 0,9853
Antwoord
r² = 0,9853
Ongeveer 98,53% van de variatie in y wordt door de lijn verklaard.
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: ŷ = 17,65
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 104/5 = 20,8
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 126
Regressielijn
b = 126/40 = 3,15
a = 20,8 − 3,15·6 = 1,9
ŷ = 1,9 + 3,15·x
Voorspelling
ŷ = 1,9 + 3,15·5 = 17,65
Antwoord
ŷ = 17,65
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.