Je belegt €20 000 tegen 4 % per jaar met continue samengestelde rente. Bereken de waarde FV na 20 jaar.
PV = €20 000r = 4%t = 20
FV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Je stort 5 jaar lang aan het begin van elk jaar €1 000, de eerste storting vandaag. De rekening geeft 7 % per jaar. Hoeveel staat er aan het eind van jaar 5 op de rekening? Bereken FV.
A = €1 000i = 7%n = 5
FV = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een machine kost vandaag €80 000, gaat 4 jaar mee en kost €2 000 per jaar aan bedrijfskosten (betaald aan het eind van elk jaar). De vermogenskosten zijn 5 %. Bereken de equivalente jaarlijkse kosten EAC.
C0 = €80 000M = €2 000n = 4r = 5%
EAC = €
4.NCW & IRRMoeilijk
Een project kost €50 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 €32 000, €30 000, €24 000 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
CF0 = −50 000CF1 = 32 000CF2 = 30 000CF3 = 24 000
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 3% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 4 jaar af. Het effectieve rendement is 5,5% per jaar. Bereken de koers P van de obligatie.
F = €1 000coupon = 3%YTM = 5,5%n = 4
P = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 en een jaarlijkse coupon van 6% loopt over 3 jaar af en wordt verkocht voor €975. Bereken het effectieve rendement YTM in procenten.
F = €1 000coupon = 6%n = 3P = €975
YTM = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €12 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €5 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 14%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 7% en het belastingtarief is 21%. Bereken de WACC.
Een onderneming heeft eigen vermogen met een marktwaarde van €15 000 000 en kosten van het eigen vermogen van 12%. Het vreemd vermogen bestaat uit 5 000 obligaties (nominale waarde €1 000, jaarlijkse coupon 6%, resterende looptijd 10 jaar) die elk op €1 119 noteren. Het belastingtarief is 25,8%. Bereken de WACC, met het effectieve rendement van de obligaties als kosten van het vreemd vermogen vóór belasting.
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 50, 22, 33, 43, 30.
n = 5
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 100 en standaardafwijking 20. Welk deel P van de waarden ligt boven 90?
μ = 100σ = 20x = 90
P =
11.KansrekeningGemiddeld
Er wordt 4 keer met een eerlijke dobbelsteen gegooid. Wat is de kans P op minstens één zes?
n = 4
P =
12.KansrekeningMoeilijk
Een spel kost €1 inzet. Je wint €4 met kans 0,2 en €20 met kans 0,05; anders win je niets. De inzet krijg je niet terug. Bepaal de verwachte nettowinst E(G) per spel.
inzet = €1€4: p = 0,2€20: p = 0,05
E(G) = €
13.Normale verdelingGemiddeld
Sleep z zo dat het gearceerde oppervlak tussen −z en z onder de standaardnormale kromme 0,9512 is. Bepaal z op twee decimalen.
A = 0,9512
z =
14.Normale verdelingMoeilijk
De examencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 65 punten en standaardafwijking 10 punten. Bereken de waarde x waaronder 20% ervan ligt (het 20e percentiel).
μ = 65σ = 10P = 20%
x = punten
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
Een steekproef van 20 items heeft gemiddelde 113 en standaardafwijking s = 20. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de bovengrens van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.
n = 20x̄ = 113s = 2090%t(19) = 1,729
bovengrens =
16.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
Een vooronderzoek wijst erop dat ongeveer 0,7 van de producten defect is. Hoeveel producten n moeten worden gecontroleerd zodat een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de fractie een foutmarge van hoogstens 0,02 heeft?
20 werknemers doen een typetest voor en na een training. Voor elke persoon wordt het verschil d = na − voor (woorden per minuut) genoteerd. Het gemiddelde verschil is −0,75 en de standaardafwijking van de verschillen is 1,2. Bereken de toetsingsgrootheid t van de gepaarde toets voor H₀: μd = 0.
Een steekproef van 16 metingen heeft gemiddelde 39,5. De standaardafwijking van de populatie is 15. Bereken de bovengrens U van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.
x̄ = 39,5σ = 15n = 1695%
U =
19.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Bereken de determinatiecoëfficiënt r² van de kleinstekwadratenlijn.
n = 6
r² =
20.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voorspel ŷ voor x = 11.
n = 6x = 11
ŷ =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 44511 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Exponent
r·t = 0,04·20 = 0,8
e0,8 = 2,226
Eindwaarde
FV = 20 000·2,226 = €44 510,82
Antwoord
FV = €44 510,82
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 6153 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Gewone annuïteitsfactor
((1 + 0,07)5 − 1)/0,07 = 5,751
Prenumerando annuïteit
Elke storting staat een jaar langer uit.
FV = 1 000·5,751·1,07 = €6 153,29
Antwoord
FV = €6 153,29
3.NCW & IRR
Antwoord: EAC = 24561 €
Equivalente jaarlijkse kosten: spreid de contante waarde van alle kosten over de levensduur als een gelijk jaarlijks bedrag (een annuïteit): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Zo kun je machines met verschillende levensduren vergelijken.
Annuïteitsfactor
(1 − 1,05−4)/0,05 = 3,546
Aanschafprijs omgerekend per jaar
80 000/3,546 = 22 560,95
EAC
EAC = 22 560,95 + 2 000 = €24 560,95
Antwoord
EAC = €24 560,95
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 34,87 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De IRR insluiten
De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.
NPV(30%) = 3 290,85
NPV(35%) = −80,78
Verfijnen
Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Per periode
C = €15,00, i = 0,0275, N = 8
Contante waarde van de coupons
€15,00·(1 − 0,8049)/0,0275 = €106,41
Contante waarde van de nominale waarde
€1 000·0,8049 = €804,91
Koers
P = €911,32
Antwoord
P = €911,32
Het rendement ligt boven de couponrente, dus de obligatie wordt onder pari verkocht.
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: YTM = 6,952 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vergelijking voor het rendement
€975 = €60·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³
Los numeriek op
P(6%) = €1 000,00, P(7%) = €973,76
YTM = 6,952%
Antwoord
YTM = 6,952%
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 11,51 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Gewichten
V = €17 000 000, E/V = 0,7059, D/V = 0,2941
WACC
WACC = 0,7059·14% + 0,2941·7%·(1 − 0,21) = 11,51%
Antwoord
WACC = 11,51%
8.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 9,646 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = −0,5
Tabel standaardnormale verdeling
Φ(−0,5) = 0,3085
P = 1 − 0,3085 = 0,6915
Antwoord
P = 0,6915
11.Kansrekening
Antwoord: P = 0,5177
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Complement
P(geen zes) = (5/6)4 = 0,4823
P = 1 − 0,4823 = 0,5177
Antwoord
P = 0,5177
12.Kansrekening
Antwoord: E(G) = 0,8 €
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Netto-uitkomsten
G: 3 (p = 0,2), 19 (p = 0,05), −1 (p = 0,75)
Verwachtingswaarde
E(G) = 3·0,2 + 19·0,05 − 1·0,75 = 0,8 €
Antwoord
E(G) = 0,8 €
Een positieve waarde betekent dat je gemiddeld geld wint.
13.Normale verdeling
Antwoord: z = 1,97
Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.
Oppervlak links van z
Φ(z) = (1 + 0,9512)/2 = 0,9756
Lees de z-tabel achterstevoren
Zoek 0,9756 in de tabel en lees z af.
z = 1,97
Antwoord
z = 1,97
14.Normale verdeling
Antwoord: x = 56,58 punten
Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.
z voor het percentiel
Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416
Terug naar x
x = 65 + −0,8416·10 = 56,58 punten
Antwoord
x = 56,58 punten
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: bovengrens = 120,7
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
Kritieke waarde
df = n − 1 = 19, t = 1,729
Foutmarge
E = 1,729·20/√20 = 7,732
Interval
113 ± 7,732 → [105,3, 120,7]
Antwoord
bovengrens = 120,7
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 2017
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
n oplossen
n = 1,96²·0,7·0,3/0,02² = 2017
Naar boven afronden
n = 2017
Antwoord
n = 2017
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: t = −2,795
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Standaardfout van het gemiddelde verschil
SE = 1,2/√20 = 0,2683
Toetsingsgrootheid
t = −0,75/0,2683 = −2,795
Antwoord
t = −2,795
Bij df = 19 is de tweezijdige kritieke waarde bij 5% gelijk aan 2,093; |t| is groter, dus H₀ wordt verworpen.
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: U = 46,85
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
Foutmarge
E = 1,96·15/√16 = 7,35
Intervalgrens
U = 39,5 + 7,35 = 46,85
Antwoord
U = 46,85
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r² = 0,9664
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 94/6 = 15,67
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −43
Syy = Σ(y − ȳ)² = 109,3
Determinatiecoëfficiënt
r² = −43²/(17,5·109,3) = 0,9664
Antwoord
r² = 0,9664
Ongeveer 96,64% van de variatie in y wordt door de lijn verklaard.
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: ŷ = 62,85
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.