Een creditcard rekent een nominale rente van 20 % per jaar, maandelijks samengesteld. Bereken de effectieve jaarrente EAR in procent.
r = 20%m = 12
EAR = %
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Een lening van €30 000 wordt in 4 jaar afgelost met gelijke maandbedragen tegen 2,4 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel rente I wordt er in totaal over de looptijd van de lening betaald?
P = €30 0002,4% / 12N = 48
I = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een investering van €45 000 levert aan het eind van jaar 1 tot en met 4 deze kasstromen op: €19 000, €12 000, €15 000, €13 000. De vermogenskosten zijn 10 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
Een project kost €25 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 2 €13 500, €18 000 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
CF0 = −25 000CF1 = 13 500CF2 = 18 000
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 loopt over 6 jaar af en betaalt jaarlijkse coupons. Ze wordt verkocht voor €865 als het effectieve rendement 9% is. Bereken het couponpercentage c in procenten.
F = €1 000n = 6P = €865YTM = 9%
c = %
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een resterende looptijd van 14 jaar (nominale waarde €1 000, jaarlijkse coupon 8%) wordt verkocht voor €1 087. De uitgever kan haar over 5 jaar vervroegd aflossen tegen een aflossingsprijs van €1 080. Bereken het rendement tot vervroegde aflossing (yield to call) YTC in procenten.
F = €1 000coupon = 8%P = €1 087aflossingsprijs = €1 080vervroegd aflosbaar over 5 jaar
YTC = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft eigen vermogen ter waarde van €5 000 000 en vreemd vermogen ter waarde van €6 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 11%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 6% en het belastingtarief is 25,8%. Bereken de WACC.
De aandelen van een onderneming hebben een bèta van 1,5 bij de huidige verhouding vreemd/eigen vermogen van 0,25. Ze wil die verhouding verhogen tot 1,25. Het belastingtarief is 28%, de risicovrije rente 2% en de marktrisicopremie 7%. Bereken de kosten van het eigen vermogen re na de wijziging.
De IQ-scores zijn normaal verdeeld met gemiddelde 100 punten en standaardafwijking 15 punten. Welk deel ligt tussen 100 en 130,75 punten? Geef P als decimaal getal.
μ = 100σ = 15x1 = 100x2 = 130,75
P =
14.Normale verdelingMoeilijk
De examencijfers zijn normaal verdeeld met gemiddelde 65 punten en standaardafwijking 10 punten. Bereken de waarde x waaronder 80% ervan ligt (het 80e percentiel).
μ = 65σ = 10P = 80%
x = punten
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
De bloeddruk van 15 patiënten wordt gemeten voor en na een behandeling. De verschillen d = voor − na (mmHg) hebben gemiddelde 9,3 en standaardafwijking 6,6. Bereken de foutmarge E van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde verschil.
n = 15d̄ = 9,3sd = 6,690%t(14) = 1,761
E = mmHg
16.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
Twee kunstmeststoffen worden getest. Groep 1: 11 proefvelden, gemiddelde opbrengst 55 kg, standaardafwijking 6,5 kg. Groep 2: 6 proefvelden, gemiddelde 57 kg, standaardafwijking 1 kg. Neem gelijke varianties aan (gepoolde t, df = n₁ + n₂ − 2). Bereken de ondergrens van het 90%-betrouwbaarheidsinterval voor μ₁ − μ₂.
Een steekproef van 49 studenten heeft een gemiddelde score van 47,49 en een steekproefstandaardafwijking van 8. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 50.
Een eenzijdige z-toets van H₀: μ = 50 tegen H₁: μ < 50 wordt uitgevoerd bij α = 0.10 met een steekproef van 64; de standaardafwijking is bekend en is 16. In werkelijkheid is het gemiddelde 46.2. Bereken de kans op een fout van de tweede soort β in procenten.
μ₀ = 50μ = 46,2σ = 16n = 64α = 0,10
β = %
19.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = aantal uren gestudeerd en y = tentamencijfer. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = leeftijd van de auto in jaren en y = prijs in k€. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voor welke waarde x voorspelt de lijn ŷ = 21?
n = 5ŷ = 21
x =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: EAR = 21,94 %
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Rente per periode
r/m = 0,2/12 = 0,01667
Samenstellen over één jaar
EAR = (1 + 0,01667)12 − 1 = 1,219 − 1 = 21,94%
Antwoord
EAR = 21,94%
De effectieve jaarrente ligt altijd boven de nominale rente als de rente vaker dan één keer per jaar wordt bijgeschreven.
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: I = 1493 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Maandbedrag
i = 0,002, N = 48
A = 30 000·0,002/(1 − (1 + 0,002)−48) = €656,10
Totale rente
I = N·A − P = 48·656,1 − 30 000 = €1 493,00
Antwoord
I = €1 493,00
3.NCW & IRR
Antwoord: NPV = 2339 €
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Contante waarde van elke kasstroom
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,1)1 = 19 000/1,1 = 17 272,73
CF2/(1 + 0,1)2 = 12 000/1,21 = 9 917,36
CF3/(1 + 0,1)3 = 15 000/1,331 = 11 269,72
CF4/(1 + 0,1)4 = 13 000/1,464 = 8 879,17
Optellen
NPV = €2 338,98
Antwoord
NPV = €2 338,98
De NCW is positief, dus het project verdient meer dan het vereiste rendement.
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 16,04 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De IRR insluiten
De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.
NPV(15%) = 349,72
NPV(20%) = −1 250,00
Verfijnen
Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Contante waarde van de nominale waarde
1000·(1 + 0,09)−6 = €596,27
Coupon
C = (865 − 596,27)/4,486 = €59,91
Couponrente
c = 59,91/1000 = 5,991%
Antwoord
c = 5,991%
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: YTC = 7,248 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vergelijking voor het rendement
1087 = 80·(1 − (1 + y)−5)/y + 1080/(1 + y)5
Los numeriek op
y = 7%: €1 098,04
y = 8%: €1 054,45
YTC = 7,248%
Antwoord
YTC = 7,248%
Het effectieve rendement tot de einddatum is 7,005%. Beleggers in een obligatie boven pari verwachten dat ze vervroegd wordt afgelost, dus de lagere yield to call is de realistischere.
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 7,428 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Bèta met hefboom (Hamada): vreemd vermogen maakt het eigen vermogen riskanter. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), waarbij βU de bèta van de onderneming zonder schuld is. Om een bèta naar een andere vermogensstructuur om te zetten, haal je eerst de hefboom eruit (unlever) en reken je hem daarna opnieuw in bij de nieuwe D/E (relever).
Haal de hefboom uit de bèta
βU = 1,5/(1 + 0,72·0,25) = 1,271
Reken de hefboom in bij de nieuwe D/E
βL = 1,271·(1 + 0,72·1,25) = 2,415
Kosten eigen vermogen (CAPM)
re = 2% + 2,415·7% = 18,91%
Antwoord
re = 18,91%
9.Beschrijvende statistiek
Antwoord: s = 19,32
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = 1
Tabel standaardnormale verdeling
Φ(1) = 0,8413
P = 0,8413
Antwoord
P = 0,8413
11.Kansrekening
Antwoord: σ = 1,162
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Gemiddelde
μ = 1·0,25 + 2·0,3 + 3·0,15 + 4·0,3 = 2,5
Gemiddelde van de kwadraten
E(X²) = 1·0,25 + 4·0,3 + 9·0,15 + 16·0,3 = 7,6
Variantie
Var(X) = 7,6 − 2,5² = 1,35
σ = √1,35 = 1,162
Antwoord
σ = 1,162
12.Kansrekening
Antwoord: σY = 0,8944
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.
z-scores
z₁ = (100 − 100)/15 = 0
z₂ = (130,75 − 100)/15 = 2,05
Oppervlakte ertussen
P = Φ(2,05) − Φ(0) = 0,9798 − 0,5 = 0,4798
Antwoord
P = 0,4798
14.Normale verdeling
Antwoord: x = 73,42 punten
Normale verdeling: reken een waarde x om naar een z-score, z = (x − μ)/σ, die telt hoeveel standaardafwijkingen x van het gemiddelde ligt. Een z-tabel (of Φ(z)) geeft de oppervlakte links van z, en dat is P(X < x). De oppervlakte rechts is 1 − Φ(z), en de oppervlakte tussen twee waarden is het verschil van hun twee oppervlakten.
z voor het percentiel
Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416
Terug naar x
x = 65 + 0,8416·10 = 73,42 punten
Antwoord
x = 73,42 punten
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: E = 3,001 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Kritieke waarde
df = 14, t = 1,761
Foutmarge
E = 1,761·6,6/√15 = 3,001
Antwoord
E = 3,001 mmHg
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: ondergrens = −6,75 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Gepoolde standaardafwijking
sp² = (10·6,5² + 5·1²)/15 = 28,5
sp = 5,339
Foutmarge
E = 1,753·5,339·√(1/11 + 1/6) = 4,75
Interval
−2 ± 4,75 → [−6,75, 2,75]
Antwoord
ondergrens = −6,75 kg
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: t = −2,196
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
Standaardfout
SE = 8/√49 = 8/7 = 1,143
Toetsingsgrootheid
t = (47,49 − 50)/1,143 = −2,196
Antwoord
t = −2,196
t0,025; df = 48 = 2,011
|t| > 2,011, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: β = 26,83 %
Onderscheidend vermogen van een toets: het onderscheidend vermogen 1 − β is de kans dat H₀ wordt verworpen als die onwaar is. Bepaal de grens x̄c uit μ₀ en z_α, en bereken dan met het ware gemiddelde de kans om voorbij x̄c uit te komen: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Kritiek steekproefgemiddelde
SE = 16/√64 = 2
x̄c = 50 − 1,282·2 = 47,44
z onder het ware gemiddelde
z = (47,44 − 46,2)/2 = 0,618
Fout van de tweede soort
onderscheidend vermogen = P(Z < 0.618) = 73.17%
β = 100% − 73,17% = 26,83%
Antwoord
β = 26,83%
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r = 0,9591
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gecentreerde sommen
Sxy = 2026 − 27·435/6 = 68,5
Sxx = 139 − 27²/6 = 17,5
Syy = 31829 − 435²/6 = 291,5
Correlatiecoëfficiënt
r = 68,5/√(17,5·291,5) = 0,9591
Antwoord
r = 0,9591
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: x = 1,444
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 91/5 = 18,2
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −18
Regressielijn
b = −18/10 = −1,8
a = 18,2 − (−1,8)·3 = 23,6
ŷ = 23,6 − 1,8·x
Los op naar x
x = (21 − 23,6)/(−1,8) = 1,444
Antwoord
x = 1,444
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.