Je belegt €20 000 tegen 8 % per jaar met continue samengestelde rente. Bereken de waarde FV na 19 jaar.
PV = €20 000r = 8%t = 19
FV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Een lening van €20 000 wordt in 5 jaar afgelost met gelijke maandtermijnen. De rente is 2,4 % per jaar, maandelijks samengesteld. Bereken de maandtermijn A.
P = €20 0002,4% / 12N = 60
A = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een investering van €45 000 levert aan het eind van jaar 1 tot en met 4 deze kasstromen op: €21 000, €18 000, €15 000, €21 000. De vermogenskosten zijn 10 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
Een investering van €50 000 levert 4 jaar lang aan het eind van elk jaar €15 500 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
C0 = €50 000CF = €15 500n = 4
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 betaalt een jaarlijkse coupon van 3% in twee halfjaarlijkse termijnen en loopt over 7 jaar af. Het effectieve rendement is 5,5% per jaar. Bereken de koers P van de obligatie.
F = €1 000coupon = 3%YTM = 5,5%n = 7
P = €
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 en een jaarlijkse coupon van 3% loopt over 7 jaar af en wordt verkocht voor €1 100. Bereken het effectieve rendement YTM in procenten.
F = €1 000coupon = 3%n = 7P = €1 100
YTM = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming heeft een verhouding vreemd/eigen vermogen (tegen marktwaarde) van 0,6. De kosten van het eigen vermogen zijn 8%, de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting 4,5% en het belastingtarief is 21%. Bereken de WACC.
D/E = 0,6re = 8%rd = 4,5%T = 21%
WACC = %
8.CAPM en WACCMoeilijk
De aandelen van een onderneming hebben een bèta van 1,3 bij de huidige verhouding vreemd/eigen vermogen van 0,4. Ze wil die verhouding verhogen tot 0,6. Het belastingtarief is 20%, de risicovrije rente 4% en de marktrisicopremie 5,5%. Bereken de kosten van het eigen vermogen re na de wijziging.
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 56, 23, 26, 25, 32, 18, 46.
n = 7
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 100 en standaardafwijking 5. Welk deel P van de waarden ligt onder 106,3?
μ = 100σ = 5x = 106,3
P =
11.KansrekeningGemiddeld
Bepaal voor de getoonde verdeling de variantie Var(X) van X.
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,25, 0,3, 0,15, 0,3
Var(X) =
12.KansrekeningMoeilijk
Een spel kost €1 inzet. Je wint €3 met kans 0,15 en €10 met kans 0,05; anders win je niets. De inzet krijg je niet terug. Bepaal de verwachte nettowinst E(G) per spel.
inzet = €1€3: p = 0,15€10: p = 0,05
E(G) = €
13.Normale verdelingGemiddeld
Sleep z zo dat het gearceerde oppervlak onder de standaardnormale kromme, rechts van z, 0,1841 is. Bepaal z op twee decimalen.
A = 0,1841
z =
14.Normale verdelingMoeilijk
Gatdiameters D zijn normaal verdeeld met gemiddelde 25,04 mm en standaardafwijking 0,01 mm. Asdiameters d zijn onafhankelijk en normaal verdeeld met gemiddelde 25 mm en standaardafwijking 0,015 mm. Een willekeurig gekozen as past als D − d > 0. Bepaal de kans P dat hij past. Rond z af op twee decimalen.
gat: μ = 25,04 mm, σ = 0,01 mmas: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm
P =
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
Een 90%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde, gebaseerd op 36 waarnemingen en een bekende σ, heeft een foutmarge van 7,8. Wat is de foutmarge E₂ van een 95%-interval uit dezelfde data?
90%n₁ = 36E₁ = 7,895%
E₂ =
16.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
De standaardafwijking van de populatie is 29. Hoe groot moet de steekproef n zijn zodat een 90%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde een foutmarge van hoogstens 4 heeft?
9 werknemers doen een typetest voor en na een training. Voor elke persoon wordt het verschil d = na − voor (woorden per minuut) genoteerd. Het gemiddelde verschil is 8,52 en de standaardafwijking van de verschillen is 7,1. Bereken de toetsingsgrootheid t van de gepaarde toets voor H₀: μd = 0.
Hoe groot moet een steekproef zijn zodat het 99%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde een foutmarge van hoogstens 1 heeft? De standaardafwijking is 20. Bereken de kleinste steekproefomvang n.
σ = 20E = 199%
n =
19.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
De tabel geeft 6 gepaarde waarnemingen van x = advertentie-uitgaven in k€ en y = verkoop in k€. Hun sommen zijn gegeven. Bereken uit deze sommen de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = temperatuur in °C en y = verkochte ijsjes. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voorspel ŷ voor x = 17.
n = 5x = 17
ŷ =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: FV = 91445 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Exponent
r·t = 0,08·19 = 1,52
e1,52 = 4,572
Eindwaarde
FV = 20 000·4,572 = €91 444,50
Antwoord
FV = €91 444,50
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: A = 354,1 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Maandrente en aantal termijnen
i = 0,024/12 = 0,002
N = 12·5 = 60
Termijn
De contante waarde van N gelijke betalingen A is A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Stel die gelijk aan de lening en los A op.
(1 + i)−N = 0,887
A = 20 000·0,002/(1 − 0,887) = €354,07
Antwoord
A = €354,07
3.NCW & IRR
Antwoord: NPV = 14580 €
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Contante waarde van elke kasstroom
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,1)1 = 21 000/1,1 = 19 090,91
CF2/(1 + 0,1)2 = 18 000/1,21 = 14 876,03
CF3/(1 + 0,1)3 = 15 000/1,331 = 11 269,72
CF4/(1 + 0,1)4 = 21 000/1,464 = 14 343,28
Optellen
NPV = €14 579,95
Antwoord
NPV = €14 579,95
De NCW is positief, dus het project verdient meer dan het vereiste rendement.
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 9,196 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Benodigde annuïteitsfactor
(1 − (1 + i)−4)/i = 50 000/15 500 = 3,226
Los de rente op
De annuïteitsfactor daalt als de rente stijgt; sluit de rente in tussen twee waarden en verklein het interval.
i = 9%: 3,24
i = 10%: 3,17
IRR = 9,196%
Antwoord
IRR = 9,196%
5.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: P = 856,4 €
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Per periode
C = €15,00, i = 0,0275, N = 14
Contante waarde van de coupons
€15,00·(1 − 0,684)/0,0275 = €172,37
Contante waarde van de nominale waarde
€1 000·0,684 = €684,00
Koers
P = €856,36
Antwoord
P = €856,36
Het rendement ligt boven de couponrente, dus de obligatie wordt onder pari verkocht.
6.Obligatiekoers en rendement
Antwoord: YTM = 1,485 %
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vergelijking voor het rendement
€1 100 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷
Los numeriek op
P(1%) = €1 134,56, P(2%) = €1 064,72
YTM = 1,485%
Antwoord
YTM = 1,485%
7.CAPM en WACC
Antwoord: WACC = 6,333 %
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Gewichten uit D/E
E/V = 1/(1 + 0,6) = 0,625
D/V = 0,6/(1 + 0,6) = 0,375
WACC
WACC = 0,625·8% + 0,375·4,5%·(1 − 0,21) = 6,333%
Antwoord
WACC = 6,333%
8.CAPM en WACC
Antwoord: re = 12,02 %
Bèta met hefboom (Hamada): vreemd vermogen maakt het eigen vermogen riskanter. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), waarbij βU de bèta van de onderneming zonder schuld is. Om een bèta naar een andere vermogensstructuur om te zetten, haal je eerst de hefboom eruit (unlever) en reken je hem daarna opnieuw in bij de nieuwe D/E (relever).
Haal de hefboom uit de bèta
βU = 1,3/(1 + 0,8·0,4) = 0,9848
Reken de hefboom in bij de nieuwe D/E
βL = 0,9848·(1 + 0,8·0,6) = 1,458
Kosten eigen vermogen (CAPM)
re = 4% + 1,458·5,5% = 12,02%
Antwoord
re = 12,02%
9.Beschrijvende statistiek
Antwoord: s = 13,74
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = 1,25
Tabel standaardnormale verdeling
Φ(1,25) = 0,8944
P = 0,8944
Antwoord
P = 0,8944
11.Kansrekening
Antwoord: Var(X) = 135
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Discrete stochasten: een kansverdeling geeft elke waarde x die een variabele kan aannemen met haar kans p(x); de kansen liggen tussen 0 en 1 en tellen op tot 1. De verwachtingswaarde (het gemiddelde) is E(X) = Σx·p(x), het gemiddelde op de lange termijn. De variantie is Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², en de standaardafwijking σ = √Var(X). Voor een lineaire transformatie Y = aX + b geldt: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) en σY = |a|·σX; een constante optellen verandert de spreiding niet.
Netto-uitkomsten
G: 2 (p = 0,15), 9 (p = 0,05), −1 (p = 0,8)
Verwachtingswaarde
E(G) = 2·0,15 + 9·0,05 − 1·0,8 = −0,05 €
Antwoord
E(G) = −0,05 €
Een negatieve waarde betekent dat je gemiddeld geld verliest.
13.Normale verdeling
Antwoord: z = 0,9
Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.
Oppervlak links van z
Φ(z) = 1 − 0,1841 = 0,8159
Lees de z-tabel achterstevoren
Zoek 0,8159 in de tabel en lees z af.
z = 0,90
Antwoord
z = 0,90
14.Normale verdeling
Antwoord: P = 0,9868
Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μX ± μY. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σX² + σY², dus σ = √(σX² + σY²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.
Verdeling van het verschil
μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,01803 mm
Standaardiseren
z = (0 − 0,04)/0,01803 = −2,22
Kansrekening
P = 1 − Φ(−2,22) = 0,9868
Antwoord
P = 0,9868
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: E₂ = 9,294
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Verhouding van de marges
E₂/E₁ = (1,96/1,645)·√(36/36) = 1,191
Nieuwe marge
E₂ = 7,8·1,191 = 9,294
Antwoord
E₂ = 9,294
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 143
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
n oplossen
n = (1,645·29/4)² = 142,2
Naar boven afronden
Een steekproefomvang is een geheel getal, en naar beneden afronden zou de marge te groot maken.
n = 143
Antwoord
n = 143
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: t = 3,6
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Standaardfout van het gemiddelde verschil
SE = 7,1/√9 = 2,367
Toetsingsgrootheid
t = 8,52/2,367 = 3,6
Antwoord
t = 3,6
Bij df = 8 is de tweezijdige kritieke waarde bij 5% gelijk aan 2,306; |t| is groter, dus H₀ wordt verworpen.
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 2655
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
n oplossen
n = (2,576·20/1)² = 2654
Naar boven afronden
n = 2655
Antwoord
n = 2655
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r = 0,9799
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gecentreerde sommen
Sxy = 1967 − 36·281/6 = 281
Sxx = 286 − 36²/6 = 70
Syy = 14335 − 281²/6 = 1175
Correlatiecoëfficiënt
r = 281/√(70·1175) = 0,9799
Antwoord
r = 0,9799
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: ŷ = 53,75
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 100/5 = 20
ȳ = 298/5 = 59,6
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 78
Regressielijn
b = 78/40 = 1,95
a = 59,6 − 1,95·20 = 20,6
ŷ = 20,6 + 1,95·x
Voorspelling
ŷ = 20,6 + 1,95·17 = 53,75
Antwoord
ŷ = 53,75
Dit is onafhankelijk oefenmateriaal. ExamProblems is niet verbonden aan of goedgekeurd door de organisatie die dit examen afneemt, en de naam van het examen wordt alleen gebruikt om de inhoud te beschrijven. CFA® and Chartered Financial Analyst® zijn merken van CFA Institute, dat niet verbonden is aan ExamProblems, het niet onderschrijft en niet instaat voor de juistheid ervan.