Netwerkanalyse 2: wisselstroomschakelingen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 16 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Complexe getallen

Rechthoekige vorm: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Modulus en argument: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Poolvorm en exponentiële vorm: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Deling: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Product en quotiënt: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
De Moivre: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n-de machtswortels: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Kwadratische vergelijking met p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Methode

Bepaal welke vorm bij de bewerking past: rechthoekig a + jb voor optellen en aftrekken, pool r∠θ voor vermenigvuldigen, delen, machten en wortels.
Werk uit met j² = −1; deel door teller en noemer te vermenigvuldigen met de geconjugeerde van de noemer.
Reken om met r = √(a² + b²) en θ uit een schets van het punt (controleer het kwadrant), en terug met a = r cos θ, b = r sin θ.
Gebruik voor machten De Moivre, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; noteer voor zⁿ = R∠φ alle n wortels R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Wisselstroomimpedantie en fasoren

Impedanties: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Hoekfrequentie: ω = 2πf
Modulus en hoek: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Wet van Ohm met fasoren: V = I·Z

Methode

Reken de frequentie om: ω = 2πf.
Bereken elke reactantie: X_L = ωL en X_C = 1/(ωC).
Tel impedanties op zoals weerstanden, met Z = R + jX.
Bereken de grootte |Z| = √(R² + X²) en de hoek φ = atan(X/R), en gebruik daarna de wet van Ohm met fasoren.

Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor

Werkelijk vermogen: P = V·I·cos φ
Blindvermogen: Q = V·I·sin φ
Schijnbaar vermogen: S = V·I = √(P² + Q²)
Arbeidsfactor: pf = cos φ = P/S
Compensatiecondensator: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte

Eigenfrequentie: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
Energie: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
Piekstroom: I_max = V₀√(C/L)
Kwaliteitsfactor: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
Serie-RLC: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
Parallel-RLC: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
Bandbreedte: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
Halfvermogensfrequenties: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
Tank met spoelweerstand r: R_D = L/(C·r) = Q²·r
Afname van de amplitude: e^−Rt/(2L)

Methode

Zoek eerst de resonantiefrequentie: ω₀ = 1/√(LC) en f₀ = ω₀/(2π).
Bepaal of de schakeling serie of parallel is: serie Q = (1/R)√(L/C), parallel Q = R√(C/L).
Gebruik BW = f₀/Q voor de bandbreedte, of de snelle formules R/(2πL) (serie) en 1/(2πRC) (parallel).
Gebruik bij energievragen dat de totale energie ½CV₀² in een ideale LC-schakeling constant blijft en elke kwartperiode heen en weer gaat tussen C en L.

Draaistroomvermogen

Sterschakeling (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Driehoekschakeling (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Totaal werkelijk vermogen: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Schijnbaar vermogen en blindvermogen: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Compensatiecondensatoren: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Spanning over elke condensator: Δ: V_L Y: V_L/√3
Opgenomen motorvermogen: P_in = P_out/η

RC- en RL-schakelverschijnselen

Tijdconstante: τ = RC | τ = L/R
Respons: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Condensator bij gelijkstroom: open klemmen; v_C kan niet verspringen
Spoel bij gelijkstroom: kortsluiting; i_L kan niet verspringen
Eindtoestand: t ≈ 5τ

Methode

Bepaal de beginwaarde vlak na het schakelen: een condensatorspanning en een spoelstroom kunnen niet verspringen.
Bepaal de eindwaarde lang na het schakelen: een condensator gedraagt zich als een open keten, een spoel als een kortsluiting.
Bepaal de tijdconstante: τ = RC of τ = L/R, met de weerstand die de condensator of spoel ziet.
Gebruik x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Thévenin en Norton

Thévenin-spanning: V_th = V_{open circuit}
Thévenin-weerstand: R_th: alle bronnen uit, gezien vanaf a–b
Norton-stroom: I_N = V_th/R_th
Belastingsstroom: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Maximale vermogensoverdracht: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Methode

Haal de belasting weg en markeer de twee klemmen a en b.
Bepaal de openklemspanning tussen a en b: dit is V_th.
Schakel alle onafhankelijke bronnen uit en bepaal de weerstand gezien vanaf a–b: dit is R_th.
Zet de belasting terug op het vervangingsschema: V_th in serie met R_th.
Reken voor het Norton-equivalent om: I_N = V_th/R_th, met R_N = R_th parallel.

2Oefenopgaven

1.Complexe getallenGemiddeld

Het getal z = 4·e^j2 heeft zijn hoek in radialen. Bepaal het imaginaire deel b.

r = 4θ = 2 rad

b =

2.Complexe getallenMoeilijk

Gebruik de stelling van De Moivre om het imaginaire deel van z⁹ te vinden voor z = −1 + j.

z = −1 + jn = 9

Im(z⁹) =

3.Wisselstroomimpedantie en fasorenGemiddeld

Een weerstand en een condensator zijn parallel aangesloten op een voeding van 100 V (rms), 50 Hz. Vind de effectieve stroom I.

V = 100 V (rms)f = 50 HzR = 100 ΩC = 22 µF

I = A

4.Wisselstroomimpedantie en fasorenMoeilijk

Een weerstand R₁ staat in serie met een parallelschakeling van R₂ en een condensator C, aangesloten op een voeding van 120 V (rms), 60 Hz. Vind de grootte van de impedantie |Z|.

V = 120 V (rms)f = 60 HzR₁ = 15 ΩR₂ = 150 ΩC = 47 µF

|Z| = Ω

5.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactorGemiddeld

Een eenfasige motor neemt 24 kW op bij een inductieve arbeidsfactor van 0,75 uit een voeding van 240 V. Vind de lijnstroom I.

P = 24 kWpf = 0,75V = 240 V

I = A

6.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactorMoeilijk

Een eenfasige transformator van 150 kVA voedt een belasting van 49 kW met een inductieve arbeidsfactor van 0,8. Hoeveel extra werkelijk vermogen ΔP kan er als resistieve belasting (arbeidsfactor 1) worden bijgeplaatst voordat de transformator zijn nominale kVA bereikt?

S_max = 150 kVAP₁ = 49 kWpf₁ = 0,8

ΔP = kW

7.LC-resonantie, Q-factor en bandbreedteGemiddeld

Een serie-RLC-schakeling heeft R = 220 Ω, L = 100 µH en C = 470 pF. Bepaal zijn bandbreedte BW in kHz.

R = 220 ΩL = 100 µHC = 470 pF

BW = kHz

8.LC-resonantie, Q-factor en bandbreedteMoeilijk

De halfvermogensfrequenties van een resonantiekromme zijn 400 kHz en 640 kHz. Bepaal de resonantiefrequentie als hun meetkundig gemiddelde, en daarna de kwaliteitsfactor Q.

f₁ = 400 kHzf₂ = 640 kHz

Q =

9.DraaistroomvermogenGemiddeld

Een driefasige inductiemotor levert bij vollast 18,5 kW mechanisch vermogen. Bij deze belasting is het rendement 93% en de arbeidsfactor 0,86 inductief. Het net heeft een lijnspanning van 415 V. Vind de lijnstroom I_L.

P_out = 18,5 kWη = 93%cos φ = 0,86V_L = 415 V

I_L = A

10.DraaistroomvermogenMoeilijk

Een symmetrische driefasige belasting neemt 200 kW op bij een inductieve arbeidsfactor van 0,7 uit een net van 480 V (lijnspanning), 60 Hz. Een driefasige condensatorbank parallel aan de belasting moet de totale arbeidsfactor verhogen tot 0,95 inductief. Het werkelijk vermogen blijft gelijk. De condensatoren zijn in driehoek geschakeld. Vind de capaciteit C_ph van elke condensator in µF.

P = 200 kWpf₁ = 0,7pf₂ = 0,95V_L = 480 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

11.RC- en RL-schakelverschijnselenGemiddeld

De spoel voert een constante stroom van 2,5 A. Op t = 0 sluit de schakelaar de kring via R en wordt de bron verwijderd, zodat de spoelstroom via R uitdooft. Vind de stroom i op t = 1 ms.

i(0) = 2,5 AR = 100 ΩL = 33 mHt = 1 ms

i = A

12.RC- en RL-schakelverschijnselenMoeilijk

Vlak voordat de schakelaar op t = 0 sluit, staat er 15 V over de condensator met de aangegeven polariteit. Vind de condensatorspanning v_C op t = 30 ms.

V_s = 10 VR = 6,8 kΩC = 10 µFv_C(0) = 15 Vt = 30 ms

v_C = V

13.Thévenin en NortonGemiddeld

Vind de Thévenin-weerstand R_th gezien vanaf de klemmen a–b.

V₁ = 12 VR₁ = 3 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 12 Ω

R_th = Ω

14.Thévenin en NortonMoeilijk

Een belasting R_L = 8 Ω is aangesloten over a–b. Vervang de rest van de schakeling door het Thévenin-equivalent en vind de belastingsstroom I_L.

V₁ = 24 VI_s = 0,5 AR₁ = 6 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 2 ΩR_L = 8 Ω

I_L = A

15.Bodediagrammen en margesGemiddeld

Het getoonde RL-laagdoorlaatfilter heeft R = 47 Ω, L = 100 mH. Er wordt een sinusvormige ingang van 370 Hz aangelegd. Bepaal de faseverschuiving φ van v_out ten opzichte van v_in, in graden.

R = 47 ΩL = 100 mHf = 370 Hz

φ = °

16.Bodediagrammen en margesMoeilijk

Een lus met eenheidsterugkoppeling heeft de open-lus-overdrachtsfunctie L(s) = 24/(s(s + 4)(s + 6)). Bepaal de versterkingsmarge GM in dB.

L(s) = 24/(s(s + 4)(s + 6))

GM = dB

3Oplossingen

1.Complexe getallen

Antwoord: b = 3,637

Poolvorm: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, met r = |z| en θ = arg z. Terug naar de rechthoekige vorm: a = r cos θ, b = r sin θ. Voor het argument is het kwadrant nodig: θ = atan(b/a) alleen als a > 0; voor a < 0 tel je 180° op of trek je 180° af. In poolvorm is vermenigvuldigen eenvoudig: vermenigvuldig de moduli en tel de argumenten op; bij delen deel je de moduli en trek je de argumenten af.

Formule van Euler

z = 4·(cos 2 + j sin 2)

Componenten (radialen)

a = 4·cos 2 = −1,665

b = 4·sin 2 = 3,637

b = 3,637

Antwoord

b = 3,637

2.Complexe getallen

Antwoord: Im(z⁹) = 16

De Moivre en wortels: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. De vergelijking zⁿ = R∠φ heeft precies n wortels, allemaal met modulus R^1/n, bij de argumenten (φ + 360°·k)/n voor k = 0, 1, …, n − 1: ze liggen gelijkmatig verdeeld op een cirkel, 360°/n uit elkaar. Een kwadratische vergelijking z² + pz + q = 0 met p² < 4q heeft de complexe wortels z = −p/2 ± j√(q − p²/4); een polynoom met reële coëfficiënten heeft zijn complexe wortels altijd in geconjugeerde paren a ± jb.

Poolvorm

z = −1 + j = √2∠135°

De Moivre

z⁹ = (√2)⁹∠1215° = 22,63∠135°

Rechthoekige vorm

z⁹ = 22,63·(cos 135° + j sin 135°) = −16 + j16

Im(z⁹) = 16

Antwoord

Im(z⁹) = 16

3.Wisselstroomimpedantie en fasoren

Antwoord: I = 1,216 A

Wisselstroom met fasoren: weerstanden, spoelen en condensatoren hebben impedanties R, jωL en 1/(jωC), met ω = 2πf. In serie tellen impedanties op zoals weerstanden, maar dan als complexe getallen. Effectieve stroom en spanning volgen de wet van Ohm met |Z|.

Reactantie

X_C = 1/(ωC) = 1/(2π·50·22·10⁻⁶) = 144,7 Ω

Takstromen

Beide takken zijn rechtstreeks op de voeding aangesloten, dus elke tak krijgt de volle spanning V.

I_R = V/R = 100/100 = 1 A

I_X = V/X_C = 100/144,7 = 0,6912 A

Totale stroom

De stroom door de weerstand is in fase met V en de reactieve stroom is 90° uit fase, dus ze tellen op als de zijden van een rechthoekige driehoek.

I = √(I_R² + I_X²) = √(1² + 0,6912²) = 1,216 A

Antwoord

I = 1,216 A

4.Wisselstroomimpedantie en fasoren

Antwoord: |Z| = 59,78 Ω

Reactantie

X_C = 1/(2π·60·47·10⁻⁶) = 56,44 Ω

Parallelschakeling

Vermenigvuldig teller en noemer met de complex geconjugeerde om Z_p te splitsen in een reëel en een imaginair deel.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 18,6 − j49,44 Ω

Totale impedantie

Z = 15 + 18,6 − j49,44 = 33,6 − j49,44 Ω

|Z| = √(33,6² + 49,44²) = 59,78 Ω

Antwoord

|Z| = 59,78 Ω

5.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor

Antwoord: I = 133,3 A

Wisselstroomvermogen: het schijnbaar vermogen S = V·I (VA) splitst zich in werkelijk vermogen P = S·cos φ (W), dat nuttig werk doet, en blindvermogen Q = S·sin φ (var), dat heen en weer gaat tussen bron en belasting. De arbeidsfactor is cos φ. Een condensator parallel levert blindvermogen ter plaatse, dus de lijnstroom daalt bij hetzelfde werkelijk vermogen.

Lijnstroom

Alleen het werkelijke deel van het vermogen doet werk, dus deel door de arbeidsfactor.

I = P/(V·cos φ) = 24000/(240·0,75) = 133,3 A

Antwoord

I = 133,3 A

6.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor

Antwoord: ΔP = 96,43 kW

Blindvermogen van de bestaande belasting

Q₁ = 49·tan(arccos 0,8) = 36,75 kvar

Grootste totale werkelijk vermogen

Bij volle belasting is S = S_max, en Q verandert niet door de resistieve belasting.

P = √(S_max² − Q₁²) = √(150² − 36,75²) = 145,4 kW

Extra werkelijk vermogen

ΔP = 145,4 − 49 = 96,43 kW

Antwoord

ΔP = 96,43 kW

7.LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte

Antwoord: BW = 350,1 kHz

Q-factor en bandbreedte: in een resonantiekring is Q = 2π·(opgeslagen energie)/(verloren energie per periode). Voor serie-RLC is Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C); voor parallel-RLC is Q = R/(ω₀L) = R√(C/L). De bandbreedte tussen de halfvermogensfrequenties f₁ en f₂ (waar het vermogen de helft is en de stroom of spanning 1/√2 van de piekwaarde) is BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, dat is R/(2πL) in serie en 1/(2πRC) parallel. De resonantiefrequentie is het meetkundig gemiddelde f₀ = √(f₁f₂), en f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Verliezen laten de trilling ook uitdoven: in serie-RLC neemt de amplitude af als e^−Rt/(2L).

Bandbreedte in rad/s

R/L = 220/1 × 10⁻⁴ = 2,2 × 10⁶ rad/s

Bandbreedte in Hz

BW = 2,2 × 10⁶/(2π) = 350141 Hz = 350,1 kHz

Antwoord

BW = 350,1 kHz

Met f₀ = 734,1 kHz geeft dit Q = 2,097.

8.LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte

Antwoord: Q = 2,108

Resonantiefrequentie

f₀ = √(400000·640000) = 505964 Hz

Bandbreedte

BW = 640000 − 400000 = 240000 Hz

Kwaliteitsfactor

Q = 505964/240000 = 2,108

Antwoord

Q = 2,108

9.Draaistroomvermogen

Antwoord: I_L = 32,18 A

Opgenomen elektrisch vermogen

P_in = P_out/η = 18,5/0,93 = 19,89 kW

Lijnstroom

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 19892/(√3·415·0,86) = 32,18 A

Antwoord

I_L = 32,18 A

10.Draaistroomvermogen

Antwoord: C_ph = 530,8 µF

Symmetrische draaistroomsystemen: in een Y-schakeling (ster) is de lijnspanning √3 keer de fasespanning, V_L = √3·V_ph, en is de lijnstroom gelijk aan de fasestroom. In een Δ-schakeling (driehoek) is de lijnspanning gelijk aan de fasespanning en is de lijnstroom √3 keer de fasestroom, I_L = √3·I_ph. Het totale vermogen is drie keer het vermogen van één fase: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Arbeidsfactorcompensatie: condensatoren leveren blindvermogen ter plaatse, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Elk van de drie condensatoren levert Q_C/3 = V²·ω·C, waarbij V de spanning over die condensator is: V_L in een driehoeksbank, V_L/√3 in een sterbank.

Blindvermogen voor en na

Het werkelijk vermogen verandert niet, dus elke arbeidsfactor legt het blindvermogen vast: Q = P·tan φ.

Q₁ = 200·tan(acos 0,7) = 200·1,02 = 204 kvar

Q₂ = 200·tan(acos 0,95) = 200·0,3287 = 65,74 kvar

Blindvermogen van de condensatoren

Q_C = Q₁ − Q₂ = 138,3 kvar

Capaciteit per fase

In een driehoeksbank is elke condensator aangesloten tussen twee lijnen.

V = 480 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 46101/(377·480²) = 530,8 µF

Antwoord

C_ph = 530,8 µF

11.RC- en RL-schakelverschijnselen

Antwoord: i = 0,1208 A

Eerste-orde schakelverschijnselen: in een schakeling met één condensator of één spoel gaat elke spanning en stroom exponentieel van de beginwaarde naar de eindwaarde: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, met τ = RC of τ = L/R. Na ongeveer 5τ is de schakeling uitgeslingerd.

Tijdconstante

τ = L/R = 33 mH / 100 Ω = 0,33 ms

Afname van de stroom

i(t) = 2,5·e^−1/0,33 = 0,1208 A

Antwoord

i = 0,1208 A

12.RC- en RL-schakelverschijnselen

Antwoord: v_C = 13,22 V

Beginwaarde, eindwaarde, tijdconstante

De condensatorspanning kan niet verspringen, dus begint ze bij de opgeslagen waarde en gaat ze naar de bronspanning.

v_C(0) = 15 V, v_C(∞) = V_s = 10 V

τ = R·C = 6,8 kΩ · 10 µF = 68 ms

v_C(t) = 10 + (15 − 10)·e^−t/τ

Spanning op het gegeven tijdstip

v_C(30) = 10 + (5)·e^−30/68 = 13,22 V

Antwoord

v_C = 13,22 V

13.Thévenin en Norton

Antwoord: R_th = 13,2 Ω

Stelling van Thévenin: elk lineair tweepoolnetwerk gedraagt zich als één spanningsbron V_th in serie met een weerstand R_th. De stelling van Norton geeft hetzelfde netwerk als een stroombron I_N = V_th/R_th parallel aan R_th.

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vervang spanningsbronnen door kortsluitingen en stroombronnen door open circuits, en kijk dan vanaf a–b de schakeling in.

R₁ ∥ R₂ = 3·2/(3+2) = 1,2 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1,2 + 12 = 13,2 Ω

14.Thévenin en Norton

Antwoord: I_L = 1,357 A

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vervang spanningsbronnen door kortsluitingen en stroombronnen door open circuits, en kijk dan vanaf a–b de schakeling in.

R₁ ∥ R₂ = 6·12/(6+12) = 4 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4 + 2 = 6 Ω

Vind V_th, de openklemspanning

Met a–b open is het enige pad voor Iₛ via R₃ naar knooppunt A. Vind V_A met superpositie van V₁ en Iₛ, en tel dan de spanningsval over R₃ erbij op.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 16 + 0,5·4 = 18 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 18 + 0,5·2 = 19 V

Sluit de belasting aan op het Thévenin-equivalent

De Thévenin-bron en R_th in serie gedragen zich bij a–b precies als de oorspronkelijke schakeling, dus de belasting ziet een eenvoudige serielus.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 19/(6 + 8) = 1,357 A

15.Bodediagrammen en marges

Antwoord: φ = −78,57 °

Frequentierespons: substitueer s = jω in de overdrachtsfunctie. De grootte in decibel is 20·log₁₀|H(jω)| en de fase is de som van de hoeken van de tellerfactoren min die van de noemerfactoren. Een eerste-orde RC- of RL-filter heeft zijn kantelfrequentie (−3 dB) bij ω_c = 1/(RC) of R/L, en f_c = ω_c/(2π); een laagdoorlaatfilter geeft |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) en φ = −atan(ω/ω_c). In het asymptotische (rechte-lijn-)Bodediagram buigt elke pool de grootte met 20 dB/decade omlaag bij zijn kantelfrequentie, buigt elk nulpunt haar met 20 dB/decade omhoog, en geeft een integrator 1/s −20 dB/decade bij alle frequenties. Versterkingsdoorsnijding ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); fasemarge PM = 180° + ∠L(jω_c). Faseomslag ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; versterkingsmarge GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. De gesloten lus is stabiel als beide marges positief zijn.

Kantelfrequentie

ω_c = R/L = 47/0,1 = 470 rad/s

f_c = 74,8 Hz → f/f_c = 370/74,8 = 4,946

Fase

φ = − atan(4,946) = −78,57°

Antwoord

φ = −78,57°

16.Bodediagrammen en marges

Antwoord: GM = 20 dB

Faseomslag

(ω/4)·(ω/6) = 1 → ω₁₈₀ = √(4·6) = 4,899 rad/s

Grootte bij de faseomslag

|L(jω₁₈₀)| = K/(ω·√(ω² + 16)·√(ω² + 36)) = K/(4·6·(4 + 6)) = K/240

Versterkingsmarge

GM = 20·log₁₀(240/24) = 20 dB

Antwoord

GM = 20 dB

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

Netwerkanalyse 2: wisselstroomschakelingen: samenvattingspakket

1Formules en methoden

Complexe getallen

Methode

Wisselstroomimpedantie en fasoren

Methode

Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor

LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte

Methode

Draaistroomvermogen

RC- en RL-schakelverschijnselen

Methode

Thévenin en Norton

Methode

2Oefenopgaven

3Oplossingen

Formule van Euler

Componenten (radialen)

Antwoord

Poolvorm

De Moivre

Rechthoekige vorm

Antwoord

Reactantie

Takstromen

Totale stroom

Antwoord

Reactantie

Parallelschakeling

Totale impedantie

Antwoord

Lijnstroom

Antwoord

Blindvermogen van de bestaande belasting

Grootste totale werkelijk vermogen

Extra werkelijk vermogen

Antwoord

Bandbreedte in rad/s

Bandbreedte in Hz

Antwoord

Resonantiefrequentie

Bandbreedte

Kwaliteitsfactor

Antwoord

Opgenomen elektrisch vermogen

Lijnstroom

Antwoord

Blindvermogen voor en na

Blindvermogen van de condensatoren

Capaciteit per fase

Antwoord

Tijdconstante

Afname van de stroom

Antwoord

Beginwaarde, eindwaarde, tijdconstante

Spanning op het gegeven tijdstip

Antwoord

Vind Rth met alle bronnen uitgeschakeld

Vind Rth met alle bronnen uitgeschakeld

Vind Vth, de openklemspanning

Sluit de belasting aan op het Thévenin-equivalent

Kantelfrequentie

Fase

Antwoord

Faseomslag

Grootte bij de faseomslag

Versterkingsmarge

Antwoord

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vind V_th, de openklemspanning