Netwerkanalyse 2: wisselstroomschakelingen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 16 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Complexe getallen

Rechthoekige vorm: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Modulus en argument: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Poolvorm en exponentiële vorm: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Deling: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Product en quotiënt: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
De Moivre: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n-de machtswortels: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Kwadratische vergelijking met p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Methode

Bepaal welke vorm bij de bewerking past: rechthoekig a + jb voor optellen en aftrekken, pool r∠θ voor vermenigvuldigen, delen, machten en wortels.
Werk uit met j² = −1; deel door teller en noemer te vermenigvuldigen met de geconjugeerde van de noemer.
Reken om met r = √(a² + b²) en θ uit een schets van het punt (controleer het kwadrant), en terug met a = r cos θ, b = r sin θ.
Gebruik voor machten De Moivre, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; noteer voor zⁿ = R∠φ alle n wortels R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Wisselstroomimpedantie en fasoren

Impedanties: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Hoekfrequentie: ω = 2πf
Modulus en hoek: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Wet van Ohm met fasoren: V = I·Z

Methode

Reken de frequentie om: ω = 2πf.
Bereken elke reactantie: X_L = ωL en X_C = 1/(ωC).
Tel impedanties op zoals weerstanden, met Z = R + jX.
Bereken de grootte |Z| = √(R² + X²) en de hoek φ = atan(X/R), en gebruik daarna de wet van Ohm met fasoren.

Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor

Werkelijk vermogen: P = V·I·cos φ
Blindvermogen: Q = V·I·sin φ
Schijnbaar vermogen: S = V·I = √(P² + Q²)
Arbeidsfactor: pf = cos φ = P/S
Compensatiecondensator: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte

Eigenfrequentie: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
Energie: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
Piekstroom: I_max = V₀√(C/L)
Kwaliteitsfactor: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
Serie-RLC: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
Parallel-RLC: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
Bandbreedte: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
Halfvermogensfrequenties: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
Tank met spoelweerstand r: R_D = L/(C·r) = Q²·r
Afname van de amplitude: e^−Rt/(2L)

Methode

Zoek eerst de resonantiefrequentie: ω₀ = 1/√(LC) en f₀ = ω₀/(2π).
Bepaal of de schakeling serie of parallel is: serie Q = (1/R)√(L/C), parallel Q = R√(C/L).
Gebruik BW = f₀/Q voor de bandbreedte, of de snelle formules R/(2πL) (serie) en 1/(2πRC) (parallel).
Gebruik bij energievragen dat de totale energie ½CV₀² in een ideale LC-schakeling constant blijft en elke kwartperiode heen en weer gaat tussen C en L.

Draaistroomvermogen

Sterschakeling (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Driehoekschakeling (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Totaal werkelijk vermogen: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Schijnbaar vermogen en blindvermogen: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Compensatiecondensatoren: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Spanning over elke condensator: Δ: V_L Y: V_L/√3
Opgenomen motorvermogen: P_in = P_out/η

RC- en RL-schakelverschijnselen

Tijdconstante: τ = RC | τ = L/R
Respons: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Condensator bij gelijkstroom: open klemmen; v_C kan niet verspringen
Spoel bij gelijkstroom: kortsluiting; i_L kan niet verspringen
Eindtoestand: t ≈ 5τ

Methode

Bepaal de beginwaarde vlak na het schakelen: een condensatorspanning en een spoelstroom kunnen niet verspringen.
Bepaal de eindwaarde lang na het schakelen: een condensator gedraagt zich als een open keten, een spoel als een kortsluiting.
Bepaal de tijdconstante: τ = RC of τ = L/R, met de weerstand die de condensator of spoel ziet.
Gebruik x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Thévenin en Norton

Thévenin-spanning: V_th = V_{open circuit}
Thévenin-weerstand: R_th: alle bronnen uit, gezien vanaf a–b
Norton-stroom: I_N = V_th/R_th
Belastingsstroom: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Maximale vermogensoverdracht: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Methode

Haal de belasting weg en markeer de twee klemmen a en b.
Bepaal de openklemspanning tussen a en b: dit is V_th.
Schakel alle onafhankelijke bronnen uit en bepaal de weerstand gezien vanaf a–b: dit is R_th.
Zet de belasting terug op het vervangingsschema: V_th in serie met R_th.
Reken voor het Norton-equivalent om: I_N = V_th/R_th, met R_N = R_th parallel.

2Oefenopgaven

1.Complexe getallenGemiddeld

Gegeven z₁ = 2,5∠−60° en z₂ = 3∠20°, bepaal het reële deel van w = z₁·z₂.

z₁ = 2,5∠−60°z₂ = 3∠20°

Re(w) =

2.Complexe getallenMoeilijk

Precies één van de punten A–D is een wortel van z⁴ = 81∠180°. Klik erop.

w = 81∠180°n = 4

1A (3∠180°)
2B (5,4∠−135°)
3C (3∠−135°)
4D (3∠−90°)

3.Wisselstroomimpedantie en fasorenGemiddeld

Een serie-RLC-schakeling is aangesloten op een voeding van 100 V (rms), 500 Hz. Vind de effectieve stroom I.

V = 100 V (rms)f = 500 HzR = 60 ΩL = 50 mHC = 100 µF

I = A

4.Wisselstroomimpedantie en fasorenMoeilijk

Een weerstand R₁ staat in serie met een parallelschakeling van R₂ en een condensator C, aangesloten op een voeding van 50 V (rms), 500 Hz. Vind de grootte van de impedantie |Z|.

V = 50 V (rms)f = 500 HzR₁ = 30 ΩR₂ = 60 ΩC = 4,7 µF

|Z| = Ω

5.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactorGemiddeld

Een eenfasige motor neemt 39 kW op bij een inductieve arbeidsfactor van 0,65 uit een voeding van 230 V. Vind het blindvermogen Q dat hij opneemt.

P = 39 kWpf = 0,65V = 230 V

Q = kvar

6.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactorMoeilijk

Een eenfasige belasting neemt 27 kW op met een inductieve arbeidsfactor van 0,8 uit een voeding van 400 V, 50 Hz. Parallel aan de belasting wordt een condensator van 150 µF aangesloten. Vind de nieuwe lijnstroom I.

P = 27 kWpf₁ = 0,8V = 400 Vf = 50 HzC = 150 µF

I = A

7.LC-resonantie, Q-factor en bandbreedteGemiddeld

Een condensator van 47 nF, opgeladen tot 24 V, oscilleert met een ideale spoel van 100 mH. Bepaal de energie W_L die in de spoel is opgeslagen op het moment dat de condensatorspanning 9,6 V is, in µJ.

C = 47 nFV₀ = 24 Vv_C = 9,6 V

W_L = µJ

8.LC-resonantie, Q-factor en bandbreedteMoeilijk

Ontwerp een serie-RLC-filter met een totale weerstand van 10 Ω, een resonantiefrequentie van 100 kHz en een bandbreedte van 2 kHz. Bepaal de capaciteit C in nF.

R = 10 Ωf₀ = 100 kHzBW = 2 kHz

C = nF

9.DraaistroomvermogenGemiddeld

Een symmetrische, in ster geschakelde belasting met een impedantie van 15 + j20 Ω per fase is aangesloten op een symmetrisch draaistroomnet met een lijnspanning van 415 V. Vind het totale werkelijk vermogen P dat de belasting opneemt, in kW.

V_L = 415 VZ = 15 + j20 Ω per fase

P = kW

10.DraaistroomvermogenMoeilijk

Een symmetrische driefasige belasting neemt 75 kW op bij een inductieve arbeidsfactor van 0,72 uit een net van 480 V (lijnspanning), 50 Hz. Een driefasige condensatorbank parallel aan de belasting moet de totale arbeidsfactor verhogen tot 0,98 inductief. Het werkelijk vermogen blijft gelijk. De condensatoren zijn in ster geschakeld. Vind de capaciteit C_ph van elke condensator in µF.

P = 75 kWpf₁ = 0,72pf₂ = 0,98V_L = 480 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

11.RC- en RL-schakelverschijnselenGemiddeld

De spoel voert geen stroom voordat de schakelaar op t = 0 sluit. Vind de energie W die op t = 10 ms in de spoel is opgeslagen, in mJ.

V_s = 6 VR = 5 ΩL = 22 mHt = 10 ms

W = mJ

12.RC- en RL-schakelverschijnselenMoeilijk

Vlak voordat de schakelaar op t = 0 sluit, staat er 8 V over de condensator met de aangegeven polariteit. Hoe lang duurt het voordat v_C 17,6 V bereikt? Vind t.

V_s = 24 VR = 10 kΩC = 47 µFv_C(0) = 8 V

t = ms

13.Thévenin en NortonGemiddeld

Vind de Thévenin-weerstand R_th gezien vanaf de klemmen a–b.

V₁ = 12 VR₁ = 12 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 12 Ω

R_th = Ω

14.Thévenin en NortonMoeilijk

Vind de Norton-stroom I_N: de stroom die van a naar b loopt als de klemmen kortgesloten zijn.

V₁ = 9 VI_s = 0,5 AR₁ = 2 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 15 Ω

I_N = A

15.Bodediagrammen en margesGemiddeld

Bepaal de fase ∠G(jω) van G(s) = 36(s + 14)/(s(s + 2)) bij ω = 5 rad/s, in graden.

G(s) = 36(s + 14)/(s(s + 2))ω = 5 rad/s

∠G(jω) = °

16.Bodediagrammen en margesMoeilijk

Een lus met eenheidsterugkoppeling heeft de open-lus-overdrachtsfunctie L(s) = 122/(s(s + 8)(s + 9)). Bepaal de versterkingsmarge GM in dB.

L(s) = 122/(s(s + 8)(s + 9))

GM = dB

3Oplossingen

1.Complexe getallen

Antwoord: Re(w) = 5,745

Poolvorm: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, met r = |z| en θ = arg z. Terug naar de rechthoekige vorm: a = r cos θ, b = r sin θ. Voor het argument is het kwadrant nodig: θ = atan(b/a) alleen als a > 0; voor a < 0 tel je 180° op of trek je 180° af. In poolvorm is vermenigvuldigen eenvoudig: vermenigvuldig de moduli en tel de argumenten op; bij delen deel je de moduli en trek je de argumenten af.

Modulus en argument van w

|w| = 2,5 · 3 = 7,5

θ = −60° + 20° = −40°

Rechthoekige vorm

Re(w) = 7,5·cos(−40°) = 5,745

Im(w) = 7,5·sin(−40°) = −4,821

Re(w) = 5,745

Antwoord

Re(w) = 5,745

2.Complexe getallen

Antwoord: C (3∠−135°)

De Moivre en wortels: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. De vergelijking zⁿ = R∠φ heeft precies n wortels, allemaal met modulus R^1/n, bij de argumenten (φ + 360°·k)/n voor k = 0, 1, …, n − 1: ze liggen gelijkmatig verdeeld op een cirkel, 360°/n uit elkaar. Een kwadratische vergelijking z² + pz + q = 0 met p² < 4q heeft de complexe wortels z = −p/2 ± j√(q − p²/4); een polynoom met reële coëfficiënten heeft zijn complexe wortels altijd in geconjugeerde paren a ± jb.

Modulus en argumenten van de wortels

|z| = 3

θ = 45°, 135°, −135°, −45°

Het punt

C = 3∠−135°

Antwoord

C (3∠−135°)

3.Wisselstroomimpedantie en fasoren

Antwoord: I = 0,6054 A

Wisselstroom met fasoren: weerstanden, spoelen en condensatoren hebben impedanties R, jωL en 1/(jωC), met ω = 2πf. In serie tellen impedanties op zoals weerstanden, maar dan als complexe getallen. Effectieve stroom en spanning volgen de wet van Ohm met |Z|.

Reactanties

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,05 = 157,1 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·100·10⁻⁶) = 3,183 Ω

Impedantie

In serie tellen impedanties op als complexe getallen: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(60² + (153,9)²) = 165,2 Ω

Stroom

Door elk element van een serieschakeling loopt dezelfde stroom.

I = V/|Z| = 100/165,2 = 0,6054 A

Antwoord

I = 0,6054 A

4.Wisselstroomimpedantie en fasoren

Antwoord: |Z| = 70,24 Ω

Reactantie

X_C = 1/(2π·500·4,7·10⁻⁶) = 67,73 Ω

Parallelschakeling

Vermenigvuldig teller en noemer met de complex geconjugeerde om Z_p te splitsen in een reëel en een imaginair deel.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 33,62 − j29,78 Ω

Totale impedantie

Z = 30 + 33,62 − j29,78 = 63,62 − j29,78 Ω

|Z| = √(63,62² + 29,78²) = 70,24 Ω

Antwoord

|Z| = 70,24 Ω

5.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor

Antwoord: Q = 45,6 kvar

Wisselstroomvermogen: het schijnbaar vermogen S = V·I (VA) splitst zich in werkelijk vermogen P = S·cos φ (W), dat nuttig werk doet, en blindvermogen Q = S·sin φ (var), dat heen en weer gaat tussen bron en belasting. De arbeidsfactor is cos φ. Een condensator parallel levert blindvermogen ter plaatse, dus de lijnstroom daalt bij hetzelfde werkelijk vermogen.

Hoek

φ = arccos(0,65) = 49,46°, tan φ = 1,169

Blindvermogen

Q = P·tan φ = 39·1,169 = 45,6 kvar

Antwoord

Q = 45,6 kvar

6.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor

Antwoord: I = 74,61 A

Blindvermogen voor en na

Het werkelijk vermogen P verandert niet; alleen het blindvermogen uit het net verandert.

Q₁ = 27·tan(arccos 0,8) = 20,25 kvar

Q_C = V²·2πf·C = 400²·2π·50·150·10⁻⁶ = 7540 var = 7,54 kvar

Q₂ = 20,25 − 7,54 = 12,71 kvar

Nieuw schijnbaar vermogen

S₂ = √(27² + 12,71²) = 29,84 kVA

Nieuwe lijnstroom

I = S₂/V = 29842/400 = 74,61 A

Antwoord

I = 74,61 A

7.LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte

Antwoord: W_L = 11,37 µJ

LC-resonantie: een opgeladen condensator die op een spoel is aangesloten drijft een stroom die hem de andere kant op oplaadt: de energie pendelt tussen het elektrische veld van C (½Cv²) en het magnetische veld van L (½Li²) met de eigenfrequentie f₀ = 1/(2π√(LC)). Zonder weerstand blijft de totale energie ½CV₀² constant, dus de piekstroom is I_max = V₀√(C/L). Eén periode is T = 1/f₀; de energie gaat in een kwart ervan van C naar L.

Totale energie

½·4,7 × 10⁻⁸·24² = 1,354 × 10⁻⁵ J

Energie die in de condensator overblijft

½·4,7 × 10⁻⁸·9,6² = 2,166 × 10⁻⁶ J

Energie in de spoel

W_L = 1,137 × 10⁻⁵ J = 11,37 µJ

Antwoord

W_L = 11,37 µJ

8.LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte

Antwoord: C = 3,183 nF

Q-factor en bandbreedte: in een resonantiekring is Q = 2π·(opgeslagen energie)/(verloren energie per periode). Voor serie-RLC is Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C); voor parallel-RLC is Q = R/(ω₀L) = R√(C/L). De bandbreedte tussen de halfvermogensfrequenties f₁ en f₂ (waar het vermogen de helft is en de stroom of spanning 1/√2 van de piekwaarde) is BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, dat is R/(2πL) in serie en 1/(2πRC) parallel. De resonantiefrequentie is het meetkundig gemiddelde f₀ = √(f₁f₂), en f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Verliezen laten de trilling ook uitdoven: in serie-RLC neemt de amplitude af als e^−Rt/(2L).

Zelfinductie uit de bandbreedte

L = R/(2π·BW) = 10/(2π·2000) = 0,0007958 H

Capaciteit uit de resonantiefrequentie

C = 1/((2π·100000)²·0,0007958) = 3,183 × 10⁻⁹ F = 3,183 nF

Antwoord

C = 3,183 nF

Q = f₀/BW = 50.

9.Draaistroomvermogen

Antwoord: P = 4,133 kW

Fasespanning

V_ph = 415/√3 = 239,6 V

Fasestroom

|Z| = √(15² + 20²) = 25 Ω

I_ph = 239,6/25 = 9,584 A

Totaal werkelijk vermogen

Alleen het resistieve deel van elke impedantie neemt werkelijk vermogen op.

P = 3·I_ph²·R = 3·9,584²·15 = 4,133 kW

Antwoord

P = 4,133 kW

Controle: cos φ = R/|Z| = 0,6, en √3·V_L·I_L·cos φ geeft hetzelfde vermogen.

10.Draaistroomvermogen

Antwoord: C_ph = 788,3 µF

Symmetrische draaistroomsystemen: in een Y-schakeling (ster) is de lijnspanning √3 keer de fasespanning, V_L = √3·V_ph, en is de lijnstroom gelijk aan de fasestroom. In een Δ-schakeling (driehoek) is de lijnspanning gelijk aan de fasespanning en is de lijnstroom √3 keer de fasestroom, I_L = √3·I_ph. Het totale vermogen is drie keer het vermogen van één fase: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Arbeidsfactorcompensatie: condensatoren leveren blindvermogen ter plaatse, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Elk van de drie condensatoren levert Q_C/3 = V²·ω·C, waarbij V de spanning over die condensator is: V_L in een driehoeksbank, V_L/√3 in een sterbank.

Blindvermogen voor en na

Het werkelijk vermogen verandert niet, dus elke arbeidsfactor legt het blindvermogen vast: Q = P·tan φ.

Q₁ = 75·tan(acos 0,72) = 75·0,9639 = 72,29 kvar

Q₂ = 75·tan(acos 0,98) = 75·0,2031 = 15,23 kvar

Blindvermogen van de condensatoren

Q_C = Q₁ − Q₂ = 57,06 kvar

Capaciteit per fase

In een sterbank is elke condensator aangesloten tussen een lijn en het sterpunt.

V = 480/√3 = 277,1 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 19020/(314,2·277,1²) = 788,3 µF

Antwoord

C_ph = 788,3 µF

11.RC- en RL-schakelverschijnselen

Antwoord: W = 12,74 mJ

Eerste-orde schakelverschijnselen: in een schakeling met één condensator of één spoel gaat elke spanning en stroom exponentieel van de beginwaarde naar de eindwaarde: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, met τ = RC of τ = L/R. Na ongeveer 5τ is de schakeling uitgeslingerd.

Tijdconstante en eindstroom

Lang na het sluiten van de schakelaar gedraagt de spoel zich als een kortsluiting, dus de eindstroom wordt alleen door R bepaald.

τ = L/R = 22 mH / 5 Ω = 4,4 ms

i(∞) = V_s/R = 6/5 = 1,2 A

Stroom op het gegeven tijdstip

i(t) = 1,2·(1 − e^−10/4,4) = 1,076 A

Opgeslagen energie

W = ½·L·i² = ½·22·1,076² = 12,74 mJ

Antwoord

W = 12,74 mJ

12.RC- en RL-schakelverschijnselen

Antwoord: t = 430,7 ms

Beginwaarde, eindwaarde, tijdconstante

De condensatorspanning kan niet verspringen, dus begint ze bij de opgeslagen waarde en gaat ze naar de bronspanning.

v_C(0) = 8 V, v_C(∞) = V_s = 24 V

τ = R·C = 10 kΩ · 47 µF = 470 ms

v_C(t) = 24 + (8 − 24)·e^−t/τ

Los op naar de tijd

17,6 = 24 + (−16)·e^−t/τ → e^−t/τ = (17,6 − 24)/(8 − 24) = 0,4

t = τ·ln((8 − 24)/(17,6 − 24)) = 470·ln(2,5) = 430,7 ms

Antwoord

t = 430,7 ms

13.Thévenin en Norton

Antwoord: R_th = 18 Ω

Stelling van Thévenin: elk lineair tweepoolnetwerk gedraagt zich als één spanningsbron V_th in serie met een weerstand R_th. De stelling van Norton geeft hetzelfde netwerk als een stroombron I_N = V_th/R_th parallel aan R_th.

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vervang spanningsbronnen door kortsluitingen en stroombronnen door open circuits, en kijk dan vanaf a–b de schakeling in.

R₁ ∥ R₂ = 12·12/(12+12) = 6 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 6 + 12 = 18 Ω

14.Thévenin en Norton

Antwoord: I_N = 0,7813 A

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vervang spanningsbronnen door kortsluitingen en stroombronnen door open circuits, en kijk dan vanaf a–b de schakeling in.

R₁ ∥ R₂ = 2·2/(2+2) = 1 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1 + 15 = 16 Ω

Vind V_th, de openklemspanning

Met a–b open is het enige pad voor Iₛ via R₃ naar knooppunt A. Vind V_A met superpositie van V₁ en Iₛ, en tel dan de spanningsval over R₃ erbij op.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 4,5 + 0,5·1 = 5 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 5 + 0,5·15 = 12,5 V

Norton-equivalent

Een Norton-bron is dezelfde schakeling, gezien als een stroombron parallel aan R_th. De stroom is de kortsluitstroom tussen a–b.

I_N = V_th/R_th = 12,5/16 = 0,7813 A

15.Bodediagrammen en marges

Antwoord: ∠G(jω) = −138,5 °

Frequentierespons: substitueer s = jω in de overdrachtsfunctie. De grootte in decibel is 20·log₁₀|H(jω)| en de fase is de som van de hoeken van de tellerfactoren min die van de noemerfactoren. Een eerste-orde RC- of RL-filter heeft zijn kantelfrequentie (−3 dB) bij ω_c = 1/(RC) of R/L, en f_c = ω_c/(2π); een laagdoorlaatfilter geeft |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) en φ = −atan(ω/ω_c). In het asymptotische (rechte-lijn-)Bodediagram buigt elke pool de grootte met 20 dB/decade omlaag bij zijn kantelfrequentie, buigt elk nulpunt haar met 20 dB/decade omhoog, en geeft een integrator 1/s −20 dB/decade bij alle frequenties. Versterkingsdoorsnijding ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); fasemarge PM = 180° + ∠L(jω_c). Faseomslag ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; versterkingsmarge GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. De gesloten lus is stabiel als beide marges positief zijn.

Tel de hoeken op

∠G = atan(5/14) − 90° − atan(5/2) = 19,65° − 90° − 68,2°

Resultaat

∠G(j5) = −138,5°

Antwoord

∠G(jω) = −138,5°

16.Bodediagrammen en marges

Antwoord: GM = 20,03 dB

Faseomslag

(ω/8)·(ω/9) = 1 → ω₁₈₀ = √(8·9) = 8,485 rad/s

Grootte bij de faseomslag

|L(jω₁₈₀)| = K/(ω·√(ω² + 64)·√(ω² + 81)) = K/(8·9·(8 + 9)) = K/1224

Versterkingsmarge

GM = 20·log₁₀(1224/122) = 20,03 dB

Antwoord

GM = 20,03 dB

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

Netwerkanalyse 2: wisselstroomschakelingen: samenvattingspakket

1Formules en methoden

Complexe getallen

Methode

Wisselstroomimpedantie en fasoren

Methode

Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor

LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte

Methode

Draaistroomvermogen

RC- en RL-schakelverschijnselen

Methode

Thévenin en Norton

Methode

2Oefenopgaven

3Oplossingen

Modulus en argument van w

Rechthoekige vorm

Antwoord

Modulus en argumenten van de wortels

Het punt

Antwoord

Reactanties

Impedantie

Stroom

Antwoord

Reactantie

Parallelschakeling

Totale impedantie

Antwoord

Hoek

Blindvermogen

Antwoord

Blindvermogen voor en na

Nieuw schijnbaar vermogen

Nieuwe lijnstroom

Antwoord

Totale energie

Energie die in de condensator overblijft

Energie in de spoel

Antwoord

Zelfinductie uit de bandbreedte

Capaciteit uit de resonantiefrequentie

Antwoord

Fasespanning

Fasestroom

Totaal werkelijk vermogen

Antwoord

Blindvermogen voor en na

Blindvermogen van de condensatoren

Capaciteit per fase

Antwoord

Tijdconstante en eindstroom

Stroom op het gegeven tijdstip

Opgeslagen energie

Antwoord

Beginwaarde, eindwaarde, tijdconstante

Los op naar de tijd

Antwoord

Vind Rth met alle bronnen uitgeschakeld

Vind Rth met alle bronnen uitgeschakeld

Vind Vth, de openklemspanning

Norton-equivalent

Tel de hoeken op

Resultaat

Antwoord

Faseomslag

Grootte bij de faseomslag

Versterkingsmarge

Antwoord

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vind V_th, de openklemspanning