Netwerkanalyse 2: wisselstroomschakelingen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 16 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Complexe getallen

Rechthoekige vorm: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Modulus en argument: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Poolvorm en exponentiële vorm: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Deling: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Product en quotiënt: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
De Moivre: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n-de machtswortels: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Kwadratische vergelijking met p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Methode

Bepaal welke vorm bij de bewerking past: rechthoekig a + jb voor optellen en aftrekken, pool r∠θ voor vermenigvuldigen, delen, machten en wortels.
Werk uit met j² = −1; deel door teller en noemer te vermenigvuldigen met de geconjugeerde van de noemer.
Reken om met r = √(a² + b²) en θ uit een schets van het punt (controleer het kwadrant), en terug met a = r cos θ, b = r sin θ.
Gebruik voor machten De Moivre, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; noteer voor zⁿ = R∠φ alle n wortels R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Wisselstroomimpedantie en fasoren

Impedanties: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Hoekfrequentie: ω = 2πf
Modulus en hoek: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Wet van Ohm met fasoren: V = I·Z

Methode

Reken de frequentie om: ω = 2πf.
Bereken elke reactantie: X_L = ωL en X_C = 1/(ωC).
Tel impedanties op zoals weerstanden, met Z = R + jX.
Bereken de grootte |Z| = √(R² + X²) en de hoek φ = atan(X/R), en gebruik daarna de wet van Ohm met fasoren.

Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor

Werkelijk vermogen: P = V·I·cos φ
Blindvermogen: Q = V·I·sin φ
Schijnbaar vermogen: S = V·I = √(P² + Q²)
Arbeidsfactor: pf = cos φ = P/S
Compensatiecondensator: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte

Eigenfrequentie: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
Energie: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
Piekstroom: I_max = V₀√(C/L)
Kwaliteitsfactor: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
Serie-RLC: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
Parallel-RLC: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
Bandbreedte: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
Halfvermogensfrequenties: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
Tank met spoelweerstand r: R_D = L/(C·r) = Q²·r
Afname van de amplitude: e^−Rt/(2L)

Methode

Zoek eerst de resonantiefrequentie: ω₀ = 1/√(LC) en f₀ = ω₀/(2π).
Bepaal of de schakeling serie of parallel is: serie Q = (1/R)√(L/C), parallel Q = R√(C/L).
Gebruik BW = f₀/Q voor de bandbreedte, of de snelle formules R/(2πL) (serie) en 1/(2πRC) (parallel).
Gebruik bij energievragen dat de totale energie ½CV₀² in een ideale LC-schakeling constant blijft en elke kwartperiode heen en weer gaat tussen C en L.

Draaistroomvermogen

Sterschakeling (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Driehoekschakeling (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Totaal werkelijk vermogen: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Schijnbaar vermogen en blindvermogen: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Compensatiecondensatoren: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Spanning over elke condensator: Δ: V_L Y: V_L/√3
Opgenomen motorvermogen: P_in = P_out/η

RC- en RL-schakelverschijnselen

Tijdconstante: τ = RC | τ = L/R
Respons: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Condensator bij gelijkstroom: open klemmen; v_C kan niet verspringen
Spoel bij gelijkstroom: kortsluiting; i_L kan niet verspringen
Eindtoestand: t ≈ 5τ

Methode

Bepaal de beginwaarde vlak na het schakelen: een condensatorspanning en een spoelstroom kunnen niet verspringen.
Bepaal de eindwaarde lang na het schakelen: een condensator gedraagt zich als een open keten, een spoel als een kortsluiting.
Bepaal de tijdconstante: τ = RC of τ = L/R, met de weerstand die de condensator of spoel ziet.
Gebruik x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Thévenin en Norton

Thévenin-spanning: V_th = V_{open circuit}
Thévenin-weerstand: R_th: alle bronnen uit, gezien vanaf a–b
Norton-stroom: I_N = V_th/R_th
Belastingsstroom: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Maximale vermogensoverdracht: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Methode

Haal de belasting weg en markeer de twee klemmen a en b.
Bepaal de openklemspanning tussen a en b: dit is V_th.
Schakel alle onafhankelijke bronnen uit en bepaal de weerstand gezien vanaf a–b: dit is R_th.
Zet de belasting terug op het vervangingsschema: V_th in serie met R_th.
Reken voor het Norton-equivalent om: I_N = V_th/R_th, met R_N = R_th parallel.

2Oefenopgaven

1.Complexe getallenGemiddeld

Schrijf z = 10∠65° in rechthoekige vorm a + jb en geef het imaginaire deel b.

r = 10θ = 65°

b =

2.Complexe getallenMoeilijk

De wortels van zⁿ = w met n = 2 en w = 36∠−90° zijn z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0, 1. Bepaal het imaginaire deel van z₀.

w = 36∠−90°n = 2k = 0

Im(z₀) =

3.Wisselstroomimpedantie en fasorenGemiddeld

Een weerstand en een condensator zijn parallel aangesloten op een voeding van 24 V (rms), 100 Hz. Vind de fasehoek φ van de impedantie, in graden (positief als de stroom achterloopt op de spanning).

V = 24 V (rms)f = 100 HzR = 40 ΩC = 22 µF

φ = °

4.Wisselstroomimpedantie en fasorenMoeilijk

Een serie-RLC-schakeling is aangesloten op een voeding van 100 V (rms), 50 Hz. Vind de resonantiefrequentie f₀ van de schakeling.

V = 100 V (rms)f = 50 HzR = 25 ΩL = 200 mHC = 100 µF

f₀ = Hz

5.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactorGemiddeld

Een belasting met impedantie Z = 3 + j4 Ω is aangesloten op een eenfasige voeding van 230 V (rms). Vind het blindvermogen Q dat ze opneemt.

V = 230 VZ = 3 + j4 Ω

Q = var

6.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactorMoeilijk

Een bron van 12 V (rms), 1000 Hz heeft een inwendige impedantie Z_s = 50 + j15 Ω. De belastingsimpedantie Z_L kan vrij worden gekozen. De belasting voor maximaal vermogen bestaat uit een weerstand in serie met een condensator. Vind de capaciteit C.

V_s = 12 V (rms)f = 1000 HzZ_s = 50 + j15 Ω

C = µF

7.LC-resonantie, Q-factor en bandbreedteGemiddeld

Een serie-RLC-schakeling resoneert bij 5 kHz met Q = 2,5. Bepaal de onderste halfvermogensfrequentie f₁ exact, in kHz.

f₀ = 5 kHzQ = 2,5

f₁ = kHz

8.LC-resonantie, Q-factor en bandbreedteMoeilijk

Een parallelle kring bestaat uit een condensator van 470 pF en een spoel van 47 mH met een wikkelweerstand van 20 Ω. Bij resonantie gedraagt hij zich als een weerstand, zijn dynamische weerstand R_D = L/(C·r). Bepaal R_D in kΩ.

L = 47 mHC = 470 pFr = 20 Ω

R_D = kΩ

9.DraaistroomvermogenGemiddeld

Een symmetrische, in driehoek geschakelde belasting met een impedantie van 24 + j7 Ω per fase is aangesloten op een symmetrisch draaistroomnet met een lijnspanning van 480 V. Vind het totale werkelijk vermogen P dat de belasting opneemt, in kW.

V_L = 480 VZ = 24 + j7 Ω per fase

P = kW

10.DraaistroomvermogenMoeilijk

Een symmetrische driefasige belasting neemt 60 kW op bij een inductieve arbeidsfactor van 0,8 uit een net van 400 V (lijnspanning), 60 Hz. Een driefasige condensatorbank parallel aan de belasting moet de totale arbeidsfactor verhogen tot 0,92 inductief. Het werkelijk vermogen blijft gelijk. De condensatoren zijn in ster geschakeld. Vind de capaciteit C_ph van elke condensator in µF.

P = 60 kWpf₁ = 0,8pf₂ = 0,92V_L = 400 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

11.RC- en RL-schakelverschijnselenGemiddeld

De spoel voert geen stroom voordat de schakelaar op t = 0 sluit. Vind de energie W(∞) die in de spoel is opgeslagen als de schakeling tot rust is gekomen, in mJ.

V_s = 6 VR = 5 ΩL = 220 mH

W(∞) = mJ

12.RC- en RL-schakelverschijnselenMoeilijk

De schakelaar is al lang gesloten, dus de schakeling is in de stationaire toestand. Op t = 0 gaat de schakelaar open. Vind de condensatorspanning v_C op t = 750 ms.

V_s = 30 VR₁ = 6,8 kΩR₂ = 10 kΩC = 100 µFt = 750 ms

v_C = V

13.Thévenin en NortonGemiddeld

Vind de Norton-stroom I_N: de stroom die van a naar b loopt als de klemmen kortgesloten zijn.

V₁ = 24 VR₁ = 12 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 12 Ω

I_N = A

14.Thévenin en NortonMoeilijk

Vind de Norton-stroom I_N: de stroom die van a naar b loopt als de klemmen kortgesloten zijn.

V₁ = 36 VI_s = 1 AR₁ = 15 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 4 Ω

I_N = A

15.Bodediagrammen en margesGemiddeld

In het getoonde serie-RLC-banddoorlaatfilter staat de uitgang over R = 1 Ω, met L = 2 mH en C = 2,2 µF. Bepaal de kwaliteitsfactor Q.

R = 1 ΩL = 2 mHC = 2,2 µF

Q =

16.Bodediagrammen en margesMoeilijk

Een lus met eenheidsterugkoppeling heeft de open-lus-overdrachtsfunctie L(s) = K/(s(s + 3)(s + 5)). Bepaal de versterking K die een versterkingsmarge van 3 dB geeft.

L(s) = K/(s(s + 3)(s + 5))GM = 3 dB

K =

3Oplossingen

1.Complexe getallen

Antwoord: b = 9,063

Poolvorm: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, met r = |z| en θ = arg z. Terug naar de rechthoekige vorm: a = r cos θ, b = r sin θ. Voor het argument is het kwadrant nodig: θ = atan(b/a) alleen als a > 0; voor a < 0 tel je 180° op of trek je 180° af. In poolvorm is vermenigvuldigen eenvoudig: vermenigvuldig de moduli en tel de argumenten op; bij delen deel je de moduli en trek je de argumenten af.

Componenten

a = 10·cos(65°) = 4,226

b = 10·sin(65°) = 9,063

Rechthoekige vorm

z = 4,226 + j9,063

b = 9,063

Antwoord

b = 9,063

2.Complexe getallen

Antwoord: Im(z₀) = −4,243

De Moivre en wortels: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. De vergelijking zⁿ = R∠φ heeft precies n wortels, allemaal met modulus R^1/n, bij de argumenten (φ + 360°·k)/n voor k = 0, 1, …, n − 1: ze liggen gelijkmatig verdeeld op een cirkel, 360°/n uit elkaar. Een kwadratische vergelijking z² + pz + q = 0 met p² < 4q heeft de complexe wortels z = −p/2 ± j√(q − p²/4); een polynoom met reële coëfficiënten heeft zijn complexe wortels altijd in geconjugeerde paren a ± jb.

Modulus van de wortels

36^1/2 = 6

Argument van de wortel

θ₀ = (−90° + 360°·0)/2 = −45°

Rechthoekige vorm

z₀ = 6·(cos −45° + j sin −45°) = 4,243 − j4,243

Im(z₀) = −4,243

Antwoord

Im(z₀) = −4,243

De 2 wortels liggen op de cirkel met straal 6, 180° uit elkaar.

3.Wisselstroomimpedantie en fasoren

Antwoord: φ = −28,94 °

Wisselstroom met fasoren: weerstanden, spoelen en condensatoren hebben impedanties R, jωL en 1/(jωC), met ω = 2πf. In serie tellen impedanties op zoals weerstanden, maar dan als complexe getallen. Effectieve stroom en spanning volgen de wet van Ohm met |Z|.

Reactantie

X_C = 1/(ωC) = 1/(2π·100·22·10⁻⁶) = 72,34 Ω

Takstromen

Beide takken zijn rechtstreeks op de voeding aangesloten, dus elke tak krijgt de volle spanning V.

I_R = V/R = 24/40 = 0,6 A

I_X = V/X_C = 24/72,34 = 0,3318 A

Totale stroom

De stroom door de weerstand is in fase met V en de reactieve stroom is 90° uit fase, dus ze tellen op als de zijden van een rechthoekige driehoek.

I = √(I_R² + I_X²) = √(0,6² + 0,3318²) = 0,6856 A

Fasehoek

De condensatorstroom ijlt voor op V, dus de totale stroom ijlt voor en de hoek is negatief.

φ = −arctan(I_X/I_R) = −arctan(0,3318/0,6) = −28,94°

Antwoord

φ = −28,94°

4.Wisselstroomimpedantie en fasoren

Antwoord: f₀ = 35,59 Hz

Resonantie

Bij resonantie heffen de inductieve en capacitieve reactantie elkaar op: ωL = 1/(ωC). De voedingsfrequentie doet er niet toe.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,2·100·10⁻⁶)) = 35,59 Hz

Antwoord

f₀ = 35,59 Hz

5.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor

Antwoord: Q = 8464 var

Wisselstroomvermogen: het schijnbaar vermogen S = V·I (VA) splitst zich in werkelijk vermogen P = S·cos φ (W), dat nuttig werk doet, en blindvermogen Q = S·sin φ (var), dat heen en weer gaat tussen bron en belasting. De arbeidsfactor is cos φ. Een condensator parallel levert blindvermogen ter plaatse, dus de lijnstroom daalt bij hetzelfde werkelijk vermogen.

Stroom

|Z| = √(3² + 4²) = 5 Ω

I = V/|Z| = 230/5 = 46 A

Blindvermogen

Q = I²·X = 46²·4 = 8464 var

Antwoord

Q = 8464 var

6.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor

Antwoord: C = 10,61 µF

Complex geconjugeerde aanpassing

De reactantie van de belasting heft die van de bron op, en de belastingsweerstand is gelijk aan de bronweerstand.

Z_L = Z_s* = 50 − j15 Ω

Capaciteit

X_C = 15 Ω → C = 1/(2π·1000·15) = 10,61 µF

Antwoord

C = 10,61 µF

7.LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte

Antwoord: f₁ = 4,099 kHz

Q-factor en bandbreedte: in een resonantiekring is Q = 2π·(opgeslagen energie)/(verloren energie per periode). Voor serie-RLC is Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C); voor parallel-RLC is Q = R/(ω₀L) = R√(C/L). De bandbreedte tussen de halfvermogensfrequenties f₁ en f₂ (waar het vermogen de helft is en de stroom of spanning 1/√2 van de piekwaarde) is BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, dat is R/(2πL) in serie en 1/(2πRC) parallel. De resonantiefrequentie is het meetkundig gemiddelde f₀ = √(f₁f₂), en f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Verliezen laten de trilling ook uitdoven: in serie-RLC neemt de amplitude af als e^−Rt/(2L).

Wortelterm

√(1 + 1/(4·2,5²)) = 1,02

Onderste halfvermogensfrequentie

f₁ = 5000·(1,02 − 0,2) = 4099 Hz = 4,099 kHz

Antwoord

f₁ = 4,099 kHz

De bovenste is f₂ = 6,099 kHz; controle: f₂ − f₁ = 2 kHz = f₀/Q.

8.LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte

Antwoord: R_D = 5000 kΩ

Dynamische weerstand

R_D = 0,047/(4,7 × 10⁻¹⁰·20) = 5 × 10⁶ Ω = 5000 kΩ

Controle met Q

Q = (1/r)·√(L/C) = 500, Q²·r = 5 × 10⁶ Ω

Antwoord

R_D = 5000 kΩ

9.Draaistroomvermogen

Antwoord: P = 26,54 kW

Fasespanning

V_ph = V_L = 480 V

Fasestroom

|Z| = √(24² + 7²) = 25 Ω

I_ph = 480/25 = 19,2 A

Totaal werkelijk vermogen

Alleen het resistieve deel van elke impedantie neemt werkelijk vermogen op.

P = 3·I_ph²·R = 3·19,2²·24 = 26,54 kW

Antwoord

P = 26,54 kW

Controle: cos φ = R/|Z| = 0,96, en √3·V_L·I_L·cos φ geeft hetzelfde vermogen.

10.Draaistroomvermogen

Antwoord: C_ph = 322,3 µF

Symmetrische draaistroomsystemen: in een Y-schakeling (ster) is de lijnspanning √3 keer de fasespanning, V_L = √3·V_ph, en is de lijnstroom gelijk aan de fasestroom. In een Δ-schakeling (driehoek) is de lijnspanning gelijk aan de fasespanning en is de lijnstroom √3 keer de fasestroom, I_L = √3·I_ph. Het totale vermogen is drie keer het vermogen van één fase: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Arbeidsfactorcompensatie: condensatoren leveren blindvermogen ter plaatse, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Elk van de drie condensatoren levert Q_C/3 = V²·ω·C, waarbij V de spanning over die condensator is: V_L in een driehoeksbank, V_L/√3 in een sterbank.

Blindvermogen voor en na

Het werkelijk vermogen verandert niet, dus elke arbeidsfactor legt het blindvermogen vast: Q = P·tan φ.

Q₁ = 60·tan(acos 0,8) = 60·0,75 = 45 kvar

Q₂ = 60·tan(acos 0,92) = 60·0,426 = 25,56 kvar

Blindvermogen van de condensatoren

Q_C = Q₁ − Q₂ = 19,44 kvar

Capaciteit per fase

In een sterbank is elke condensator aangesloten tussen een lijn en het sterpunt.

V = 400/√3 = 230,9 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 6480/(377·230,9²) = 322,3 µF

Antwoord

C_ph = 322,3 µF

11.RC- en RL-schakelverschijnselen

Antwoord: W(∞) = 158,4 mJ

Eerste-orde schakelverschijnselen: in een schakeling met één condensator of één spoel gaat elke spanning en stroom exponentieel van de beginwaarde naar de eindwaarde: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, met τ = RC of τ = L/R. Na ongeveer 5τ is de schakeling uitgeslingerd.

Tijdconstante en eindstroom

Lang na het sluiten van de schakelaar gedraagt de spoel zich als een kortsluiting, dus de eindstroom wordt alleen door R bepaald.

τ = L/R = 220 mH / 5 Ω = 44 ms

i(∞) = V_s/R = 6/5 = 1,2 A

Opgeslagen energie

W(∞) = ½·L·i(∞)² = ½·220·1,2² = 158,4 mJ

Antwoord

W(∞) = 158,4 mJ

12.RC- en RL-schakelverschijnselen

Antwoord: v_C = 8,435 V

Beginspanning van de condensator

In de stationaire toestand is de condensator een open circuit, dus R₁ en R₂ vormen een spanningsdeler. De condensatorspanning kan niet verspringen als de schakelaar opent.

v_C(0) = 30·10/(6,8 + 10) = 17,86 V

Tijdconstante nadat de schakelaar opent

τ = R₂·C = 10·100 = 1000 ms

Ontlading

v_C(t) = 17,86·e^−750/1000 = 8,435 V

Antwoord

v_C = 8,435 V

13.Thévenin en Norton

Antwoord: I_N = 0,4545 A

Stelling van Thévenin: elk lineair tweepoolnetwerk gedraagt zich als één spanningsbron V_th in serie met een weerstand R_th. De stelling van Norton geeft hetzelfde netwerk als een stroombron I_N = V_th/R_th parallel aan R_th.

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vervang spanningsbronnen door kortsluitingen en stroombronnen door open circuits, en kijk dan vanaf a–b de schakeling in.

R₁ ∥ R₂ = 12·5/(12+5) = 3,529 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3,529 + 12 = 15,53 Ω

Vind V_th, de openklemspanning

Met a–b open loopt er geen stroom door R₃, dus er valt geen spanning over en V_b = V_A. R₁ en R₂ vormen een spanningsdeler.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 24·5/(12+5) = 7,059 V

Norton-equivalent

Een Norton-bron is dezelfde schakeling, gezien als een stroombron parallel aan R_th. De stroom is de kortsluitstroom tussen a–b.

I_N = V_th/R_th = 7,059/15,53 = 0,4545 A

14.Thévenin en Norton

Antwoord: I_N = 2,44 A

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vervang spanningsbronnen door kortsluitingen en stroombronnen door open circuits, en kijk dan vanaf a–b de schakeling in.

R₁ ∥ R₂ = 15·10/(15+10) = 6 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 6 + 4 = 10 Ω

Vind V_th, de openklemspanning

Met a–b open is het enige pad voor Iₛ via R₃ naar knooppunt A. Vind V_A met superpositie van V₁ en Iₛ, en tel dan de spanningsval over R₃ erbij op.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 14,4 + 1·6 = 20,4 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 20,4 + 1·4 = 24,4 V

Norton-equivalent

Een Norton-bron is dezelfde schakeling, gezien als een stroombron parallel aan R_th. De stroom is de kortsluitstroom tussen a–b.

I_N = V_th/R_th = 24,4/10 = 2,44 A

15.Bodediagrammen en marges

Antwoord: Q = 30,15

Frequentierespons: substitueer s = jω in de overdrachtsfunctie. De grootte in decibel is 20·log₁₀|H(jω)| en de fase is de som van de hoeken van de tellerfactoren min die van de noemerfactoren. Een eerste-orde RC- of RL-filter heeft zijn kantelfrequentie (−3 dB) bij ω_c = 1/(RC) of R/L, en f_c = ω_c/(2π); een laagdoorlaatfilter geeft |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) en φ = −atan(ω/ω_c). In het asymptotische (rechte-lijn-)Bodediagram buigt elke pool de grootte met 20 dB/decade omlaag bij zijn kantelfrequentie, buigt elk nulpunt haar met 20 dB/decade omhoog, en geeft een integrator 1/s −20 dB/decade bij alle frequenties. Versterkingsdoorsnijding ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); fasemarge PM = 180° + ∠L(jω_c). Faseomslag ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; versterkingsmarge GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. De gesloten lus is stabiel als beide marges positief zijn.

Resonantiefrequentie

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,002·2,2 × 10⁻⁶) = 15076 rad/s

f₀ = ω₀/(2π) = 2399 Hz

Kwaliteitsfactor

BW = R/L = 1/0,002 = 500 rad/s = 79,58 Hz

Q = ω₀/BW = 15076/500 = 30,15

Antwoord

Q = 30,15

16.Bodediagrammen en marges

Antwoord: K = 84,95

Faseomslag

(ω/3)·(ω/5) = 1 → ω₁₈₀ = √(3·5) = 3,873 rad/s

Grootte bij de faseomslag

|L(jω₁₈₀)| = K/(ω·√(ω² + 9)·√(ω² + 25)) = K/(3·5·(3 + 5)) = K/120

Vereiste versterking

120/K = 10^3/20 = 1,413

K = 120/1,413 = 84,95

Antwoord

K = 84,95

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

Netwerkanalyse 2: wisselstroomschakelingen: samenvattingspakket

1Formules en methoden

Complexe getallen

Methode

Wisselstroomimpedantie en fasoren

Methode

Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor

LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte

Methode

Draaistroomvermogen

RC- en RL-schakelverschijnselen

Methode

Thévenin en Norton

Methode

2Oefenopgaven

3Oplossingen

Componenten

Rechthoekige vorm

Antwoord

Modulus van de wortels

Argument van de wortel

Rechthoekige vorm

Antwoord

Reactantie

Takstromen

Totale stroom

Fasehoek

Antwoord

Resonantie

Antwoord

Stroom

Blindvermogen

Antwoord

Complex geconjugeerde aanpassing

Capaciteit

Antwoord

Wortelterm

Onderste halfvermogensfrequentie

Antwoord

Dynamische weerstand

Controle met Q

Antwoord

Fasespanning

Fasestroom

Totaal werkelijk vermogen

Antwoord

Blindvermogen voor en na

Blindvermogen van de condensatoren

Capaciteit per fase

Antwoord

Tijdconstante en eindstroom

Opgeslagen energie

Antwoord

Beginspanning van de condensator

Tijdconstante nadat de schakelaar opent

Ontlading

Antwoord

Vind Rth met alle bronnen uitgeschakeld

Vind Vth, de openklemspanning

Norton-equivalent

Vind Rth met alle bronnen uitgeschakeld

Vind Vth, de openklemspanning

Norton-equivalent

Resonantiefrequentie

Kwaliteitsfactor

Antwoord

Faseomslag

Grootte bij de faseomslag

Vereiste versterking

Antwoord

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vind V_th, de openklemspanning

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vind V_th, de openklemspanning