Netwerkanalyse 2: wisselstroomschakelingen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 16 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Complexe getallen

Rechthoekige vorm: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Modulus en argument: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Poolvorm en exponentiële vorm: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Deling: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Product en quotiënt: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
De Moivre: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n-de machtswortels: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Kwadratische vergelijking met p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Methode

Bepaal welke vorm bij de bewerking past: rechthoekig a + jb voor optellen en aftrekken, pool r∠θ voor vermenigvuldigen, delen, machten en wortels.
Werk uit met j² = −1; deel door teller en noemer te vermenigvuldigen met de geconjugeerde van de noemer.
Reken om met r = √(a² + b²) en θ uit een schets van het punt (controleer het kwadrant), en terug met a = r cos θ, b = r sin θ.
Gebruik voor machten De Moivre, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; noteer voor zⁿ = R∠φ alle n wortels R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Wisselstroomimpedantie en fasoren

Impedanties: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Hoekfrequentie: ω = 2πf
Modulus en hoek: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Wet van Ohm met fasoren: V = I·Z

Methode

Reken de frequentie om: ω = 2πf.
Bereken elke reactantie: X_L = ωL en X_C = 1/(ωC).
Tel impedanties op zoals weerstanden, met Z = R + jX.
Bereken de grootte |Z| = √(R² + X²) en de hoek φ = atan(X/R), en gebruik daarna de wet van Ohm met fasoren.

Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor

Werkelijk vermogen: P = V·I·cos φ
Blindvermogen: Q = V·I·sin φ
Schijnbaar vermogen: S = V·I = √(P² + Q²)
Arbeidsfactor: pf = cos φ = P/S
Compensatiecondensator: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte

Eigenfrequentie: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
Energie: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
Piekstroom: I_max = V₀√(C/L)
Kwaliteitsfactor: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
Serie-RLC: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
Parallel-RLC: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
Bandbreedte: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
Halfvermogensfrequenties: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
Tank met spoelweerstand r: R_D = L/(C·r) = Q²·r
Afname van de amplitude: e^−Rt/(2L)

Methode

Zoek eerst de resonantiefrequentie: ω₀ = 1/√(LC) en f₀ = ω₀/(2π).
Bepaal of de schakeling serie of parallel is: serie Q = (1/R)√(L/C), parallel Q = R√(C/L).
Gebruik BW = f₀/Q voor de bandbreedte, of de snelle formules R/(2πL) (serie) en 1/(2πRC) (parallel).
Gebruik bij energievragen dat de totale energie ½CV₀² in een ideale LC-schakeling constant blijft en elke kwartperiode heen en weer gaat tussen C en L.

Draaistroomvermogen

Sterschakeling (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Driehoekschakeling (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Totaal werkelijk vermogen: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Schijnbaar vermogen en blindvermogen: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Compensatiecondensatoren: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Spanning over elke condensator: Δ: V_L Y: V_L/√3
Opgenomen motorvermogen: P_in = P_out/η

RC- en RL-schakelverschijnselen

Tijdconstante: τ = RC | τ = L/R
Respons: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Condensator bij gelijkstroom: open klemmen; v_C kan niet verspringen
Spoel bij gelijkstroom: kortsluiting; i_L kan niet verspringen
Eindtoestand: t ≈ 5τ

Methode

Bepaal de beginwaarde vlak na het schakelen: een condensatorspanning en een spoelstroom kunnen niet verspringen.
Bepaal de eindwaarde lang na het schakelen: een condensator gedraagt zich als een open keten, een spoel als een kortsluiting.
Bepaal de tijdconstante: τ = RC of τ = L/R, met de weerstand die de condensator of spoel ziet.
Gebruik x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Thévenin en Norton

Thévenin-spanning: V_th = V_{open circuit}
Thévenin-weerstand: R_th: alle bronnen uit, gezien vanaf a–b
Norton-stroom: I_N = V_th/R_th
Belastingsstroom: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Maximale vermogensoverdracht: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Methode

Haal de belasting weg en markeer de twee klemmen a en b.
Bepaal de openklemspanning tussen a en b: dit is V_th.
Schakel alle onafhankelijke bronnen uit en bepaal de weerstand gezien vanaf a–b: dit is R_th.
Zet de belasting terug op het vervangingsschema: V_th in serie met R_th.
Reken voor het Norton-equivalent om: I_N = V_th/R_th, met R_N = R_th parallel.

2Oefenopgaven

1.Complexe getallenGemiddeld

Bepaal het argument θ van z = −3 + j5 in graden, als hoofdwaarde tussen −180° en 180°.

z = −3 + j5

θ = °

2.Complexe getallenMoeilijk

De wortels van zⁿ = w met n = 3 en w = 64∠180° zijn z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0, 1, 2. Bepaal het argument van z₂ in graden, tussen −180° en 180°.

w = 64∠180°n = 3k = 2

θ₂ = °

3.Wisselstroomimpedantie en fasorenGemiddeld

Een serie-RLC-schakeling is aangesloten op een voeding van 50 V (rms), 500 Hz. Vind de arbeidsfactor cos φ van de schakeling.

V = 50 V (rms)f = 500 HzR = 50 ΩL = 50 mHC = 47 µF

cos φ =

4.Wisselstroomimpedantie en fasorenMoeilijk

Een serie-RLC-schakeling heeft R = 15 Ω, L = 2 mH en C = 0,22 µF. Vind de bandbreedte B (de breedte van de band tussen de halfvermogensfrequenties), in Hz.

R = 15 ΩL = 2 mHC = 0,22 µF

B = Hz

5.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactorGemiddeld

Een eenfasige motor neemt 34 kW op bij een inductieve arbeidsfactor van 0,6 uit een voeding van 400 V. Vind de lijnstroom I.

P = 34 kWpf = 0,6V = 400 V

I = A

6.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactorMoeilijk

Een eenfasige belasting neemt 10 kW op bij een inductieve arbeidsfactor van 0,8 uit een voeding van 240 V, 60 Hz. Een parallel geschakelde condensator verhoogt de arbeidsfactor tot 0,98. Vind de nieuwe lijnstroom I_new.

P = 10 kWpf₁ = 0,8pf₂ = 0,98V = 240 Vf = 60 Hz

I_new = A

7.LC-resonantie, Q-factor en bandbreedteGemiddeld

Een serie-RLC-schakeling heeft R = 1 Ω, L = 470 µH en C = 10 µF. Bepaal zijn kwaliteitsfactor Q.

R = 1 ΩL = 470 µHC = 10 µF

Q =

8.LC-resonantie, Q-factor en bandbreedteMoeilijk

Een opgeladen condensator van 100 nF ontlaadt over een spoel van 4,7 mH met een totale serieweerstand van 2 Ω, zodat de oscillatie langzaam uitdooft. De amplitude neemt af als e^−Rt/(2L). Hoeveel perioden n verstrijken voordat de amplitude is gehalveerd? (De verliezen zijn klein, dus de frequentie is f₀.)

L = 4,7 mHC = 100 nFR = 2 Ω

n =

9.DraaistroomvermogenGemiddeld

Een symmetrische, in driehoek geschakelde belasting met een impedantie van 16 + j12 Ω per fase is aangesloten op een symmetrisch draaistroomnet met een lijnspanning van 208 V. Vind het totale werkelijk vermogen P dat de belasting opneemt, in kW.

V_L = 208 VZ = 16 + j12 Ω per fase

P = kW

10.DraaistroomvermogenMoeilijk

Een symmetrische driefasige belasting neemt 60 kW op bij een inductieve arbeidsfactor van 0,78 uit een net van 480 V (lijnspanning), 50 Hz. Een driefasige condensatorbank parallel aan de belasting moet de totale arbeidsfactor verhogen tot 0,92 inductief. Het werkelijk vermogen blijft gelijk. De condensatoren zijn in ster geschakeld. Vind de capaciteit C_ph van elke condensator in µF.

P = 60 kWpf₁ = 0,78pf₂ = 0,92V_L = 480 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

11.RC- en RL-schakelverschijnselenGemiddeld

De spoel voert geen stroom voordat de schakelaar op t = 0 sluit. Vind de spanning v_L over de spoel op t = 1 ms.

V_s = 5 VR = 50 ΩL = 10 mHt = 1 ms

v_L = V

12.RC- en RL-schakelverschijnselenMoeilijk

Vlak voordat de schakelaar op t = 0 sluit, staat er 4 V over de condensator met de aangegeven polariteit. Vind de condensatorspanning v_C op t = 60 ms.

V_s = 20 VR = 3,3 kΩC = 47 µFv_C(0) = 4 Vt = 60 ms

v_C = V

13.Thévenin en NortonGemiddeld

Een belasting R_L = 8 Ω is aangesloten over a–b. Vervang de rest van de schakeling door het Thévenin-equivalent en vind de belastingsstroom I_L.

V₁ = 9 VR₁ = 8 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 8 ΩR_L = 8 Ω

I_L = A

14.Thévenin en NortonMoeilijk

Vind de Thévenin-spanning V_th gezien vanaf de klemmen a–b.

V₁ = 6 VI_s = 2 AR₁ = 15 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 15 Ω

V_th = V

15.Bodediagrammen en margesGemiddeld

Bepaal de fase ∠G(jω) van G(s) = 8(s + 12)/(s(s + 6)) bij ω = 2 rad/s, in graden.

G(s) = 8(s + 12)/(s(s + 6))ω = 2 rad/s

∠G(jω) = °

16.Bodediagrammen en margesMoeilijk

Een lus met eenheidsterugkoppeling heeft de open-lus-overdrachtsfunctie L(s) = 31,2/(s(s + 8)). Bepaal de fasemarge PM in graden.

L(s) = 31,2/(s(s + 8))

PM = °

3Oplossingen

1.Complexe getallen

Antwoord: θ = 121 °

Poolvorm: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, met r = |z| en θ = arg z. Terug naar de rechthoekige vorm: a = r cos θ, b = r sin θ. Voor het argument is het kwadrant nodig: θ = atan(b/a) alleen als a > 0; voor a < 0 tel je 180° op of trek je 180° af. In poolvorm is vermenigvuldigen eenvoudig: vermenigvuldig de moduli en tel de argumenten op; bij delen deel je de moduli en trek je de argumenten af.

Kwadrant

a = −3, b = 5 → II

Referentiehoek

α = atan(5/3) = 59,04°

Argument

θ = 180° − α = 121°

Antwoord

θ = 121°

In poolvorm is z = 5,831∠121°.

2.Complexe getallen

Antwoord: θ₂ = −60 °

De Moivre en wortels: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. De vergelijking zⁿ = R∠φ heeft precies n wortels, allemaal met modulus R^1/n, bij de argumenten (φ + 360°·k)/n voor k = 0, 1, …, n − 1: ze liggen gelijkmatig verdeeld op een cirkel, 360°/n uit elkaar. Een kwadratische vergelijking z² + pz + q = 0 met p² < 4q heeft de complexe wortels z = −p/2 ± j√(q − p²/4); een polynoom met reële coëfficiënten heeft zijn complexe wortels altijd in geconjugeerde paren a ± jb.

Modulus van de wortels

64^1/3 = 4

Argument van de wortel

θ₂ = (180° + 360°·2)/3 = 300° → −60°

Argument

θ₂ = −60°

Antwoord

θ₂ = −60°

De 3 wortels liggen op de cirkel met straal 4, 120° uit elkaar.

3.Wisselstroomimpedantie en fasoren

Antwoord: cos φ = 0,3156

Wisselstroom met fasoren: weerstanden, spoelen en condensatoren hebben impedanties R, jωL en 1/(jωC), met ω = 2πf. In serie tellen impedanties op zoals weerstanden, maar dan als complexe getallen. Effectieve stroom en spanning volgen de wet van Ohm met |Z|.

Reactanties

X_L = 157,1 Ω, X_C = 6,773 Ω

Impedantie

|Z| = √(50² + (150,3)²) = 158,4 Ω

Arbeidsfactor

cos φ = R/|Z| = 50/158,4 = 0,3156

De schakeling is inductief, dus de arbeidsfactor is inductief (naijlend).

Antwoord

cos φ = 0,3156

4.Wisselstroomimpedantie en fasoren

Antwoord: B = 1194 Hz

Resonantiefrequentie

f₀ = 1/(2π·√(0,002·0,22·10⁻⁶)) = 7587 Hz

Kwaliteitsfactor

Q vergelijkt de reactantie bij resonantie met de weerstand: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/15)·√(0,002/(0,22·10⁻⁶)) = 6,356

Bandbreedte

B = f₀/Q = 7587/6,356 = 1194 Hz

Antwoord

B = 1194 Hz

5.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor

Antwoord: I = 141,7 A

Wisselstroomvermogen: het schijnbaar vermogen S = V·I (VA) splitst zich in werkelijk vermogen P = S·cos φ (W), dat nuttig werk doet, en blindvermogen Q = S·sin φ (var), dat heen en weer gaat tussen bron en belasting. De arbeidsfactor is cos φ. Een condensator parallel levert blindvermogen ter plaatse, dus de lijnstroom daalt bij hetzelfde werkelijk vermogen.

Lijnstroom

Alleen het werkelijke deel van het vermogen doet werk, dus deel door de arbeidsfactor.

I = P/(V·cos φ) = 34000/(400·0,6) = 141,7 A

Antwoord

I = 141,7 A

6.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor

Antwoord: I_new = 42,52 A

Blindvermogen voor en na

Het werkelijk vermogen P verandert niet; alleen het blindvermogen uit het net verandert.

Q₁ = P·tan φ₁ = 10·tan(36,87°) = 7,5 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 10·tan(11,48°) = 2,031 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 5,469 kvar

Nieuwe lijnstroom

I_new = P/(V·cos φ₂) = 10000/(240·0,98) = 42,52 A

Antwoord

I_new = 42,52 A

7.LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte

Antwoord: Q = 6,856

Q-factor en bandbreedte: in een resonantiekring is Q = 2π·(opgeslagen energie)/(verloren energie per periode). Voor serie-RLC is Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C); voor parallel-RLC is Q = R/(ω₀L) = R√(C/L). De bandbreedte tussen de halfvermogensfrequenties f₁ en f₂ (waar het vermogen de helft is en de stroom of spanning 1/√2 van de piekwaarde) is BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, dat is R/(2πL) in serie en 1/(2πRC) parallel. De resonantiefrequentie is het meetkundig gemiddelde f₀ = √(f₁f₂), en f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Verliezen laten de trilling ook uitdoven: in serie-RLC neemt de amplitude af als e^−Rt/(2L).

Karakteristieke impedantie

√(L/C) = √(0,00047/1 × 10⁻⁵) = 6,856 Ω

Kwaliteitsfactor

Q = 6,856/1 = 6,856

Antwoord

Q = 6,856

De resonantiefrequentie is 2,322 kHz, dus BW = f₀/Q = 338,6 Hz.

8.LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte

Antwoord: n = 23,92

Halfwaardetijd van de amplitude

t = 2·0,0047·ln 2/2 = 0,003258 s

Aantal perioden

n = t·f₀ = 0,003258·7341 = 23,92

Antwoord

n = 23,92

Snelle formule: n = Q·ln 2/π met Q = 108,4.

9.Draaistroomvermogen

Antwoord: P = 5,192 kW

Fasespanning

V_ph = V_L = 208 V

Fasestroom

|Z| = √(16² + 12²) = 20 Ω

I_ph = 208/20 = 10,4 A

Totaal werkelijk vermogen

Alleen het resistieve deel van elke impedantie neemt werkelijk vermogen op.

P = 3·I_ph²·R = 3·10,4²·16 = 5,192 kW

Antwoord

P = 5,192 kW

Controle: cos φ = R/|Z| = 0,8, en √3·V_L·I_L·cos φ geeft hetzelfde vermogen.

10.Draaistroomvermogen

Antwoord: C_ph = 311,9 µF

Symmetrische draaistroomsystemen: in een Y-schakeling (ster) is de lijnspanning √3 keer de fasespanning, V_L = √3·V_ph, en is de lijnstroom gelijk aan de fasestroom. In een Δ-schakeling (driehoek) is de lijnspanning gelijk aan de fasespanning en is de lijnstroom √3 keer de fasestroom, I_L = √3·I_ph. Het totale vermogen is drie keer het vermogen van één fase: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Arbeidsfactorcompensatie: condensatoren leveren blindvermogen ter plaatse, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Elk van de drie condensatoren levert Q_C/3 = V²·ω·C, waarbij V de spanning over die condensator is: V_L in een driehoeksbank, V_L/√3 in een sterbank.

Blindvermogen voor en na

Het werkelijk vermogen verandert niet, dus elke arbeidsfactor legt het blindvermogen vast: Q = P·tan φ.

Q₁ = 60·tan(acos 0,78) = 60·0,8023 = 48,14 kvar

Q₂ = 60·tan(acos 0,92) = 60·0,426 = 25,56 kvar

Blindvermogen van de condensatoren

Q_C = Q₁ − Q₂ = 22,58 kvar

Capaciteit per fase

In een sterbank is elke condensator aangesloten tussen een lijn en het sterpunt.

V = 480/√3 = 277,1 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 7526/(314,2·277,1²) = 311,9 µF

Antwoord

C_ph = 311,9 µF

11.RC- en RL-schakelverschijnselen

Antwoord: v_L = 0,03369 V

Eerste-orde schakelverschijnselen: in een schakeling met één condensator of één spoel gaat elke spanning en stroom exponentieel van de beginwaarde naar de eindwaarde: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, met τ = RC of τ = L/R. Na ongeveer 5τ is de schakeling uitgeslingerd.

Tijdconstante en eindstroom

Lang na het sluiten van de schakelaar gedraagt de spoel zich als een kortsluiting, dus de eindstroom wordt alleen door R bepaald.

τ = L/R = 10 mH / 50 Ω = 0,2 ms

i(∞) = V_s/R = 5/50 = 0,1 A

Spoelspanning

Op t = 0 staat de hele voedingsspanning over de spoel; daarna neemt die af tot nul.

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 5·e^−1/0,2 = 0,03369 V

Antwoord

v_L = 0,03369 V

12.RC- en RL-schakelverschijnselen

Antwoord: v_C = 9,133 V

Beginwaarde, eindwaarde, tijdconstante

De condensatorspanning kan niet verspringen, dus begint ze bij de opgeslagen waarde en gaat ze naar de bronspanning.

v_C(0) = 4 V, v_C(∞) = V_s = 20 V

τ = R·C = 3,3 kΩ · 47 µF = 155,1 ms

v_C(t) = 20 + (4 − 20)·e^−t/τ

Spanning op het gegeven tijdstip

v_C(60) = 20 + (−16)·e^−60/155,1 = 9,133 V

Antwoord

v_C = 9,133 V

13.Thévenin en Norton

Antwoord: I_L = 0,225 A

Stelling van Thévenin: elk lineair tweepoolnetwerk gedraagt zich als één spanningsbron V_th in serie met een weerstand R_th. De stelling van Norton geeft hetzelfde netwerk als een stroombron I_N = V_th/R_th parallel aan R_th.

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vervang spanningsbronnen door kortsluitingen en stroombronnen door open circuits, en kijk dan vanaf a–b de schakeling in.

R₁ ∥ R₂ = 8·8/(8+8) = 4 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4 + 8 = 12 Ω

Vind V_th, de openklemspanning

Met a–b open loopt er geen stroom door R₃, dus er valt geen spanning over en V_b = V_A. R₁ en R₂ vormen een spanningsdeler.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 9·8/(8+8) = 4,5 V

Sluit de belasting aan op het Thévenin-equivalent

De Thévenin-bron en R_th in serie gedragen zich bij a–b precies als de oorspronkelijke schakeling, dus de belasting ziet een eenvoudige serielus.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 4,5/(12 + 8) = 0,225 A

14.Thévenin en Norton

Antwoord: V_th = 46 V

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vervang spanningsbronnen door kortsluitingen en stroombronnen door open circuits, en kijk dan vanaf a–b de schakeling in.

R₁ ∥ R₂ = 15·12/(15+12) = 6,667 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 6,667 + 15 = 21,67 Ω

Vind V_th, de openklemspanning

Met a–b open is het enige pad voor Iₛ via R₃ naar knooppunt A. Vind V_A met superpositie van V₁ en Iₛ, en tel dan de spanningsval over R₃ erbij op.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 2,667 + 2·6,667 = 16 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 16 + 2·15 = 46 V

15.Bodediagrammen en marges

Antwoord: ∠G(jω) = −98,97 °

Frequentierespons: substitueer s = jω in de overdrachtsfunctie. De grootte in decibel is 20·log₁₀|H(jω)| en de fase is de som van de hoeken van de tellerfactoren min die van de noemerfactoren. Een eerste-orde RC- of RL-filter heeft zijn kantelfrequentie (−3 dB) bij ω_c = 1/(RC) of R/L, en f_c = ω_c/(2π); een laagdoorlaatfilter geeft |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) en φ = −atan(ω/ω_c). In het asymptotische (rechte-lijn-)Bodediagram buigt elke pool de grootte met 20 dB/decade omlaag bij zijn kantelfrequentie, buigt elk nulpunt haar met 20 dB/decade omhoog, en geeft een integrator 1/s −20 dB/decade bij alle frequenties. Versterkingsdoorsnijding ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); fasemarge PM = 180° + ∠L(jω_c). Faseomslag ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; versterkingsmarge GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. De gesloten lus is stabiel als beide marges positief zijn.

Tel de hoeken op

∠G = atan(2/12) − 90° − atan(2/6) = 9,462° − 90° − 18,43°

Resultaat

∠G(j2) = −98,97°

Antwoord

∠G(jω) = −98,97°

16.Bodediagrammen en marges

Antwoord: PM = 65,99 °

Versterkingsdoorsnijding

ω⁴ + 64ω² − 973,4 = 0

ω² = (−64 + √(4096 + 4·973,4))/2 = 12,69

ω_c = 3,563 rad/s

Fasemarge

∠L(jω_c) = −90° − atan(3,563/8) = −114°

PM = 180° + ∠L = 65,99°

Antwoord

PM = 65,99°

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

Netwerkanalyse 2: wisselstroomschakelingen: samenvattingspakket

1Formules en methoden

Complexe getallen

Methode

Wisselstroomimpedantie en fasoren

Methode

Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor

LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte

Methode

Draaistroomvermogen

RC- en RL-schakelverschijnselen

Methode

Thévenin en Norton

Methode

2Oefenopgaven

3Oplossingen

Kwadrant

Referentiehoek

Argument

Antwoord

Modulus van de wortels

Argument van de wortel

Argument

Antwoord

Reactanties

Impedantie

Arbeidsfactor

Antwoord

Resonantiefrequentie

Kwaliteitsfactor

Bandbreedte

Antwoord

Lijnstroom

Antwoord

Blindvermogen voor en na

Nieuwe lijnstroom

Antwoord

Karakteristieke impedantie

Kwaliteitsfactor

Antwoord

Halfwaardetijd van de amplitude

Aantal perioden

Antwoord

Fasespanning

Fasestroom

Totaal werkelijk vermogen

Antwoord

Blindvermogen voor en na

Blindvermogen van de condensatoren

Capaciteit per fase

Antwoord

Tijdconstante en eindstroom

Spoelspanning

Antwoord

Beginwaarde, eindwaarde, tijdconstante

Spanning op het gegeven tijdstip

Antwoord

Vind Rth met alle bronnen uitgeschakeld

Vind Vth, de openklemspanning

Sluit de belasting aan op het Thévenin-equivalent

Vind Rth met alle bronnen uitgeschakeld

Vind Vth, de openklemspanning

Tel de hoeken op

Resultaat

Antwoord

Versterkingsdoorsnijding

Fasemarge

Antwoord

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vind V_th, de openklemspanning

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vind V_th, de openklemspanning