Bepaal welke vorm bij de bewerking past: rechthoekig a + jb voor optellen en aftrekken, pool r∠θ voor vermenigvuldigen, delen, machten en wortels.
Werk uit met j² = −1; deel door teller en noemer te vermenigvuldigen met de geconjugeerde van de noemer.
Reken om met r = √(a² + b²) en θ uit een schets van het punt (controleer het kwadrant), en terug met a = r cos θ, b = r sin θ.
Gebruik voor machten De Moivre, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; noteer voor zⁿ = R∠φ alle n wortels R1/n∠((φ + 360°k)/n).
Wisselstroomimpedantie en fasoren
Impedanties
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Hoekfrequentie
ω = 2πf
Modulus en hoek
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Wet van Ohm met fasoren
V = I·Z
Methode
Reken de frequentie om: ω = 2πf.
Bereken elke reactantie: XL = ωL en XC = 1/(ωC).
Tel impedanties op zoals weerstanden, met Z = R + jX.
Bereken de grootte |Z| = √(R² + X²) en de hoek φ = atan(X/R), en gebruik daarna de wet van Ohm met fasoren.
Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor
Werkelijk vermogen
P = V·I·cos φ
Blindvermogen
Q = V·I·sin φ
Schijnbaar vermogen
S = V·I = √(P² + Q²)
Arbeidsfactor
pf = cos φ = P/S
Compensatiecondensator
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte
Eigenfrequentie
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
Energie
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
Piekstroom
Imax = V0√(C/L)
Kwaliteitsfactor
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
Serie-RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
Parallel-RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
Bandbreedte
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
Halfvermogensfrequenties
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
Tank met spoelweerstand r
RD = L/(C·r) = Q²·r
Afname van de amplitude
e−Rt/(2L)
Methode
Zoek eerst de resonantiefrequentie: ω₀ = 1/√(LC) en f₀ = ω₀/(2π).
Bepaal of de schakeling serie of parallel is: serie Q = (1/R)√(L/C), parallel Q = R√(C/L).
Gebruik BW = f₀/Q voor de bandbreedte, of de snelle formules R/(2πL) (serie) en 1/(2πRC) (parallel).
Gebruik bij energievragen dat de totale energie ½CV₀² in een ideale LC-schakeling constant blijft en elke kwartperiode heen en weer gaat tussen C en L.
Draaistroomvermogen
Sterschakeling (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Driehoekschakeling (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Totaal werkelijk vermogen
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Schijnbaar vermogen en blindvermogen
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Compensatiecondensatoren
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Spanning over elke condensator
Δ: VL Y: VL/√3
Opgenomen motorvermogen
Pin = Pout/η
RC- en RL-schakelverschijnselen
Tijdconstante
τ = RC | τ = L/R
Respons
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Condensator bij gelijkstroom
open klemmen; vC kan niet verspringen
Spoel bij gelijkstroom
kortsluiting; iL kan niet verspringen
Eindtoestand
t ≈ 5τ
Methode
Bepaal de beginwaarde vlak na het schakelen: een condensatorspanning en een spoelstroom kunnen niet verspringen.
Bepaal de eindwaarde lang na het schakelen: een condensator gedraagt zich als een open keten, een spoel als een kortsluiting.
Bepaal de tijdconstante: τ = RC of τ = L/R, met de weerstand die de condensator of spoel ziet.
Gebruik x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.
Thévenin en Norton
Thévenin-spanning
Vth = Vopen circuit
Thévenin-weerstand
Rth: alle bronnen uit, gezien vanaf a–b
Norton-stroom
IN = Vth/Rth
Belastingsstroom
IL = Vth/(Rth + RL)
Maximale vermogensoverdracht
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)
Methode
Haal de belasting weg en markeer de twee klemmen a en b.
Bepaal de openklemspanning tussen a en b: dit is Vth.
Schakel alle onafhankelijke bronnen uit en bepaal de weerstand gezien vanaf a–b: dit is Rth.
Zet de belasting terug op het vervangingsschema: Vth in serie met Rth.
Reken voor het Norton-equivalent om: IN = Vth/Rth, met RN = Rth parallel.
2Oefenopgaven
1.Complexe getallenGemiddeld
Bepaal het argument θ van z = −6 + j2 in graden, als hoofdwaarde tussen −180° en 180°.
z = −6 + j2
θ = °
2.Complexe getallenMoeilijk
Bepaal het reële deel van (2 − j2)⁵.
z = 2 − j2n = 5
Re(z⁵) =
3.Wisselstroomimpedantie en fasorenGemiddeld
Een weerstand en een condensator zijn parallel aangesloten op een voeding van 24 V (rms), 60 Hz. Vind de fasehoek φ van de impedantie, in graden (positief als de stroom achterloopt op de spanning).
V = 24 V (rms)f = 60 HzR = 100 ΩC = 10 µF
φ = °
4.Wisselstroomimpedantie en fasorenMoeilijk
Een serie-RLC-schakeling heeft R = 5 Ω, L = 1 mH en C = 1 µF. Vind de kwaliteitsfactor Q bij resonantie.
R = 5 ΩL = 1 mHC = 1 µF
Q =
5.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactorGemiddeld
Twee belastingen zijn parallel aangesloten op een eenfasige voeding van 240 V: een belasting van 4 kW met een inductieve arbeidsfactor van 0,65 en een verwarmingselement van 17 kW (arbeidsfactor 1). Vind de totale stroom I die uit de voeding wordt opgenomen.
Een bron van 24 V (rms), 60 Hz heeft een inwendige impedantie Zs = 2 + j15 Ω. De belastingsimpedantie ZL kan vrij worden gekozen. Vind het maximale werkelijk vermogen Pmax dat aan de belasting kan worden geleverd.
Vs = 24 V (rms)f = 60 HzZs = 2 + j15 Ω
Pmax = W
7.LC-resonantie, Q-factor en bandbreedteGemiddeld
Een serie-RLC-schakeling heeft R = 22 Ω, L = 220 µH en C = 100 nF. Bepaal zijn bandbreedte BW in kHz.
R = 22 ΩL = 220 µHC = 100 nF
BW = kHz
8.LC-resonantie, Q-factor en bandbreedteMoeilijk
Een serie-RLC-schakeling (R = 5 Ω, L = 4,7 mH, C = 470 nF) wordt bij resonantie aangestuurd met een stroomamplitude van 10 mA. Bepaal de energie Ecycle die in R per periode wordt gedissipeerd, in nJ.
R = 5 ΩL = 4,7 mHC = 470 nFIm = 10 mA
Ecycle = nJ
9.DraaistroomvermogenGemiddeld
Een symmetrische, in driehoek geschakelde belasting met een impedantie van 6 + j8 Ω per fase is aangesloten op een symmetrisch draaistroomnet met een lijnspanning van 208 V. Vind het totale werkelijk vermogen P dat de belasting opneemt, in kW.
VL = 208 VZ = 6 + j8 Ω per fase
P = kW
10.DraaistroomvermogenMoeilijk
Een symmetrische driefasige belasting neemt 200 kW op bij een inductieve arbeidsfactor van 0,7 uit een net van 400 V (lijnspanning), 50 Hz. Een driefasige condensatorbank parallel aan de belasting moet de totale arbeidsfactor verhogen tot 0,95 inductief. Het werkelijk vermogen blijft gelijk. De condensatoren zijn in ster geschakeld. Vind de capaciteit Cph van elke condensator in µF.
P = 200 kWpf1 = 0,7pf2 = 0,95VL = 400 Vf = 50 Hz
Cph = µF
11.RC- en RL-schakelverschijnselenGemiddeld
De bron Vₛ laadt de condensator op via R₁, en R₂ staat parallel aan C. De condensator is ongeladen als de schakelaar op t = 0 sluit. Vind de condensatorspanning vC op t = 40 ms.
Vs = 9 VR1 = 10 kΩR2 = 1 kΩC = 47 µFt = 40 ms
vC = V
12.RC- en RL-schakelverschijnselenMoeilijk
Vlak voordat de schakelaar op t = 0 sluit, staat er 8 V over de condensator met de aangegeven polariteit. Vind de condensatorspanning vC op t = 50 ms.
Vs = 24 VR = 1 kΩC = 68 µFvC(0) = 8 Vt = 50 ms
vC = V
13.Thévenin en NortonGemiddeld
Vind de Norton-stroom IN: de stroom die van a naar b loopt als de klemmen kortgesloten zijn.
V1 = 10 VR1 = 10 ΩR2 = 5 ΩR3 = 5 Ω
IN = A
14.Thévenin en NortonMoeilijk
Vind de Thévenin-spanning Vth gezien vanaf de klemmen a–b.
V1 = 9 VIs = 2 AR1 = 15 ΩR2 = 10 ΩR3 = 5 Ω
Vth = V
15.Bodediagrammen en margesGemiddeld
Bepaal de exacte grootte |G(jω)| van G(s) = 624/((s + 3)(s + 16)) bij ω = 10 rad/s, in dB.
G(s) = 624/((s + 3)(s + 16))ω = 10 rad/s
|G(jω)| = dB
16.Bodediagrammen en margesMoeilijk
Een lus met eenheidsterugkoppeling heeft de open-lus-overdrachtsfunctie L(s) = K/(s(s + 6)(s + 8)). Bepaal de versterking K die een versterkingsmarge van 8 dB geeft.
L(s) = K/(s(s + 6)(s + 8))GM = 8 dB
K =
3Oplossingen
1.Complexe getallen
Antwoord: θ = 161,6 °
Poolvorm: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ, met r = |z| en θ = arg z. Terug naar de rechthoekige vorm: a = r cos θ, b = r sin θ. Voor het argument is het kwadrant nodig: θ = atan(b/a) alleen als a > 0; voor a < 0 tel je 180° op of trek je 180° af. In poolvorm is vermenigvuldigen eenvoudig: vermenigvuldig de moduli en tel de argumenten op; bij delen deel je de moduli en trek je de argumenten af.
Kwadrant
a = −6, b = 2 → II
Referentiehoek
α = atan(2/6) = 18,43°
Argument
θ = 180° − α = 161,6°
Antwoord
θ = 161,6°
In poolvorm is z = 6,325∠161,6°.
2.Complexe getallen
Antwoord: Re(z⁵) = −128
De Moivre en wortels: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. De vergelijking zⁿ = R∠φ heeft precies n wortels, allemaal met modulus R1/n, bij de argumenten (φ + 360°·k)/n voor k = 0, 1, …, n − 1: ze liggen gelijkmatig verdeeld op een cirkel, 360°/n uit elkaar. Een kwadratische vergelijking z² + pz + q = 0 met p² < 4q heeft de complexe wortels z = −p/2 ± j√(q − p²/4); een polynoom met reële coëfficiënten heeft zijn complexe wortels altijd in geconjugeerde paren a ± jb.
Machten stap voor stap
z² = (2 − j2)(2 − j2) = −j8
z³ = (−j8)(2 − j2) = −16 − j16
z⁴ = (−16 − j16)(2 − j2) = −64
z⁵ = (−64)(2 − j2) = −128 + j128
Controleer met De Moivre
z = 2,828∠−45° → z⁵ = 181∠135°
Re(z⁵) = −128
Antwoord
Re(z⁵) = −128
3.Wisselstroomimpedantie en fasoren
Antwoord: φ = −20,66 °
Wisselstroom met fasoren: weerstanden, spoelen en condensatoren hebben impedanties R, jωL en 1/(jωC), met ω = 2πf. In serie tellen impedanties op zoals weerstanden, maar dan als complexe getallen. Effectieve stroom en spanning volgen de wet van Ohm met |Z|.
Reactantie
XC = 1/(ωC) = 1/(2π·60·10·10⁻⁶) = 265,3 Ω
Takstromen
Beide takken zijn rechtstreeks op de voeding aangesloten, dus elke tak krijgt de volle spanning V.
IR = V/R = 24/100 = 0,24 A
IX = V/XC = 24/265,3 = 0,09048 A
Totale stroom
De stroom door de weerstand is in fase met V en de reactieve stroom is 90° uit fase, dus ze tellen op als de zijden van een rechthoekige driehoek.
I = √(IR² + IX²) = √(0,24² + 0,09048²) = 0,2565 A
Fasehoek
De condensatorstroom ijlt voor op V, dus de totale stroom ijlt voor en de hoek is negatief.
Wisselstroom met fasoren: weerstanden, spoelen en condensatoren hebben impedanties R, jωL en 1/(jωC), met ω = 2πf. In serie tellen impedanties op zoals weerstanden, maar dan als complexe getallen. Effectieve stroom en spanning volgen de wet van Ohm met |Z|.
Resonantiefrequentie
f0 = 1/(2π·√(0,001·1·10⁻⁶)) = 5033 Hz
Kwaliteitsfactor
Q vergelijkt de reactantie bij resonantie met de weerstand: Q = ω₀L/R.
Wisselstroomvermogen: het schijnbaar vermogen S = V·I (VA) splitst zich in werkelijk vermogen P = S·cos φ (W), dat nuttig werk doet, en blindvermogen Q = S·sin φ (var), dat heen en weer gaat tussen bron en belasting. De arbeidsfactor is cos φ. Een condensator parallel levert blindvermogen ter plaatse, dus de lijnstroom daalt bij hetzelfde werkelijk vermogen.
Blindvermogen van elke belasting
Een inductieve belasting neemt blindvermogen op (Q > 0); een capacitieve belasting levert het (Q < 0).
Q1 = 4·tan(arccos 0,65) = 4,677 kvar
Q2 = 0 = 0 kvar
Totalen
P = 4 + 17 = 21 kW
Q = 4,677 + 0 = 4,677 kvar
S = √(21² + 4,677²) = 21,51 kVA
Totale stroom
I = S/V = 21514/240 = 89,64 A
Antwoord
I = 89,64 A
6.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor
Antwoord: Pmax = 72 W
Wisselstroomvermogen: het schijnbaar vermogen S = V·I (VA) splitst zich in werkelijk vermogen P = S·cos φ (W), dat nuttig werk doet, en blindvermogen Q = S·sin φ (var), dat heen en weer gaat tussen bron en belasting. De arbeidsfactor is cos φ. Een condensator parallel levert blindvermogen ter plaatse, dus de lijnstroom daalt bij hetzelfde werkelijk vermogen.
Complex geconjugeerde aanpassing
De reactantie van de belasting heft die van de bron op, en de belastingsweerstand is gelijk aan de bronweerstand.
ZL = Zs* = 2 − j15 Ω
Maximaal vermogen
I = Vs/(2Rs) = 24/4 = 6 A
Pmax = I²·RL = Vs²/(4Rs) = 24²/(4·2) = 72 W
Antwoord
Pmax = 72 W
7.LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte
Antwoord: BW = 15,92 kHz
Q-factor en bandbreedte: in een resonantiekring is Q = 2π·(opgeslagen energie)/(verloren energie per periode). Voor serie-RLC is Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C); voor parallel-RLC is Q = R/(ω0L) = R√(C/L). De bandbreedte tussen de halfvermogensfrequenties f1 en f2 (waar het vermogen de helft is en de stroom of spanning 1/√2 van de piekwaarde) is BW = f2 − f1 = f0/Q, dat is R/(2πL) in serie en 1/(2πRC) parallel. De resonantiefrequentie is het meetkundig gemiddelde f0 = √(f1f2), en f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Verliezen laten de trilling ook uitdoven: in serie-RLC neemt de amplitude af als e−Rt/(2L).
Bandbreedte in rad/s
R/L = 22/0,00022 = 100000 rad/s
Bandbreedte in Hz
BW = 100000/(2π) = 15915 Hz = 15,92 kHz
Antwoord
BW = 15,92 kHz
Met f₀ = 33,93 kHz geeft dit Q = 2,132.
8.LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte
Antwoord: Ecycle = 73,83 nJ
Q-factor en bandbreedte: in een resonantiekring is Q = 2π·(opgeslagen energie)/(verloren energie per periode). Voor serie-RLC is Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C); voor parallel-RLC is Q = R/(ω0L) = R√(C/L). De bandbreedte tussen de halfvermogensfrequenties f1 en f2 (waar het vermogen de helft is en de stroom of spanning 1/√2 van de piekwaarde) is BW = f2 − f1 = f0/Q, dat is R/(2πL) in serie en 1/(2πRC) parallel. De resonantiefrequentie is het meetkundig gemiddelde f0 = √(f1f2), en f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Verliezen laten de trilling ook uitdoven: in serie-RLC neemt de amplitude af als e−Rt/(2L).
Symmetrische draaistroomsystemen: in een Y-schakeling (ster) is de lijnspanning √3 keer de fasespanning, VL = √3·Vph, en is de lijnstroom gelijk aan de fasestroom. In een Δ-schakeling (driehoek) is de lijnspanning gelijk aan de fasespanning en is de lijnstroom √3 keer de fasestroom, IL = √3·Iph. Het totale vermogen is drie keer het vermogen van één fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Fasespanning
Vph = VL = 208 V
Fasestroom
|Z| = √(6² + 8²) = 10 Ω
Iph = 208/10 = 20,8 A
Totaal werkelijk vermogen
Alleen het resistieve deel van elke impedantie neemt werkelijk vermogen op.
P = 3·Iph²·R = 3·20,8²·6 = 7,788 kW
Antwoord
P = 7,788 kW
Controle: cos φ = R/|Z| = 0,6, en √3·VL·IL·cos φ geeft hetzelfde vermogen.
10.Draaistroomvermogen
Antwoord: Cph = 2751 µF
Symmetrische draaistroomsystemen: in een Y-schakeling (ster) is de lijnspanning √3 keer de fasespanning, VL = √3·Vph, en is de lijnstroom gelijk aan de fasestroom. In een Δ-schakeling (driehoek) is de lijnspanning gelijk aan de fasespanning en is de lijnstroom √3 keer de fasestroom, IL = √3·Iph. Het totale vermogen is drie keer het vermogen van één fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Arbeidsfactorcompensatie: condensatoren leveren blindvermogen ter plaatse, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Elk van de drie condensatoren levert QC/3 = V²·ω·C, waarbij V de spanning over die condensator is: VL in een driehoeksbank, VL/√3 in een sterbank.
Blindvermogen voor en na
Het werkelijk vermogen verandert niet, dus elke arbeidsfactor legt het blindvermogen vast: Q = P·tan φ.
Q1 = 200·tan(acos 0,7) = 200·1,02 = 204 kvar
Q2 = 200·tan(acos 0,95) = 200·0,3287 = 65,74 kvar
Blindvermogen van de condensatoren
QC = Q1 − Q2 = 138,3 kvar
Capaciteit per fase
In een sterbank is elke condensator aangesloten tussen een lijn en het sterpunt.
Eerste-orde schakelverschijnselen: in een schakeling met één condensator of één spoel gaat elke spanning en stroom exponentieel van de beginwaarde naar de eindwaarde: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, met τ = RC of τ = L/R. Na ongeveer 5τ is de schakeling uitgeslingerd.
Thévenin-equivalent gezien vanaf de condensator
Sluit de bron kort om Rth te vinden; laat de condensator open om de spanning te vinden waarop hij uitkomt.
Rth = R1 ∥ R2 = 10·1/(10 + 1) = 0,9091 kΩ
vC(∞) = 9·1/(10 + 1) = 0,8182 V
Tijdconstante
τ = Rth·C = 0,9091·47 = 42,73 ms
Laadcurve
vC(t) = 0,8182·(1 − e−40/42,73) = 0,4974 V
Antwoord
vC = 0,4974 V
12.RC- en RL-schakelverschijnselen
Antwoord: vC = 16,33 V
Eerste-orde schakelverschijnselen: in een schakeling met één condensator of één spoel gaat elke spanning en stroom exponentieel van de beginwaarde naar de eindwaarde: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, met τ = RC of τ = L/R. Na ongeveer 5τ is de schakeling uitgeslingerd.
Beginwaarde, eindwaarde, tijdconstante
De condensatorspanning kan niet verspringen, dus begint ze bij de opgeslagen waarde en gaat ze naar de bronspanning.
vC(0) = 8 V, vC(∞) = Vs = 24 V
τ = R·C = 1 kΩ · 68 µF = 68 ms
vC(t) = 24 + (8 − 24)·e−t/τ
Spanning op het gegeven tijdstip
vC(50) = 24 + (−16)·e−50/68 = 16,33 V
Antwoord
vC = 16,33 V
13.Thévenin en Norton
Antwoord: IN = 0,4 A
Stelling van Thévenin: elk lineair tweepoolnetwerk gedraagt zich als één spanningsbron Vth in serie met een weerstand Rth. De stelling van Norton geeft hetzelfde netwerk als een stroombron IN = Vth/Rth parallel aan Rth.
Vind Rth met alle bronnen uitgeschakeld
Vervang spanningsbronnen door kortsluitingen en stroombronnen door open circuits, en kijk dan vanaf a–b de schakeling in.
R1 ∥ R2 = 10·5/(10+5) = 3,333 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 3,333 + 5 = 8,333 Ω
Vind Vth, de openklemspanning
Met a–b open loopt er geen stroom door R₃, dus er valt geen spanning over en V_b = V_A. R₁ en R₂ vormen een spanningsdeler.
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 10·5/(10+5) = 3,333 V
Norton-equivalent
Een Norton-bron is dezelfde schakeling, gezien als een stroombron parallel aan R_th. De stroom is de kortsluitstroom tussen a–b.
IN = Vth/Rth = 3,333/8,333 = 0,4 A
14.Thévenin en Norton
Antwoord: Vth = −18,4 V
Stelling van Thévenin: elk lineair tweepoolnetwerk gedraagt zich als één spanningsbron Vth in serie met een weerstand Rth. De stelling van Norton geeft hetzelfde netwerk als een stroombron IN = Vth/Rth parallel aan Rth.
Vind Rth met alle bronnen uitgeschakeld
Vervang spanningsbronnen door kortsluitingen en stroombronnen door open circuits, en kijk dan vanaf a–b de schakeling in.
R1 ∥ R2 = 15·10/(15+10) = 6 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 6 + 5 = 11 Ω
Vind Vth, de openklemspanning
Met a–b open is het enige pad voor Iₛ via R₃ naar knooppunt A. Vind V_A met superpositie van V₁ en Iₛ, en tel dan de spanningsval over R₃ erbij op.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 3,6 + (−2)·6 = −8,4 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = −8,4 + (−2)·5 = −18,4 V
15.Bodediagrammen en marges
Antwoord: |G(jω)| = 10,01 dB
Frequentierespons: substitueer s = jω in de overdrachtsfunctie. De grootte in decibel is 20·log₁₀|H(jω)| en de fase is de som van de hoeken van de tellerfactoren min die van de noemerfactoren. Een eerste-orde RC- of RL-filter heeft zijn kantelfrequentie (−3 dB) bij ωc = 1/(RC) of R/L, en fc = ωc/(2π); een laagdoorlaatfilter geeft |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) en φ = −atan(ω/ωc). In het asymptotische (rechte-lijn-)Bodediagram buigt elke pool de grootte met 20 dB/decade omlaag bij zijn kantelfrequentie, buigt elk nulpunt haar met 20 dB/decade omhoog, en geeft een integrator 1/s −20 dB/decade bij alle frequenties. Versterkingsdoorsnijding ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); fasemarge PM = 180° + ∠L(jωc). Faseomslag ω180: ∠L(jω) = −180°; versterkingsmarge GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. De gesloten lus is stabiel als beide marges positief zijn.
Frequentierespons: substitueer s = jω in de overdrachtsfunctie. De grootte in decibel is 20·log₁₀|H(jω)| en de fase is de som van de hoeken van de tellerfactoren min die van de noemerfactoren. Een eerste-orde RC- of RL-filter heeft zijn kantelfrequentie (−3 dB) bij ωc = 1/(RC) of R/L, en fc = ωc/(2π); een laagdoorlaatfilter geeft |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) en φ = −atan(ω/ωc). In het asymptotische (rechte-lijn-)Bodediagram buigt elke pool de grootte met 20 dB/decade omlaag bij zijn kantelfrequentie, buigt elk nulpunt haar met 20 dB/decade omhoog, en geeft een integrator 1/s −20 dB/decade bij alle frequenties. Versterkingsdoorsnijding ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); fasemarge PM = 180° + ∠L(jωc). Faseomslag ω180: ∠L(jω) = −180°; versterkingsmarge GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. De gesloten lus is stabiel als beide marges positief zijn.