Netwerkanalyse 2: wisselstroomschakelingen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 16 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Complexe getallen

Rechthoekige vorm: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Modulus en argument: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Poolvorm en exponentiële vorm: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Deling: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Product en quotiënt: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
De Moivre: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n-de machtswortels: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Kwadratische vergelijking met p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Methode

Bepaal welke vorm bij de bewerking past: rechthoekig a + jb voor optellen en aftrekken, pool r∠θ voor vermenigvuldigen, delen, machten en wortels.
Werk uit met j² = −1; deel door teller en noemer te vermenigvuldigen met de geconjugeerde van de noemer.
Reken om met r = √(a² + b²) en θ uit een schets van het punt (controleer het kwadrant), en terug met a = r cos θ, b = r sin θ.
Gebruik voor machten De Moivre, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; noteer voor zⁿ = R∠φ alle n wortels R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Wisselstroomimpedantie en fasoren

Impedanties: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Hoekfrequentie: ω = 2πf
Modulus en hoek: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Wet van Ohm met fasoren: V = I·Z

Methode

Reken de frequentie om: ω = 2πf.
Bereken elke reactantie: X_L = ωL en X_C = 1/(ωC).
Tel impedanties op zoals weerstanden, met Z = R + jX.
Bereken de grootte |Z| = √(R² + X²) en de hoek φ = atan(X/R), en gebruik daarna de wet van Ohm met fasoren.

Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor

Werkelijk vermogen: P = V·I·cos φ
Blindvermogen: Q = V·I·sin φ
Schijnbaar vermogen: S = V·I = √(P² + Q²)
Arbeidsfactor: pf = cos φ = P/S
Compensatiecondensator: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte

Eigenfrequentie: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
Energie: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
Piekstroom: I_max = V₀√(C/L)
Kwaliteitsfactor: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
Serie-RLC: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
Parallel-RLC: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
Bandbreedte: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
Halfvermogensfrequenties: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
Tank met spoelweerstand r: R_D = L/(C·r) = Q²·r
Afname van de amplitude: e^−Rt/(2L)

Methode

Zoek eerst de resonantiefrequentie: ω₀ = 1/√(LC) en f₀ = ω₀/(2π).
Bepaal of de schakeling serie of parallel is: serie Q = (1/R)√(L/C), parallel Q = R√(C/L).
Gebruik BW = f₀/Q voor de bandbreedte, of de snelle formules R/(2πL) (serie) en 1/(2πRC) (parallel).
Gebruik bij energievragen dat de totale energie ½CV₀² in een ideale LC-schakeling constant blijft en elke kwartperiode heen en weer gaat tussen C en L.

Draaistroomvermogen

Sterschakeling (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Driehoekschakeling (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Totaal werkelijk vermogen: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Schijnbaar vermogen en blindvermogen: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Compensatiecondensatoren: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Spanning over elke condensator: Δ: V_L Y: V_L/√3
Opgenomen motorvermogen: P_in = P_out/η

RC- en RL-schakelverschijnselen

Tijdconstante: τ = RC | τ = L/R
Respons: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Condensator bij gelijkstroom: open klemmen; v_C kan niet verspringen
Spoel bij gelijkstroom: kortsluiting; i_L kan niet verspringen
Eindtoestand: t ≈ 5τ

Methode

Bepaal de beginwaarde vlak na het schakelen: een condensatorspanning en een spoelstroom kunnen niet verspringen.
Bepaal de eindwaarde lang na het schakelen: een condensator gedraagt zich als een open keten, een spoel als een kortsluiting.
Bepaal de tijdconstante: τ = RC of τ = L/R, met de weerstand die de condensator of spoel ziet.
Gebruik x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Thévenin en Norton

Thévenin-spanning: V_th = V_{open circuit}
Thévenin-weerstand: R_th: alle bronnen uit, gezien vanaf a–b
Norton-stroom: I_N = V_th/R_th
Belastingsstroom: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Maximale vermogensoverdracht: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Methode

Haal de belasting weg en markeer de twee klemmen a en b.
Bepaal de openklemspanning tussen a en b: dit is V_th.
Schakel alle onafhankelijke bronnen uit en bepaal de weerstand gezien vanaf a–b: dit is R_th.
Zet de belasting terug op het vervangingsschema: V_th in serie met R_th.
Reken voor het Norton-equivalent om: I_N = V_th/R_th, met R_N = R_th parallel.

2Oefenopgaven

1.Complexe getallenGemiddeld

Schrijf z = 4 + j6 in exponentiële vorm r·e^jθ. Geef θ in radialen, tussen −π en π.

z = 4 + j6

θ = rad

2.Complexe getallenMoeilijk

Los z² − 2z + 7,25 = 0 op. De wortels zijn a ± jb; bepaal het reële deel a.

p = −2q = 7,25

a =

3.Wisselstroomimpedantie en fasorenGemiddeld

Een serie-RLC-schakeling is aangesloten op een voeding van 100 V (rms), 200 Hz. Vind de effectieve stroom I.

V = 100 V (rms)f = 200 HzR = 50 ΩL = 200 mHC = 10 µF

I = A

4.Wisselstroomimpedantie en fasorenMoeilijk

Een serie-RLC-schakeling is aangesloten op een voeding van 120 V (rms), 100 Hz. Vind de effectieve stroom I.

V = 120 V (rms)f = 100 HzR = 30 ΩL = 150 mHC = 10 µF

I = A

5.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactorGemiddeld

Een inductieve belasting neemt 6 A en 864 W op uit een eenfasige voeding van 240 V (rms). Modelleer haar als een weerstand R in serie met een reactantie X. Vind X.

V = 240 VI = 6 AP = 864 W

X = Ω

6.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactorMoeilijk

Een eenfasige belasting neemt 50 kW op bij een inductieve arbeidsfactor van 0,7 uit een voeding van 240 V, 50 Hz. Een parallel geschakelde condensator verhoogt de arbeidsfactor tot 0,9. Vind de benodigde capaciteit C.

P = 50 kWpf₁ = 0,7pf₂ = 0,9V = 240 Vf = 50 Hz

C = µF

7.LC-resonantie, Q-factor en bandbreedteGemiddeld

Een serie-RLC-schakeling resoneert bij 50 kHz met Q = 5. Bepaal de onderste halfvermogensfrequentie f₁ exact, in kHz.

f₀ = 50 kHzQ = 5

f₁ = kHz

8.LC-resonantie, Q-factor en bandbreedteMoeilijk

Een serieresonantiekring gebruikt een spoel van 10 mH. Welke totale serieweerstand R geeft een bandbreedte van 5 kHz?

L = 10 mHBW = 5 kHz

R = Ω

9.DraaistroomvermogenGemiddeld

Een symmetrische driefasige belasting neemt een lijnstroom van 120 A op uit een net met een lijnspanning van 480 V. De arbeidsfactor is 0,75 inductief. Vind het totale werkelijk vermogen P dat de belasting opneemt, in kW.

V_L = 480 VI_L = 120 Acos φ = 0,75

P = kW

10.DraaistroomvermogenMoeilijk

Een symmetrische driefasige belasting neemt 75 kW op bij een inductieve arbeidsfactor van 0,72 uit een net van 400 V (lijnspanning), 60 Hz. Een driefasige condensatorbank parallel aan de belasting moet de totale arbeidsfactor verhogen tot 0,98 inductief. Het werkelijk vermogen blijft gelijk. De condensatoren zijn in driehoek geschakeld. Vind de capaciteit C_ph van elke condensator in µF.

P = 75 kWpf₁ = 0,72pf₂ = 0,98V_L = 400 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

11.RC- en RL-schakelverschijnselenGemiddeld

De spoel voert een constante stroom van 2 A. Op t = 0 sluit de schakelaar de kring via R en wordt de bron verwijderd, zodat de spoelstroom via R uitdooft. Hoe lang duurt het voordat de stroom gedaald is tot 0,5 A? Vind t.

i(0) = 2 AR = 33 ΩL = 33 mH

t = ms

12.RC- en RL-schakelverschijnselenMoeilijk

Een timer begint op t = 0 een ongeladen condensator via een weerstand op te laden uit een voeding van 12 V. Hij moet schakelen als de condensatorspanning 7,58 V bereikt, precies 200 ms na de start. Vind met C = 47 µF de benodigde weerstand R.

V_s = 12 VV_th = 7,58 VT = 200 msC = 47 µF

R = kΩ

13.Thévenin en NortonGemiddeld

Vind de Norton-stroom I_N: de stroom die van a naar b loopt als de klemmen kortgesloten zijn.

V₁ = 30 VR₁ = 15 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 4 Ω

I_N = A

14.Thévenin en NortonMoeilijk

Vind de Norton-stroom I_N: de stroom die van a naar b loopt als de klemmen kortgesloten zijn.

V₁ = 6 VI_s = 1,5 AR₁ = 4 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 3 Ω

I_N = A

15.Bodediagrammen en margesGemiddeld

Het getoonde RC-hoogdoorlaatfilter heeft R = 10 kΩ, C = 100 nF. Er wordt een sinusvormige ingang van 1,6 kHz aangelegd. Bepaal de faseverschuiving φ van v_out ten opzichte van v_in, in graden.

R = 10 kΩC = 100 nFf = 1,6 kHz

φ = °

16.Bodediagrammen en margesMoeilijk

Een lus met eenheidsterugkoppeling heeft de open-lus-overdrachtsfunctie L(s) = 1080/(s(s + 20)). Bepaal de fasemarge PM in graden.

L(s) = 1080/(s(s + 20))

PM = °

3Oplossingen

1.Complexe getallen

Antwoord: θ = 0,9828 rad

Poolvorm: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, met r = |z| en θ = arg z. Terug naar de rechthoekige vorm: a = r cos θ, b = r sin θ. Voor het argument is het kwadrant nodig: θ = atan(b/a) alleen als a > 0; voor a < 0 tel je 180° op of trek je 180° af. In poolvorm is vermenigvuldigen eenvoudig: vermenigvuldig de moduli en tel de argumenten op; bij delen deel je de moduli en trek je de argumenten af.

Modulus

r = √(16 + 36) = 7,211

Argument in radialen

θ = 56,31° = 56,31·π/180 = 0,9828 rad

Exponentiële vorm

z = 7,211·e^j0,9828

Antwoord

θ = 0,9828 rad

2.Complexe getallen

Antwoord: a = 1

De Moivre en wortels: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. De vergelijking zⁿ = R∠φ heeft precies n wortels, allemaal met modulus R^1/n, bij de argumenten (φ + 360°·k)/n voor k = 0, 1, …, n − 1: ze liggen gelijkmatig verdeeld op een cirkel, 360°/n uit elkaar. Een kwadratische vergelijking z² + pz + q = 0 met p² < 4q heeft de complexe wortels z = −p/2 ± j√(q − p²/4); een polynoom met reële coëfficiënten heeft zijn complexe wortels altijd in geconjugeerde paren a ± jb.

Discriminant

p² − 4q = 4 − 29 = −25 < 0

Abc-formule

z = (2 ± j√25)/2 = 1 + j2,5, 1 − j2,5

Antwoord

a = 1

Antwoord

a = 1

3.Wisselstroomimpedantie en fasoren

Antwoord: I = 0,559 A

Wisselstroom met fasoren: weerstanden, spoelen en condensatoren hebben impedanties R, jωL en 1/(jωC), met ω = 2πf. In serie tellen impedanties op zoals weerstanden, maar dan als complexe getallen. Effectieve stroom en spanning volgen de wet van Ohm met |Z|.

Reactanties

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,2 = 251,3 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·10·10⁻⁶) = 79,58 Ω

Impedantie

In serie tellen impedanties op als complexe getallen: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(50² + (171,7)²) = 178,9 Ω

Stroom

Door elk element van een serieschakeling loopt dezelfde stroom.

I = V/|Z| = 100/178,9 = 0,559 A

Antwoord

I = 0,559 A

4.Wisselstroomimpedantie en fasoren

Antwoord: I = 1,678 A

Reactanties

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s

X_L = ωL = 628,3·0,15 = 94,25 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628,3·10·10⁻⁶) = 159,2 Ω

Impedantie

In serie tellen impedanties op als complexe getallen: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(30² + (−64,91)²) = 71,5 Ω

Stroom

Door elk element van een serieschakeling loopt dezelfde stroom.

I = V/|Z| = 120/71,5 = 1,678 A

Antwoord

I = 1,678 A

5.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor

Antwoord: X = 32 Ω

Wisselstroomvermogen: het schijnbaar vermogen S = V·I (VA) splitst zich in werkelijk vermogen P = S·cos φ (W), dat nuttig werk doet, en blindvermogen Q = S·sin φ (var), dat heen en weer gaat tussen bron en belasting. De arbeidsfactor is cos φ. Een condensator parallel levert blindvermogen ter plaatse, dus de lijnstroom daalt bij hetzelfde werkelijk vermogen.

Weerstand uit het werkelijk vermogen

R = P/I² = 864/6² = 24 Ω

Reactantie uit de impedantie

|Z| = V/I = 240/6 = 40 Ω

X = √(|Z|² − R²) = √(40² − 24²) = 32 Ω

Antwoord

X = 32 Ω

6.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor

Antwoord: C = 1481 µF

Blindvermogen voor en na

Het werkelijk vermogen P verandert niet; alleen het blindvermogen uit het net verandert.

Q₁ = P·tan φ₁ = 50·tan(45,57°) = 51,01 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 50·tan(25,84°) = 24,22 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 26,79 kvar

Capaciteit

Een condensator over de voeding levert Q = V²·ωC.

C = Q_C/(2πf·V²) = 26794/(2π·50·240²) = 1481 µF

Antwoord

C = 1481 µF

7.LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte

Antwoord: f₁ = 45,25 kHz

Q-factor en bandbreedte: in een resonantiekring is Q = 2π·(opgeslagen energie)/(verloren energie per periode). Voor serie-RLC is Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C); voor parallel-RLC is Q = R/(ω₀L) = R√(C/L). De bandbreedte tussen de halfvermogensfrequenties f₁ en f₂ (waar het vermogen de helft is en de stroom of spanning 1/√2 van de piekwaarde) is BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, dat is R/(2πL) in serie en 1/(2πRC) parallel. De resonantiefrequentie is het meetkundig gemiddelde f₀ = √(f₁f₂), en f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Verliezen laten de trilling ook uitdoven: in serie-RLC neemt de amplitude af als e^−Rt/(2L).

Wortelterm

√(1 + 1/(4·5²)) = 1,005

Onderste halfvermogensfrequentie

f₁ = 50000·(1,005 − 0,1) = 45249 Hz = 45,25 kHz

Antwoord

f₁ = 45,25 kHz

De bovenste is f₂ = 55,25 kHz; controle: f₂ − f₁ = 10 kHz = f₀/Q.

8.LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte

Antwoord: R = 314,2 Ω

Seriebandbreedte

BW = R/(2πL)

Weerstand

R = 2π·0,01·5000 = 314,2 Ω

Antwoord

R = 314,2 Ω

9.Draaistroomvermogen

Antwoord: P = 74,82 kW

Schijnbaar vermogen

S = √3·V_L·I_L = √3·480·120 = 99,77 kVA

Werkelijk vermogen

P = S·cos φ = 99,77·0,75 = 74,82 kW

Antwoord

P = 74,82 kW

10.Draaistroomvermogen

Antwoord: C_ph = 315,3 µF

Symmetrische draaistroomsystemen: in een Y-schakeling (ster) is de lijnspanning √3 keer de fasespanning, V_L = √3·V_ph, en is de lijnstroom gelijk aan de fasestroom. In een Δ-schakeling (driehoek) is de lijnspanning gelijk aan de fasespanning en is de lijnstroom √3 keer de fasestroom, I_L = √3·I_ph. Het totale vermogen is drie keer het vermogen van één fase: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Arbeidsfactorcompensatie: condensatoren leveren blindvermogen ter plaatse, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Elk van de drie condensatoren levert Q_C/3 = V²·ω·C, waarbij V de spanning over die condensator is: V_L in een driehoeksbank, V_L/√3 in een sterbank.

Blindvermogen voor en na

Het werkelijk vermogen verandert niet, dus elke arbeidsfactor legt het blindvermogen vast: Q = P·tan φ.

Q₁ = 75·tan(acos 0,72) = 75·0,9639 = 72,29 kvar

Q₂ = 75·tan(acos 0,98) = 75·0,2031 = 15,23 kvar

Blindvermogen van de condensatoren

Q_C = Q₁ − Q₂ = 57,06 kvar

Capaciteit per fase

In een driehoeksbank is elke condensator aangesloten tussen twee lijnen.

V = 400 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 19020/(377·400²) = 315,3 µF

Antwoord

C_ph = 315,3 µF

11.RC- en RL-schakelverschijnselen

Antwoord: t = 1,386 ms

Eerste-orde schakelverschijnselen: in een schakeling met één condensator of één spoel gaat elke spanning en stroom exponentieel van de beginwaarde naar de eindwaarde: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, met τ = RC of τ = L/R. Na ongeveer 5τ is de schakeling uitgeslingerd.

Tijdconstante

τ = L/R = 33 mH / 33 Ω = 1 ms

Los op naar de tijd

0,5 = 2·e^−t/τ → t = τ·ln(2/0,5)

t = 1·ln(4) = 1,386 ms

Antwoord

t = 1,386 ms

12.RC- en RL-schakelverschijnselen

Antwoord: R = 4,261 kΩ

Benodigde tijdconstante

7,58 = 12·(1 − e^−200/τ) → τ = 200/ln(12/(12 − 7,58))

τ = 200/0,9988 = 200,2 ms

Weerstand

kΩ maal µF geeft milliseconden.

R = τ/C = 200,2/47 = 4,261 kΩ

Antwoord

R = 4,261 kΩ

13.Thévenin en Norton

Antwoord: I_N = 0,7692 A

Stelling van Thévenin: elk lineair tweepoolnetwerk gedraagt zich als één spanningsbron V_th in serie met een weerstand R_th. De stelling van Norton geeft hetzelfde netwerk als een stroombron I_N = V_th/R_th parallel aan R_th.

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vervang spanningsbronnen door kortsluitingen en stroombronnen door open circuits, en kijk dan vanaf a–b de schakeling in.

R₁ ∥ R₂ = 15·3/(15+3) = 2,5 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2,5 + 4 = 6,5 Ω

Vind V_th, de openklemspanning

Met a–b open loopt er geen stroom door R₃, dus er valt geen spanning over en V_b = V_A. R₁ en R₂ vormen een spanningsdeler.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 30·3/(15+3) = 5 V

Norton-equivalent

Een Norton-bron is dezelfde schakeling, gezien als een stroombron parallel aan R_th. De stroom is de kortsluitstroom tussen a–b.

I_N = V_th/R_th = 5/6,5 = 0,7692 A

14.Thévenin en Norton

Antwoord: I_N = 2,25 A

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vervang spanningsbronnen door kortsluitingen en stroombronnen door open circuits, en kijk dan vanaf a–b de schakeling in.

R₁ ∥ R₂ = 4·12/(4+12) = 3 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3 + 3 = 6 Ω

Vind V_th, de openklemspanning

Met a–b open is het enige pad voor Iₛ via R₃ naar knooppunt A. Vind V_A met superpositie van V₁ en Iₛ, en tel dan de spanningsval over R₃ erbij op.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 4,5 + 1,5·3 = 9 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 9 + 1,5·3 = 13,5 V

Norton-equivalent

Een Norton-bron is dezelfde schakeling, gezien als een stroombron parallel aan R_th. De stroom is de kortsluitstroom tussen a–b.

I_N = V_th/R_th = 13,5/6 = 2,25 A

15.Bodediagrammen en marges

Antwoord: φ = 5,681 °

Frequentierespons: substitueer s = jω in de overdrachtsfunctie. De grootte in decibel is 20·log₁₀|H(jω)| en de fase is de som van de hoeken van de tellerfactoren min die van de noemerfactoren. Een eerste-orde RC- of RL-filter heeft zijn kantelfrequentie (−3 dB) bij ω_c = 1/(RC) of R/L, en f_c = ω_c/(2π); een laagdoorlaatfilter geeft |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) en φ = −atan(ω/ω_c). In het asymptotische (rechte-lijn-)Bodediagram buigt elke pool de grootte met 20 dB/decade omlaag bij zijn kantelfrequentie, buigt elk nulpunt haar met 20 dB/decade omhoog, en geeft een integrator 1/s −20 dB/decade bij alle frequenties. Versterkingsdoorsnijding ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); fasemarge PM = 180° + ∠L(jω_c). Faseomslag ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; versterkingsmarge GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. De gesloten lus is stabiel als beide marges positief zijn.

Kantelfrequentie

ω_c = 1/(RC) = 1/(10000·1 × 10⁻⁷) = 1000 rad/s

f_c = 159,2 Hz → f/f_c = 1600/159,2 = 10,05

Fase

φ = 90° − atan(10,05) = 5,681°

Antwoord

φ = 5,681°

16.Bodediagrammen en marges

Antwoord: PM = 33,71 °

Versterkingsdoorsnijding

ω⁴ + 400ω² − 1,166 × 10⁶ = 0

ω² = (−400 + √(160000 + 4·1,166 × 10⁶))/2 = 898,4

ω_c = 29,97 rad/s

Fasemarge

∠L(jω_c) = −90° − atan(29,97/20) = −146,3°

PM = 180° + ∠L = 33,71°

Antwoord

PM = 33,71°

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

Netwerkanalyse 2: wisselstroomschakelingen: samenvattingspakket

1Formules en methoden

Complexe getallen

Methode

Wisselstroomimpedantie en fasoren

Methode

Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor

LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte

Methode

Draaistroomvermogen

RC- en RL-schakelverschijnselen

Methode

Thévenin en Norton

Methode

2Oefenopgaven

3Oplossingen

Modulus

Argument in radialen

Exponentiële vorm

Antwoord

Discriminant

Abc-formule

Antwoord

Antwoord

Reactanties

Impedantie

Stroom

Antwoord

Reactanties

Impedantie

Stroom

Antwoord

Weerstand uit het werkelijk vermogen

Reactantie uit de impedantie

Antwoord

Blindvermogen voor en na

Capaciteit

Antwoord

Wortelterm

Onderste halfvermogensfrequentie

Antwoord

Seriebandbreedte

Weerstand

Antwoord

Schijnbaar vermogen

Werkelijk vermogen

Antwoord

Blindvermogen voor en na

Blindvermogen van de condensatoren

Capaciteit per fase

Antwoord

Tijdconstante

Los op naar de tijd

Antwoord

Benodigde tijdconstante

Weerstand

Antwoord

Vind Rth met alle bronnen uitgeschakeld

Vind Vth, de openklemspanning

Norton-equivalent

Vind Rth met alle bronnen uitgeschakeld

Vind Vth, de openklemspanning

Norton-equivalent

Kantelfrequentie

Fase

Antwoord

Versterkingsdoorsnijding

Fasemarge

Antwoord

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vind V_th, de openklemspanning

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vind V_th, de openklemspanning