Netwerkanalyse 2: wisselstroomschakelingen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 16 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Complexe getallen

Rechthoekige vorm: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Modulus en argument: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Poolvorm en exponentiële vorm: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Deling: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Product en quotiënt: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
De Moivre: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n-de machtswortels: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Kwadratische vergelijking met p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Methode

Bepaal welke vorm bij de bewerking past: rechthoekig a + jb voor optellen en aftrekken, pool r∠θ voor vermenigvuldigen, delen, machten en wortels.
Werk uit met j² = −1; deel door teller en noemer te vermenigvuldigen met de geconjugeerde van de noemer.
Reken om met r = √(a² + b²) en θ uit een schets van het punt (controleer het kwadrant), en terug met a = r cos θ, b = r sin θ.
Gebruik voor machten De Moivre, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; noteer voor zⁿ = R∠φ alle n wortels R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Wisselstroomimpedantie en fasoren

Impedanties: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Hoekfrequentie: ω = 2πf
Modulus en hoek: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Wet van Ohm met fasoren: V = I·Z

Methode

Reken de frequentie om: ω = 2πf.
Bereken elke reactantie: X_L = ωL en X_C = 1/(ωC).
Tel impedanties op zoals weerstanden, met Z = R + jX.
Bereken de grootte |Z| = √(R² + X²) en de hoek φ = atan(X/R), en gebruik daarna de wet van Ohm met fasoren.

Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor

Werkelijk vermogen: P = V·I·cos φ
Blindvermogen: Q = V·I·sin φ
Schijnbaar vermogen: S = V·I = √(P² + Q²)
Arbeidsfactor: pf = cos φ = P/S
Compensatiecondensator: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte

Eigenfrequentie: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
Energie: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
Piekstroom: I_max = V₀√(C/L)
Kwaliteitsfactor: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
Serie-RLC: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
Parallel-RLC: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
Bandbreedte: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
Halfvermogensfrequenties: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
Tank met spoelweerstand r: R_D = L/(C·r) = Q²·r
Afname van de amplitude: e^−Rt/(2L)

Methode

Zoek eerst de resonantiefrequentie: ω₀ = 1/√(LC) en f₀ = ω₀/(2π).
Bepaal of de schakeling serie of parallel is: serie Q = (1/R)√(L/C), parallel Q = R√(C/L).
Gebruik BW = f₀/Q voor de bandbreedte, of de snelle formules R/(2πL) (serie) en 1/(2πRC) (parallel).
Gebruik bij energievragen dat de totale energie ½CV₀² in een ideale LC-schakeling constant blijft en elke kwartperiode heen en weer gaat tussen C en L.

Draaistroomvermogen

Sterschakeling (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Driehoekschakeling (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Totaal werkelijk vermogen: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Schijnbaar vermogen en blindvermogen: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Compensatiecondensatoren: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Spanning over elke condensator: Δ: V_L Y: V_L/√3
Opgenomen motorvermogen: P_in = P_out/η

RC- en RL-schakelverschijnselen

Tijdconstante: τ = RC | τ = L/R
Respons: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Condensator bij gelijkstroom: open klemmen; v_C kan niet verspringen
Spoel bij gelijkstroom: kortsluiting; i_L kan niet verspringen
Eindtoestand: t ≈ 5τ

Methode

Bepaal de beginwaarde vlak na het schakelen: een condensatorspanning en een spoelstroom kunnen niet verspringen.
Bepaal de eindwaarde lang na het schakelen: een condensator gedraagt zich als een open keten, een spoel als een kortsluiting.
Bepaal de tijdconstante: τ = RC of τ = L/R, met de weerstand die de condensator of spoel ziet.
Gebruik x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Thévenin en Norton

Thévenin-spanning: V_th = V_{open circuit}
Thévenin-weerstand: R_th: alle bronnen uit, gezien vanaf a–b
Norton-stroom: I_N = V_th/R_th
Belastingsstroom: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Maximale vermogensoverdracht: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Methode

Haal de belasting weg en markeer de twee klemmen a en b.
Bepaal de openklemspanning tussen a en b: dit is V_th.
Schakel alle onafhankelijke bronnen uit en bepaal de weerstand gezien vanaf a–b: dit is R_th.
Zet de belasting terug op het vervangingsschema: V_th in serie met R_th.
Reken voor het Norton-equivalent om: I_N = V_th/R_th, met R_N = R_th parallel.

2Oefenopgaven

1.Complexe getallenGemiddeld

Schrijf z = 3∠50° in rechthoekige vorm a + jb en geef het imaginaire deel b.

r = 3θ = 50°

b =

2.Complexe getallenMoeilijk

De wortels van zⁿ = w met n = 4 en w = 16∠90° zijn z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0, 1, 2, 3. Bepaal het reële deel van z₂.

w = 16∠90°n = 4k = 2

Re(z₂) =

3.Wisselstroomimpedantie en fasorenGemiddeld

Een weerstand en een spoel zijn parallel aangesloten op een voeding van 120 V (rms), 500 Hz. Vind de fasehoek φ van de impedantie, in graden (positief als de stroom achterloopt op de spanning).

V = 120 V (rms)f = 500 HzR = 80 ΩL = 100 mH

φ = °

4.Wisselstroomimpedantie en fasorenMoeilijk

Een serie-RLC-schakeling heeft R = 5 Ω, L = 20 mH en C = 0,047 µF. Vind de bandbreedte B (de breedte van de band tussen de halfvermogensfrequenties), in Hz.

R = 5 ΩL = 20 mHC = 0,047 µF

B = Hz

5.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactorGemiddeld

Een eenfasige motor neemt 19 kW op bij een inductieve arbeidsfactor van 0,9 uit een voeding van 400 V. Vind de lijnstroom I.

P = 19 kWpf = 0,9V = 400 V

I = A

6.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactorMoeilijk

Een eenfasige belasting neemt 5 kW op bij een inductieve arbeidsfactor van 0,65 uit een voeding van 230 V, 50 Hz. Een parallel geschakelde condensator verhoogt de arbeidsfactor tot 0,98. Vind het blindvermogen Q_C dat de condensator moet leveren.

P = 5 kWpf₁ = 0,65pf₂ = 0,98V = 230 Vf = 50 Hz

Q_C = kvar

7.LC-resonantie, Q-factor en bandbreedteGemiddeld

Een serie-RLC-schakeling heeft R = 2 Ω, L = 4,7 mH en C = 47 nF. Bepaal zijn bandbreedte BW in Hz.

R = 2 ΩL = 4,7 mHC = 47 nF

BW = Hz

8.LC-resonantie, Q-factor en bandbreedteMoeilijk

Een serieresonantiekring gebruikt een spoel van 4,7 mH. Welke totale serieweerstand R geeft een bandbreedte van 100 kHz?

L = 4,7 mHBW = 100 kHz

R = Ω

9.DraaistroomvermogenGemiddeld

Een driefasige inductiemotor levert bij vollast 90 kW mechanisch vermogen. Bij deze belasting is het rendement 88% en de arbeidsfactor 0,86 inductief. Het net heeft een lijnspanning van 480 V. Vind de lijnstroom I_L.

P_out = 90 kWη = 88%cos φ = 0,86V_L = 480 V

I_L = A

10.DraaistroomvermogenMoeilijk

Een symmetrische driefasige belasting neemt 120 kW op bij een inductieve arbeidsfactor van 0,65 uit een net van 690 V (lijnspanning), 60 Hz. Een driefasige condensatorbank parallel aan de belasting moet de totale arbeidsfactor verhogen tot 0,95 inductief. Het werkelijk vermogen blijft gelijk. De condensatoren zijn in driehoek geschakeld. Vind de capaciteit C_ph van elke condensator in µF.

P = 120 kWpf₁ = 0,65pf₂ = 0,95V_L = 690 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

11.RC- en RL-schakelverschijnselenGemiddeld

De spoel voert geen stroom voordat de schakelaar op t = 0 sluit. Vind de stroom i op t = 1 ms.

V_s = 15 VR = 10 ΩL = 10 mHt = 1 ms

i = A

12.RC- en RL-schakelverschijnselenMoeilijk

De schakelaar is al lang gesloten, dus de schakeling is in de stationaire toestand. Op t = 0 gaat de schakelaar open. Vind de stroom i₂ door R₂ op t = 300 ms.

V_s = 12 VR₁ = 6,8 kΩR₂ = 6,8 kΩC = 22 µFt = 300 ms

i₂ = mA

13.Thévenin en NortonGemiddeld

Vind de Norton-stroom I_N: de stroom die van a naar b loopt als de klemmen kortgesloten zijn.

V₁ = 18 VR₁ = 12 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 6 Ω

I_N = A

14.Thévenin en NortonMoeilijk

Een belasting R_L = 6 Ω is aangesloten over a–b. Vervang de rest van de schakeling door het Thévenin-equivalent en vind de belastingsstroom I_L.

V₁ = 30 VI_s = 6 AR₁ = 12 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 30 ΩR_L = 6 Ω

I_L = A

15.Bodediagrammen en margesGemiddeld

Bepaal de fase ∠G(jω) van G(s) = 50(s + 4)/(s(s + 9)) bij ω = 5 rad/s, in graden.

G(s) = 50(s + 4)/(s(s + 9))ω = 5 rad/s

∠G(jω) = °

16.Bodediagrammen en margesMoeilijk

Een lus met eenheidsterugkoppeling heeft de open-lus-overdrachtsfunctie L(s) = 10/(s(s + 1)(s + 9)). Bepaal de versterkingsmarge GM in dB.

L(s) = 10/(s(s + 1)(s + 9))

GM = dB

3Oplossingen

1.Complexe getallen

Antwoord: b = 2,298

Poolvorm: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, met r = |z| en θ = arg z. Terug naar de rechthoekige vorm: a = r cos θ, b = r sin θ. Voor het argument is het kwadrant nodig: θ = atan(b/a) alleen als a > 0; voor a < 0 tel je 180° op of trek je 180° af. In poolvorm is vermenigvuldigen eenvoudig: vermenigvuldig de moduli en tel de argumenten op; bij delen deel je de moduli en trek je de argumenten af.

Componenten

a = 3·cos(50°) = 1,928

b = 3·sin(50°) = 2,298

Rechthoekige vorm

z = 1,928 + j2,298

b = 2,298

Antwoord

b = 2,298

2.Complexe getallen

Antwoord: Re(z₂) = −1,848

De Moivre en wortels: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. De vergelijking zⁿ = R∠φ heeft precies n wortels, allemaal met modulus R^1/n, bij de argumenten (φ + 360°·k)/n voor k = 0, 1, …, n − 1: ze liggen gelijkmatig verdeeld op een cirkel, 360°/n uit elkaar. Een kwadratische vergelijking z² + pz + q = 0 met p² < 4q heeft de complexe wortels z = −p/2 ± j√(q − p²/4); een polynoom met reële coëfficiënten heeft zijn complexe wortels altijd in geconjugeerde paren a ± jb.

Modulus van de wortels

16^1/4 = 2

Argument van de wortel

θ₂ = (90° + 360°·2)/4 = 202,5° → −157,5°

Rechthoekige vorm

z₂ = 2·(cos −157,5° + j sin −157,5°) = −1,848 − j0,7654

Re(z₂) = −1,848

Antwoord

Re(z₂) = −1,848

De 4 wortels liggen op de cirkel met straal 2, 90° uit elkaar.

3.Wisselstroomimpedantie en fasoren

Antwoord: φ = 14,29 °

Wisselstroom met fasoren: weerstanden, spoelen en condensatoren hebben impedanties R, jωL en 1/(jωC), met ω = 2πf. In serie tellen impedanties op zoals weerstanden, maar dan als complexe getallen. Effectieve stroom en spanning volgen de wet van Ohm met |Z|.

Reactantie

X_L = ωL = 2π·500·0,1 = 314,2 Ω

Takstromen

Beide takken zijn rechtstreeks op de voeding aangesloten, dus elke tak krijgt de volle spanning V.

I_R = V/R = 120/80 = 1,5 A

I_X = V/X_L = 120/314,2 = 0,382 A

Totale stroom

De stroom door de weerstand is in fase met V en de reactieve stroom is 90° uit fase, dus ze tellen op als de zijden van een rechthoekige driehoek.

I = √(I_R² + I_X²) = √(1,5² + 0,382²) = 1,548 A

Fasehoek

De spoelstroom ijlt na op V, dus de totale stroom ijlt na en de hoek is positief.

φ = arctan(I_X/I_R) = arctan(0,382/1,5) = 14,29°

Antwoord

φ = 14,29°

4.Wisselstroomimpedantie en fasoren

Antwoord: B = 39,79 Hz

Resonantiefrequentie

f₀ = 1/(2π·√(0,02·0,047·10⁻⁶)) = 5191 Hz

Kwaliteitsfactor

Q vergelijkt de reactantie bij resonantie met de weerstand: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/5)·√(0,02/(0,047·10⁻⁶)) = 130,5

Bandbreedte

B = f₀/Q = 5191/130,5 = 39,79 Hz

Antwoord

B = 39,79 Hz

5.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor

Antwoord: I = 52,78 A

Wisselstroomvermogen: het schijnbaar vermogen S = V·I (VA) splitst zich in werkelijk vermogen P = S·cos φ (W), dat nuttig werk doet, en blindvermogen Q = S·sin φ (var), dat heen en weer gaat tussen bron en belasting. De arbeidsfactor is cos φ. Een condensator parallel levert blindvermogen ter plaatse, dus de lijnstroom daalt bij hetzelfde werkelijk vermogen.

Lijnstroom

Alleen het werkelijke deel van het vermogen doet werk, dus deel door de arbeidsfactor.

I = P/(V·cos φ) = 19000/(400·0,9) = 52,78 A

Antwoord

I = 52,78 A

6.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor

Antwoord: Q_C = 4,83 kvar

Blindvermogen voor en na

Het werkelijk vermogen P verandert niet; alleen het blindvermogen uit het net verandert.

Q₁ = P·tan φ₁ = 5·tan(49,46°) = 5,846 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 5·tan(11,48°) = 1,015 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 4,83 kvar

Antwoord

Q_C = 4,83 kvar

7.LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte

Antwoord: BW = 67,73 Hz

Q-factor en bandbreedte: in een resonantiekring is Q = 2π·(opgeslagen energie)/(verloren energie per periode). Voor serie-RLC is Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C); voor parallel-RLC is Q = R/(ω₀L) = R√(C/L). De bandbreedte tussen de halfvermogensfrequenties f₁ en f₂ (waar het vermogen de helft is en de stroom of spanning 1/√2 van de piekwaarde) is BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, dat is R/(2πL) in serie en 1/(2πRC) parallel. De resonantiefrequentie is het meetkundig gemiddelde f₀ = √(f₁f₂), en f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Verliezen laten de trilling ook uitdoven: in serie-RLC neemt de amplitude af als e^−Rt/(2L).

Bandbreedte in rad/s

R/L = 2/0,0047 = 425,5 rad/s

Bandbreedte in Hz

BW = 425,5/(2π) = 67,73 Hz = 67,73 Hz

Antwoord

BW = 67,73 Hz

Met f₀ = 10,71 kHz geeft dit Q = 158,1.

8.LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte

Antwoord: R = 2953 Ω

Seriebandbreedte

BW = R/(2πL)

Weerstand

R = 2π·0,0047·100000 = 2953 Ω

Antwoord

R = 2953 Ω

9.Draaistroomvermogen

Antwoord: I_L = 143 A

Opgenomen elektrisch vermogen

P_in = P_out/η = 90/0,88 = 102,3 kW

Lijnstroom

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 102273/(√3·480·0,86) = 143 A

Antwoord

I_L = 143 A

10.Draaistroomvermogen

Antwoord: C_ph = 187,3 µF

Symmetrische draaistroomsystemen: in een Y-schakeling (ster) is de lijnspanning √3 keer de fasespanning, V_L = √3·V_ph, en is de lijnstroom gelijk aan de fasestroom. In een Δ-schakeling (driehoek) is de lijnspanning gelijk aan de fasespanning en is de lijnstroom √3 keer de fasestroom, I_L = √3·I_ph. Het totale vermogen is drie keer het vermogen van één fase: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Arbeidsfactorcompensatie: condensatoren leveren blindvermogen ter plaatse, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Elk van de drie condensatoren levert Q_C/3 = V²·ω·C, waarbij V de spanning over die condensator is: V_L in een driehoeksbank, V_L/√3 in een sterbank.

Blindvermogen voor en na

Het werkelijk vermogen verandert niet, dus elke arbeidsfactor legt het blindvermogen vast: Q = P·tan φ.

Q₁ = 120·tan(acos 0,65) = 120·1,169 = 140,3 kvar

Q₂ = 120·tan(acos 0,95) = 120·0,3287 = 39,44 kvar

Blindvermogen van de condensatoren

Q_C = Q₁ − Q₂ = 100,9 kvar

Capaciteit per fase

In een driehoeksbank is elke condensator aangesloten tussen twee lijnen.

V = 690 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 33618/(377·690²) = 187,3 µF

Antwoord

C_ph = 187,3 µF

11.RC- en RL-schakelverschijnselen

Antwoord: i = 0,9482 A

Eerste-orde schakelverschijnselen: in een schakeling met één condensator of één spoel gaat elke spanning en stroom exponentieel van de beginwaarde naar de eindwaarde: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, met τ = RC of τ = L/R. Na ongeveer 5τ is de schakeling uitgeslingerd.

Tijdconstante en eindstroom

Lang na het sluiten van de schakelaar gedraagt de spoel zich als een kortsluiting, dus de eindstroom wordt alleen door R bepaald.

τ = L/R = 10 mH / 10 Ω = 1 ms

i(∞) = V_s/R = 15/10 = 1,5 A

Stroom op het gegeven tijdstip

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 1,5·(1 − e^−1/1) = 0,9482 A

Antwoord

i = 0,9482 A

12.RC- en RL-schakelverschijnselen

Antwoord: i₂ = 0,1188 mA

Beginspanning van de condensator

In de stationaire toestand is de condensator een open circuit, dus R₁ en R₂ vormen een spanningsdeler. De condensatorspanning kan niet verspringen als de schakelaar opent.

v_C(0) = 12·6,8/(6,8 + 6,8) = 6 V

Tijdconstante nadat de schakelaar opent

τ = R₂·C = 6,8·22 = 149,6 ms

Ontlading

v_C(t) = 6·e^−300/149,6 = 0,8077 V

i₂ = v_C/R₂ = 0,8077/6,8 = 0,1188 mA

Antwoord

i₂ = 0,1188 mA

13.Thévenin en Norton

Antwoord: I_N = 0,6667 A

Stelling van Thévenin: elk lineair tweepoolnetwerk gedraagt zich als één spanningsbron V_th in serie met een weerstand R_th. De stelling van Norton geeft hetzelfde netwerk als een stroombron I_N = V_th/R_th parallel aan R_th.

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vervang spanningsbronnen door kortsluitingen en stroombronnen door open circuits, en kijk dan vanaf a–b de schakeling in.

R₁ ∥ R₂ = 12·8/(12+8) = 4,8 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4,8 + 6 = 10,8 Ω

Vind V_th, de openklemspanning

Met a–b open loopt er geen stroom door R₃, dus er valt geen spanning over en V_b = V_A. R₁ en R₂ vormen een spanningsdeler.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 18·8/(12+8) = 7,2 V

Norton-equivalent

Een Norton-bron is dezelfde schakeling, gezien als een stroombron parallel aan R_th. De stroom is de kortsluitstroom tussen a–b.

I_N = V_th/R_th = 7,2/10,8 = 0,6667 A

14.Thévenin en Norton

Antwoord: I_L = 5,269 A

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vervang spanningsbronnen door kortsluitingen en stroombronnen door open circuits, en kijk dan vanaf a–b de schakeling in.

R₁ ∥ R₂ = 12·4/(12+4) = 3 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3 + 30 = 33 Ω

Vind V_th, de openklemspanning

Met a–b open is het enige pad voor Iₛ via R₃ naar knooppunt A. Vind V_A met superpositie van V₁ en Iₛ, en tel dan de spanningsval over R₃ erbij op.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 7,5 + 6·3 = 25,5 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 25,5 + 6·30 = 205,5 V

Sluit de belasting aan op het Thévenin-equivalent

De Thévenin-bron en R_th in serie gedragen zich bij a–b precies als de oorspronkelijke schakeling, dus de belasting ziet een eenvoudige serielus.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 205,5/(33 + 6) = 5,269 A

15.Bodediagrammen en marges

Antwoord: ∠G(jω) = −67,71 °

Frequentierespons: substitueer s = jω in de overdrachtsfunctie. De grootte in decibel is 20·log₁₀|H(jω)| en de fase is de som van de hoeken van de tellerfactoren min die van de noemerfactoren. Een eerste-orde RC- of RL-filter heeft zijn kantelfrequentie (−3 dB) bij ω_c = 1/(RC) of R/L, en f_c = ω_c/(2π); een laagdoorlaatfilter geeft |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) en φ = −atan(ω/ω_c). In het asymptotische (rechte-lijn-)Bodediagram buigt elke pool de grootte met 20 dB/decade omlaag bij zijn kantelfrequentie, buigt elk nulpunt haar met 20 dB/decade omhoog, en geeft een integrator 1/s −20 dB/decade bij alle frequenties. Versterkingsdoorsnijding ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); fasemarge PM = 180° + ∠L(jω_c). Faseomslag ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; versterkingsmarge GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. De gesloten lus is stabiel als beide marges positief zijn.

Tel de hoeken op

∠G = atan(5/4) − 90° − atan(5/9) = 51,34° − 90° − 29,05°

Resultaat

∠G(j5) = −67,71°

Antwoord

∠G(jω) = −67,71°

16.Bodediagrammen en marges

Antwoord: GM = 19,08 dB

Faseomslag

(ω/1)·(ω/9) = 1 → ω₁₈₀ = √(1·9) = 3 rad/s

Grootte bij de faseomslag

|L(jω₁₈₀)| = K/(ω·√(ω² + 1)·√(ω² + 81)) = K/(1·9·(1 + 9)) = K/90

Versterkingsmarge

GM = 20·log₁₀(90/10) = 19,08 dB

Antwoord

GM = 19,08 dB

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

Netwerkanalyse 2: wisselstroomschakelingen: samenvattingspakket

1Formules en methoden

Complexe getallen

Methode

Wisselstroomimpedantie en fasoren

Methode

Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor

LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte

Methode

Draaistroomvermogen

RC- en RL-schakelverschijnselen

Methode

Thévenin en Norton

Methode

2Oefenopgaven

3Oplossingen

Componenten

Rechthoekige vorm

Antwoord

Modulus van de wortels

Argument van de wortel

Rechthoekige vorm

Antwoord

Reactantie

Takstromen

Totale stroom

Fasehoek

Antwoord

Resonantiefrequentie

Kwaliteitsfactor

Bandbreedte

Antwoord

Lijnstroom

Antwoord

Blindvermogen voor en na

Antwoord

Bandbreedte in rad/s

Bandbreedte in Hz

Antwoord

Seriebandbreedte

Weerstand

Antwoord

Opgenomen elektrisch vermogen

Lijnstroom

Antwoord

Blindvermogen voor en na

Blindvermogen van de condensatoren

Capaciteit per fase

Antwoord

Tijdconstante en eindstroom

Stroom op het gegeven tijdstip

Antwoord

Beginspanning van de condensator

Tijdconstante nadat de schakelaar opent

Ontlading

Antwoord

Vind Rth met alle bronnen uitgeschakeld

Vind Vth, de openklemspanning

Norton-equivalent

Vind Rth met alle bronnen uitgeschakeld

Vind Vth, de openklemspanning

Sluit de belasting aan op het Thévenin-equivalent

Tel de hoeken op

Resultaat

Antwoord

Faseomslag

Grootte bij de faseomslag

Versterkingsmarge

Antwoord

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vind V_th, de openklemspanning

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vind V_th, de openklemspanning