Bepaal welke vorm bij de bewerking past: rechthoekig a + jb voor optellen en aftrekken, pool r∠θ voor vermenigvuldigen, delen, machten en wortels.
Werk uit met j² = −1; deel door teller en noemer te vermenigvuldigen met de geconjugeerde van de noemer.
Reken om met r = √(a² + b²) en θ uit een schets van het punt (controleer het kwadrant), en terug met a = r cos θ, b = r sin θ.
Gebruik voor machten De Moivre, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; noteer voor zⁿ = R∠φ alle n wortels R1/n∠((φ + 360°k)/n).
Wisselstroomimpedantie en fasoren
Impedanties
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Hoekfrequentie
ω = 2πf
Modulus en hoek
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Wet van Ohm met fasoren
V = I·Z
Methode
Reken de frequentie om: ω = 2πf.
Bereken elke reactantie: XL = ωL en XC = 1/(ωC).
Tel impedanties op zoals weerstanden, met Z = R + jX.
Bereken de grootte |Z| = √(R² + X²) en de hoek φ = atan(X/R), en gebruik daarna de wet van Ohm met fasoren.
Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor
Werkelijk vermogen
P = V·I·cos φ
Blindvermogen
Q = V·I·sin φ
Schijnbaar vermogen
S = V·I = √(P² + Q²)
Arbeidsfactor
pf = cos φ = P/S
Compensatiecondensator
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte
Eigenfrequentie
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
Energie
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
Piekstroom
Imax = V0√(C/L)
Kwaliteitsfactor
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
Serie-RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
Parallel-RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
Bandbreedte
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
Halfvermogensfrequenties
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
Tank met spoelweerstand r
RD = L/(C·r) = Q²·r
Afname van de amplitude
e−Rt/(2L)
Methode
Zoek eerst de resonantiefrequentie: ω₀ = 1/√(LC) en f₀ = ω₀/(2π).
Bepaal of de schakeling serie of parallel is: serie Q = (1/R)√(L/C), parallel Q = R√(C/L).
Gebruik BW = f₀/Q voor de bandbreedte, of de snelle formules R/(2πL) (serie) en 1/(2πRC) (parallel).
Gebruik bij energievragen dat de totale energie ½CV₀² in een ideale LC-schakeling constant blijft en elke kwartperiode heen en weer gaat tussen C en L.
Draaistroomvermogen
Sterschakeling (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Driehoekschakeling (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Totaal werkelijk vermogen
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Schijnbaar vermogen en blindvermogen
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Compensatiecondensatoren
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Spanning over elke condensator
Δ: VL Y: VL/√3
Opgenomen motorvermogen
Pin = Pout/η
RC- en RL-schakelverschijnselen
Tijdconstante
τ = RC | τ = L/R
Respons
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Condensator bij gelijkstroom
open klemmen; vC kan niet verspringen
Spoel bij gelijkstroom
kortsluiting; iL kan niet verspringen
Eindtoestand
t ≈ 5τ
Methode
Bepaal de beginwaarde vlak na het schakelen: een condensatorspanning en een spoelstroom kunnen niet verspringen.
Bepaal de eindwaarde lang na het schakelen: een condensator gedraagt zich als een open keten, een spoel als een kortsluiting.
Bepaal de tijdconstante: τ = RC of τ = L/R, met de weerstand die de condensator of spoel ziet.
Gebruik x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.
Thévenin en Norton
Thévenin-spanning
Vth = Vopen circuit
Thévenin-weerstand
Rth: alle bronnen uit, gezien vanaf a–b
Norton-stroom
IN = Vth/Rth
Belastingsstroom
IL = Vth/(Rth + RL)
Maximale vermogensoverdracht
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)
Methode
Haal de belasting weg en markeer de twee klemmen a en b.
Bepaal de openklemspanning tussen a en b: dit is Vth.
Schakel alle onafhankelijke bronnen uit en bepaal de weerstand gezien vanaf a–b: dit is Rth.
Zet de belasting terug op het vervangingsschema: Vth in serie met Rth.
Reken voor het Norton-equivalent om: IN = Vth/Rth, met RN = Rth parallel.
2Oefenopgaven
1.Complexe getallenGemiddeld
Het getal z = 3·ej1,5 heeft zijn hoek in radialen. Bepaal het imaginaire deel b.
r = 3θ = 1,5 rad
b =
2.Complexe getallenMoeilijk
Precies één van de punten A–D is een wortel van z³ = 27∠180°. Klik erop.
w = 27∠180°n = 3
1A (3∠180°)
2B (3∠−120°)
3C (3∠−150°)
4D (5,4∠180°)
3.Wisselstroomimpedantie en fasorenGemiddeld
Een weerstand en een spoel zijn parallel aangesloten op een voeding van 100 V (rms), 60 Hz. Vind de fasehoek φ van de impedantie, in graden (positief als de stroom achterloopt op de spanning).
V = 100 V (rms)f = 60 HzR = 20 ΩL = 20 mH
φ = °
4.Wisselstroomimpedantie en fasorenMoeilijk
Een serie-RLC-schakeling is aangesloten op een voeding van 100 V (rms), 200 Hz. Vind de resonantiefrequentie f0 van de schakeling.
V = 100 V (rms)f = 200 HzR = 50 ΩL = 150 mHC = 1 µF
f0 = Hz
5.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactorGemiddeld
Een belasting met impedantie Z = 12 + j5 Ω is aangesloten op een eenfasige voeding van 230 V (rms). Vind het blindvermogen Q dat ze opneemt.
V = 230 VZ = 12 + j5 Ω
Q = var
6.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactorMoeilijk
Een eenfasige transformator van 200 kVA voedt een belasting van 113 kW met een inductieve arbeidsfactor van 0,75. Hoeveel extra werkelijk vermogen ΔP kan er als resistieve belasting (arbeidsfactor 1) worden bijgeplaatst voordat de transformator zijn nominale kVA bereikt?
Smax = 200 kVAP1 = 113 kWpf1 = 0,75
ΔP = kW
7.LC-resonantie, Q-factor en bandbreedteGemiddeld
Een serie-RLC-schakeling heeft R = 22 Ω, L = 10 mH en C = 1 nF. Bepaal zijn kwaliteitsfactor Q.
R = 22 ΩL = 10 mHC = 1 nF
Q =
8.LC-resonantie, Q-factor en bandbreedteMoeilijk
Ontwerp een serie-RLC-filter met een totale weerstand van 10 Ω, een resonantiefrequentie van 50 kHz en een bandbreedte van 1 kHz. Bepaal de capaciteit C in nF.
R = 10 Ωf0 = 50 kHzBW = 1 kHz
C = nF
9.DraaistroomvermogenGemiddeld
Een driefasige inductiemotor levert bij vollast 55 kW mechanisch vermogen. Bij deze belasting is het rendement 94% en de arbeidsfactor 0,85 inductief. Het net heeft een lijnspanning van 400 V. Vind de lijnstroom IL.
Pout = 55 kWη = 94%cos φ = 0,85VL = 400 V
IL = A
10.DraaistroomvermogenMoeilijk
Een symmetrische driefasige belasting neemt 50 kW op bij een inductieve arbeidsfactor van 0,75 uit een net van 690 V (lijnspanning), 50 Hz. Een driefasige condensatorbank parallel aan de belasting moet de totale arbeidsfactor verhogen tot 0,9 inductief. Het werkelijk vermogen blijft gelijk. De condensatoren zijn in driehoek geschakeld. Vind de capaciteit Cph van elke condensator in µF.
P = 50 kWpf1 = 0,75pf2 = 0,9VL = 690 Vf = 50 Hz
Cph = µF
11.RC- en RL-schakelverschijnselenGemiddeld
De spoel voert geen stroom voordat de schakelaar op t = 0 sluit. Vind de spanning vL over de spoel op t = 1 ms.
Vs = 5 VR = 47 ΩL = 10 mHt = 1 ms
vL = V
12.RC- en RL-schakelverschijnselenMoeilijk
Vlak voordat de schakelaar op t = 0 sluit, staat er 5 V over de condensator met de aangegeven polariteit. Vind de condensatorspanning vC op t = 500 ms.
Vs = 12 VR = 6,8 kΩC = 33 µFvC(0) = 5 Vt = 500 ms
vC = V
13.Thévenin en NortonGemiddeld
Vind de Norton-stroom IN: de stroom die van a naar b loopt als de klemmen kortgesloten zijn.
V1 = 6 VR1 = 10 ΩR2 = 10 ΩR3 = 6 Ω
IN = A
14.Thévenin en NortonMoeilijk
Vind de Norton-stroom IN: de stroom die van a naar b loopt als de klemmen kortgesloten zijn.
V1 = 12 VIs = 1,5 AR1 = 2 ΩR2 = 3 ΩR3 = 3 Ω
IN = A
15.Bodediagrammen en margesGemiddeld
Bepaal de exacte grootte |G(jω)| van G(s) = 180/((s + 4)(s + 5)) bij ω = 3 rad/s, in dB.
G(s) = 180/((s + 4)(s + 5))ω = 3 rad/s
|G(jω)| = dB
16.Bodediagrammen en margesMoeilijk
Een lus met eenheidsterugkoppeling heeft de open-lus-overdrachtsfunctie L(s) = 908/(s(s + 8)(s + 10)). Bepaal de versterkingsmarge GM in dB.
L(s) = 908/(s(s + 8)(s + 10))
GM = dB
3Oplossingen
1.Complexe getallen
Antwoord: b = 2,992
Poolvorm: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ, met r = |z| en θ = arg z. Terug naar de rechthoekige vorm: a = r cos θ, b = r sin θ. Voor het argument is het kwadrant nodig: θ = atan(b/a) alleen als a > 0; voor a < 0 tel je 180° op of trek je 180° af. In poolvorm is vermenigvuldigen eenvoudig: vermenigvuldig de moduli en tel de argumenten op; bij delen deel je de moduli en trek je de argumenten af.
Formule van Euler
z = 3·(cos 1,5 + j sin 1,5)
Componenten (radialen)
a = 3·cos 1,5 = 0,2122
b = 3·sin 1,5 = 2,992
b = 2,992
Antwoord
b = 2,992
2.Complexe getallen
Antwoord: A (3∠180°)
De Moivre en wortels: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. De vergelijking zⁿ = R∠φ heeft precies n wortels, allemaal met modulus R1/n, bij de argumenten (φ + 360°·k)/n voor k = 0, 1, …, n − 1: ze liggen gelijkmatig verdeeld op een cirkel, 360°/n uit elkaar. Een kwadratische vergelijking z² + pz + q = 0 met p² < 4q heeft de complexe wortels z = −p/2 ± j√(q − p²/4); een polynoom met reële coëfficiënten heeft zijn complexe wortels altijd in geconjugeerde paren a ± jb.
Modulus en argumenten van de wortels
|z| = 3
θ = 60°, 180°, −60°
Het punt
A = 3∠180°
Antwoord
A (3∠180°)
3.Wisselstroomimpedantie en fasoren
Antwoord: φ = 69,34 °
Wisselstroom met fasoren: weerstanden, spoelen en condensatoren hebben impedanties R, jωL en 1/(jωC), met ω = 2πf. In serie tellen impedanties op zoals weerstanden, maar dan als complexe getallen. Effectieve stroom en spanning volgen de wet van Ohm met |Z|.
Reactantie
XL = ωL = 2π·60·0,02 = 7,54 Ω
Takstromen
Beide takken zijn rechtstreeks op de voeding aangesloten, dus elke tak krijgt de volle spanning V.
IR = V/R = 100/20 = 5 A
IX = V/XL = 100/7,54 = 13,26 A
Totale stroom
De stroom door de weerstand is in fase met V en de reactieve stroom is 90° uit fase, dus ze tellen op als de zijden van een rechthoekige driehoek.
I = √(IR² + IX²) = √(5² + 13,26²) = 14,17 A
Fasehoek
De spoelstroom ijlt na op V, dus de totale stroom ijlt na en de hoek is positief.
φ = arctan(IX/IR) = arctan(13,26/5) = 69,34°
Antwoord
φ = 69,34°
4.Wisselstroomimpedantie en fasoren
Antwoord: f0 = 410,9 Hz
Wisselstroom met fasoren: weerstanden, spoelen en condensatoren hebben impedanties R, jωL en 1/(jωC), met ω = 2πf. In serie tellen impedanties op zoals weerstanden, maar dan als complexe getallen. Effectieve stroom en spanning volgen de wet van Ohm met |Z|.
Resonantie
Bij resonantie heffen de inductieve en capacitieve reactantie elkaar op: ωL = 1/(ωC). De voedingsfrequentie doet er niet toe.
Wisselstroomvermogen: het schijnbaar vermogen S = V·I (VA) splitst zich in werkelijk vermogen P = S·cos φ (W), dat nuttig werk doet, en blindvermogen Q = S·sin φ (var), dat heen en weer gaat tussen bron en belasting. De arbeidsfactor is cos φ. Een condensator parallel levert blindvermogen ter plaatse, dus de lijnstroom daalt bij hetzelfde werkelijk vermogen.
Stroom
|Z| = √(12² + 5²) = 13 Ω
I = V/|Z| = 230/13 = 17,69 A
Blindvermogen
Q = I²·X = 17,69²·5 = 1565 var
Antwoord
Q = 1565 var
6.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor
Antwoord: ΔP = 60,4 kW
Wisselstroomvermogen: het schijnbaar vermogen S = V·I (VA) splitst zich in werkelijk vermogen P = S·cos φ (W), dat nuttig werk doet, en blindvermogen Q = S·sin φ (var), dat heen en weer gaat tussen bron en belasting. De arbeidsfactor is cos φ. Een condensator parallel levert blindvermogen ter plaatse, dus de lijnstroom daalt bij hetzelfde werkelijk vermogen.
Blindvermogen van de bestaande belasting
Q1 = 113·tan(arccos 0,75) = 99,66 kvar
Grootste totale werkelijk vermogen
Bij volle belasting is S = Smax, en Q verandert niet door de resistieve belasting.
P = √(Smax² − Q1²) = √(200² − 99,66²) = 173,4 kW
Extra werkelijk vermogen
ΔP = 173,4 − 113 = 60,4 kW
Antwoord
ΔP = 60,4 kW
7.LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte
Antwoord: Q = 143,7
Q-factor en bandbreedte: in een resonantiekring is Q = 2π·(opgeslagen energie)/(verloren energie per periode). Voor serie-RLC is Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C); voor parallel-RLC is Q = R/(ω0L) = R√(C/L). De bandbreedte tussen de halfvermogensfrequenties f1 en f2 (waar het vermogen de helft is en de stroom of spanning 1/√2 van de piekwaarde) is BW = f2 − f1 = f0/Q, dat is R/(2πL) in serie en 1/(2πRC) parallel. De resonantiefrequentie is het meetkundig gemiddelde f0 = √(f1f2), en f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Verliezen laten de trilling ook uitdoven: in serie-RLC neemt de amplitude af als e−Rt/(2L).
Karakteristieke impedantie
√(L/C) = √(0,01/1 × 10⁻⁹) = 3162 Ω
Kwaliteitsfactor
Q = 3162/22 = 143,7
Antwoord
Q = 143,7
De resonantiefrequentie is 50,33 kHz, dus BW = f₀/Q = 350,1 Hz.
8.LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte
Antwoord: C = 6,366 nF
Q-factor en bandbreedte: in een resonantiekring is Q = 2π·(opgeslagen energie)/(verloren energie per periode). Voor serie-RLC is Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C); voor parallel-RLC is Q = R/(ω0L) = R√(C/L). De bandbreedte tussen de halfvermogensfrequenties f1 en f2 (waar het vermogen de helft is en de stroom of spanning 1/√2 van de piekwaarde) is BW = f2 − f1 = f0/Q, dat is R/(2πL) in serie en 1/(2πRC) parallel. De resonantiefrequentie is het meetkundig gemiddelde f0 = √(f1f2), en f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Verliezen laten de trilling ook uitdoven: in serie-RLC neemt de amplitude af als e−Rt/(2L).
Zelfinductie uit de bandbreedte
L = R/(2π·BW) = 10/(2π·1000) = 0,001592 H
Capaciteit uit de resonantiefrequentie
C = 1/((2π·50000)²·0,001592) = 6,366 × 10⁻⁹ F = 6,366 nF
Antwoord
C = 6,366 nF
Q = f₀/BW = 50.
9.Draaistroomvermogen
Antwoord: IL = 99,36 A
Symmetrische draaistroomsystemen: in een Y-schakeling (ster) is de lijnspanning √3 keer de fasespanning, VL = √3·Vph, en is de lijnstroom gelijk aan de fasestroom. In een Δ-schakeling (driehoek) is de lijnspanning gelijk aan de fasespanning en is de lijnstroom √3 keer de fasestroom, IL = √3·Iph. Het totale vermogen is drie keer het vermogen van één fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Opgenomen elektrisch vermogen
Pin = Pout/η = 55/0,94 = 58,51 kW
Lijnstroom
IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 58511/(√3·400·0,85) = 99,36 A
Antwoord
IL = 99,36 A
10.Draaistroomvermogen
Antwoord: Cph = 44,3 µF
Symmetrische draaistroomsystemen: in een Y-schakeling (ster) is de lijnspanning √3 keer de fasespanning, VL = √3·Vph, en is de lijnstroom gelijk aan de fasestroom. In een Δ-schakeling (driehoek) is de lijnspanning gelijk aan de fasespanning en is de lijnstroom √3 keer de fasestroom, IL = √3·Iph. Het totale vermogen is drie keer het vermogen van één fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Arbeidsfactorcompensatie: condensatoren leveren blindvermogen ter plaatse, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Elk van de drie condensatoren levert QC/3 = V²·ω·C, waarbij V de spanning over die condensator is: VL in een driehoeksbank, VL/√3 in een sterbank.
Blindvermogen voor en na
Het werkelijk vermogen verandert niet, dus elke arbeidsfactor legt het blindvermogen vast: Q = P·tan φ.
Q1 = 50·tan(acos 0,75) = 50·0,8819 = 44,1 kvar
Q2 = 50·tan(acos 0,9) = 50·0,4843 = 24,22 kvar
Blindvermogen van de condensatoren
QC = Q1 − Q2 = 19,88 kvar
Capaciteit per fase
In een driehoeksbank is elke condensator aangesloten tussen twee lijnen.
V = 690 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 6627/(314,2·690²) = 44,3 µF
Antwoord
Cph = 44,3 µF
11.RC- en RL-schakelverschijnselen
Antwoord: vL = 0,04548 V
Eerste-orde schakelverschijnselen: in een schakeling met één condensator of één spoel gaat elke spanning en stroom exponentieel van de beginwaarde naar de eindwaarde: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, met τ = RC of τ = L/R. Na ongeveer 5τ is de schakeling uitgeslingerd.
Tijdconstante en eindstroom
Lang na het sluiten van de schakelaar gedraagt de spoel zich als een kortsluiting, dus de eindstroom wordt alleen door R bepaald.
τ = L/R = 10 mH / 47 Ω = 0,2128 ms
i(∞) = Vs/R = 5/47 = 0,1064 A
Spoelspanning
Op t = 0 staat de hele voedingsspanning over de spoel; daarna neemt die af tot nul.
vL(t) = Vs·e−t/τ = 5·e−1/0,2128 = 0,04548 V
Antwoord
vL = 0,04548 V
12.RC- en RL-schakelverschijnselen
Antwoord: vC = 11,25 V
Eerste-orde schakelverschijnselen: in een schakeling met één condensator of één spoel gaat elke spanning en stroom exponentieel van de beginwaarde naar de eindwaarde: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, met τ = RC of τ = L/R. Na ongeveer 5τ is de schakeling uitgeslingerd.
Beginwaarde, eindwaarde, tijdconstante
De condensatorspanning kan niet verspringen, dus begint ze bij de opgeslagen waarde en gaat ze naar de bronspanning.
vC(0) = 5 V, vC(∞) = Vs = 12 V
τ = R·C = 6,8 kΩ · 33 µF = 224,4 ms
vC(t) = 12 + (5 − 12)·e−t/τ
Spanning op het gegeven tijdstip
vC(500) = 12 + (−7)·e−500/224,4 = 11,25 V
Antwoord
vC = 11,25 V
13.Thévenin en Norton
Antwoord: IN = 0,2727 A
Stelling van Thévenin: elk lineair tweepoolnetwerk gedraagt zich als één spanningsbron Vth in serie met een weerstand Rth. De stelling van Norton geeft hetzelfde netwerk als een stroombron IN = Vth/Rth parallel aan Rth.
Vind Rth met alle bronnen uitgeschakeld
Vervang spanningsbronnen door kortsluitingen en stroombronnen door open circuits, en kijk dan vanaf a–b de schakeling in.
R1 ∥ R2 = 10·10/(10+10) = 5 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 5 + 6 = 11 Ω
Vind Vth, de openklemspanning
Met a–b open loopt er geen stroom door R₃, dus er valt geen spanning over en V_b = V_A. R₁ en R₂ vormen een spanningsdeler.
Vth = V1·R2/(R1+R2) = 6·10/(10+10) = 3 V
Norton-equivalent
Een Norton-bron is dezelfde schakeling, gezien als een stroombron parallel aan R_th. De stroom is de kortsluitstroom tussen a–b.
IN = Vth/Rth = 3/11 = 0,2727 A
14.Thévenin en Norton
Antwoord: IN = 3,214 A
Stelling van Thévenin: elk lineair tweepoolnetwerk gedraagt zich als één spanningsbron Vth in serie met een weerstand Rth. De stelling van Norton geeft hetzelfde netwerk als een stroombron IN = Vth/Rth parallel aan Rth.
Vind Rth met alle bronnen uitgeschakeld
Vervang spanningsbronnen door kortsluitingen en stroombronnen door open circuits, en kijk dan vanaf a–b de schakeling in.
R1 ∥ R2 = 2·3/(2+3) = 1,2 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 1,2 + 3 = 4,2 Ω
Vind Vth, de openklemspanning
Met a–b open is het enige pad voor Iₛ via R₃ naar knooppunt A. Vind V_A met superpositie van V₁ en Iₛ, en tel dan de spanningsval over R₃ erbij op.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 7,2 + 1,5·1,2 = 9 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 9 + 1,5·3 = 13,5 V
Norton-equivalent
Een Norton-bron is dezelfde schakeling, gezien als een stroombron parallel aan R_th. De stroom is de kortsluitstroom tussen a–b.
IN = Vth/Rth = 13,5/4,2 = 3,214 A
15.Bodediagrammen en marges
Antwoord: |G(jω)| = 15,81 dB
Frequentierespons: substitueer s = jω in de overdrachtsfunctie. De grootte in decibel is 20·log₁₀|H(jω)| en de fase is de som van de hoeken van de tellerfactoren min die van de noemerfactoren. Een eerste-orde RC- of RL-filter heeft zijn kantelfrequentie (−3 dB) bij ωc = 1/(RC) of R/L, en fc = ωc/(2π); een laagdoorlaatfilter geeft |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) en φ = −atan(ω/ωc). In het asymptotische (rechte-lijn-)Bodediagram buigt elke pool de grootte met 20 dB/decade omlaag bij zijn kantelfrequentie, buigt elk nulpunt haar met 20 dB/decade omhoog, en geeft een integrator 1/s −20 dB/decade bij alle frequenties. Versterkingsdoorsnijding ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); fasemarge PM = 180° + ∠L(jωc). Faseomslag ω180: ∠L(jω) = −180°; versterkingsmarge GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. De gesloten lus is stabiel als beide marges positief zijn.
Frequentierespons: substitueer s = jω in de overdrachtsfunctie. De grootte in decibel is 20·log₁₀|H(jω)| en de fase is de som van de hoeken van de tellerfactoren min die van de noemerfactoren. Een eerste-orde RC- of RL-filter heeft zijn kantelfrequentie (−3 dB) bij ωc = 1/(RC) of R/L, en fc = ωc/(2π); een laagdoorlaatfilter geeft |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) en φ = −atan(ω/ωc). In het asymptotische (rechte-lijn-)Bodediagram buigt elke pool de grootte met 20 dB/decade omlaag bij zijn kantelfrequentie, buigt elk nulpunt haar met 20 dB/decade omhoog, en geeft een integrator 1/s −20 dB/decade bij alle frequenties. Versterkingsdoorsnijding ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); fasemarge PM = 180° + ∠L(jωc). Faseomslag ω180: ∠L(jω) = −180°; versterkingsmarge GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. De gesloten lus is stabiel als beide marges positief zijn.