Netwerkanalyse 2: wisselstroomschakelingen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 16 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Complexe getallen

Rechthoekige vorm: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Modulus en argument: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Poolvorm en exponentiële vorm: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Deling: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Product en quotiënt: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
De Moivre: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n-de machtswortels: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Kwadratische vergelijking met p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Methode

Bepaal welke vorm bij de bewerking past: rechthoekig a + jb voor optellen en aftrekken, pool r∠θ voor vermenigvuldigen, delen, machten en wortels.
Werk uit met j² = −1; deel door teller en noemer te vermenigvuldigen met de geconjugeerde van de noemer.
Reken om met r = √(a² + b²) en θ uit een schets van het punt (controleer het kwadrant), en terug met a = r cos θ, b = r sin θ.
Gebruik voor machten De Moivre, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; noteer voor zⁿ = R∠φ alle n wortels R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Wisselstroomimpedantie en fasoren

Impedanties: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Hoekfrequentie: ω = 2πf
Modulus en hoek: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Wet van Ohm met fasoren: V = I·Z

Methode

Reken de frequentie om: ω = 2πf.
Bereken elke reactantie: X_L = ωL en X_C = 1/(ωC).
Tel impedanties op zoals weerstanden, met Z = R + jX.
Bereken de grootte |Z| = √(R² + X²) en de hoek φ = atan(X/R), en gebruik daarna de wet van Ohm met fasoren.

Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor

Werkelijk vermogen: P = V·I·cos φ
Blindvermogen: Q = V·I·sin φ
Schijnbaar vermogen: S = V·I = √(P² + Q²)
Arbeidsfactor: pf = cos φ = P/S
Compensatiecondensator: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte

Eigenfrequentie: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
Energie: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
Piekstroom: I_max = V₀√(C/L)
Kwaliteitsfactor: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
Serie-RLC: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
Parallel-RLC: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
Bandbreedte: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
Halfvermogensfrequenties: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
Tank met spoelweerstand r: R_D = L/(C·r) = Q²·r
Afname van de amplitude: e^−Rt/(2L)

Methode

Zoek eerst de resonantiefrequentie: ω₀ = 1/√(LC) en f₀ = ω₀/(2π).
Bepaal of de schakeling serie of parallel is: serie Q = (1/R)√(L/C), parallel Q = R√(C/L).
Gebruik BW = f₀/Q voor de bandbreedte, of de snelle formules R/(2πL) (serie) en 1/(2πRC) (parallel).
Gebruik bij energievragen dat de totale energie ½CV₀² in een ideale LC-schakeling constant blijft en elke kwartperiode heen en weer gaat tussen C en L.

Draaistroomvermogen

Sterschakeling (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Driehoekschakeling (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Totaal werkelijk vermogen: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Schijnbaar vermogen en blindvermogen: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Compensatiecondensatoren: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Spanning over elke condensator: Δ: V_L Y: V_L/√3
Opgenomen motorvermogen: P_in = P_out/η

RC- en RL-schakelverschijnselen

Tijdconstante: τ = RC | τ = L/R
Respons: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Condensator bij gelijkstroom: open klemmen; v_C kan niet verspringen
Spoel bij gelijkstroom: kortsluiting; i_L kan niet verspringen
Eindtoestand: t ≈ 5τ

Methode

Bepaal de beginwaarde vlak na het schakelen: een condensatorspanning en een spoelstroom kunnen niet verspringen.
Bepaal de eindwaarde lang na het schakelen: een condensator gedraagt zich als een open keten, een spoel als een kortsluiting.
Bepaal de tijdconstante: τ = RC of τ = L/R, met de weerstand die de condensator of spoel ziet.
Gebruik x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Thévenin en Norton

Thévenin-spanning: V_th = V_{open circuit}
Thévenin-weerstand: R_th: alle bronnen uit, gezien vanaf a–b
Norton-stroom: I_N = V_th/R_th
Belastingsstroom: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Maximale vermogensoverdracht: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Methode

Haal de belasting weg en markeer de twee klemmen a en b.
Bepaal de openklemspanning tussen a en b: dit is V_th.
Schakel alle onafhankelijke bronnen uit en bepaal de weerstand gezien vanaf a–b: dit is R_th.
Zet de belasting terug op het vervangingsschema: V_th in serie met R_th.
Reken voor het Norton-equivalent om: I_N = V_th/R_th, met R_N = R_th parallel.

2Oefenopgaven

1.Complexe getallenGemiddeld

Gegeven z₁ = 1,5∠70° en z₂ = 4∠−95°, bepaal het reële deel van w = z₁/z₂.

z₁ = 1,5∠70°z₂ = 4∠−95°

Re(w) =

2.Complexe getallenMoeilijk

Bepaal het reële deel van (1 − j3)⁴.

z = 1 − j3n = 4

Re(z⁴) =

3.Wisselstroomimpedantie en fasorenGemiddeld

Een serie-RLC-schakeling is aangesloten op een voeding van 50 V (rms), 100 Hz. Vind de fasehoek φ van de impedantie, in graden (positief als de stroom achterloopt op de spanning).

V = 50 V (rms)f = 100 HzR = 30 ΩL = 150 mHC = 4,7 µF

φ = °

4.Wisselstroomimpedantie en fasorenMoeilijk

Een serie-RLC-schakeling heeft R = 2 Ω, L = 2 mH en C = 1 µF. Vind de bandbreedte B (de breedte van de band tussen de halfvermogensfrequenties), in Hz.

R = 2 ΩL = 2 mHC = 1 µF

B = Hz

5.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactorGemiddeld

Een eenfasige motor neemt 32 kW op bij een inductieve arbeidsfactor van 0,9 uit een voeding van 400 V. Vind de lijnstroom I.

P = 32 kWpf = 0,9V = 400 V

I = A

6.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactorMoeilijk

Een eenfasige belasting neemt 35 kW op bij een inductieve arbeidsfactor van 0,8 uit een voeding van 400 V, 50 Hz. Een parallel geschakelde condensator verhoogt de arbeidsfactor tot 0,9. Vind het blindvermogen Q_C dat de condensator moet leveren.

P = 35 kWpf₁ = 0,8pf₂ = 0,9V = 400 Vf = 50 Hz

Q_C = kvar

7.LC-resonantie, Q-factor en bandbreedteGemiddeld

Een serie-RLC-schakeling resoneert bij 1 kHz met Q = 2. Bepaal de onderste halfvermogensfrequentie f₁ exact, in Hz.

f₀ = 1 kHzQ = 2

f₁ = Hz

8.LC-resonantie, Q-factor en bandbreedteMoeilijk

Een serieresonantiekring gebruikt een spoel van 10 mH. Welke totale serieweerstand R geeft een bandbreedte van 50 kHz?

L = 10 mHBW = 50 kHz

R = Ω

9.DraaistroomvermogenGemiddeld

Een symmetrische driefasige belasting neemt een lijnstroom van 40 A op uit een net met een lijnspanning van 480 V. De arbeidsfactor is 0,7 inductief. Vind het totale werkelijk vermogen P dat de belasting opneemt, in kW.

V_L = 480 VI_L = 40 Acos φ = 0,7

P = kW

10.DraaistroomvermogenMoeilijk

Een symmetrische driefasige belasting neemt 100 kW op bij een inductieve arbeidsfactor van 0,72 uit een net van 400 V (lijnspanning), 60 Hz. Een driefasige condensatorbank parallel aan de belasting moet de totale arbeidsfactor verhogen tot 0,95 inductief. Het werkelijk vermogen blijft gelijk. De condensatoren zijn in driehoek geschakeld. Vind de capaciteit C_ph van elke condensator in µF.

P = 100 kWpf₁ = 0,72pf₂ = 0,95V_L = 400 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

11.RC- en RL-schakelverschijnselenGemiddeld

De spoel voert een constante stroom van 1,5 A. Op t = 0 sluit de schakelaar de kring via R en wordt de bron verwijderd, zodat de spoelstroom via R uitdooft. Vind de spanning v_R over R op t = 10 ms.

i(0) = 1,5 AR = 33 ΩL = 220 mHt = 10 ms

v_R = V

12.RC- en RL-schakelverschijnselenMoeilijk

De schakelaar is al lang gesloten, dus de schakeling is in de stationaire toestand. Op t = 0 gaat de schakelaar open. Vind de stroom i₂ door R₂ op t = 30 ms.

V_s = 24 VR₁ = 1 kΩR₂ = 6,8 kΩC = 10 µFt = 30 ms

i₂ = mA

13.Thévenin en NortonGemiddeld

Een belasting R_L = 3 Ω is aangesloten over a–b. Vervang de rest van de schakeling door het Thévenin-equivalent en vind de belastingsstroom I_L.

V₁ = 15 VR₁ = 15 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 20 ΩR_L = 3 Ω

I_L = A

14.Thévenin en NortonMoeilijk

Een belasting R_L = 8 Ω is aangesloten over a–b. Gebruik een Thévenin-equivalent om het vermogen P_L in de belasting te vinden.

V₁ = 6 VI_s = 2,5 AR₁ = 5 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 4 ΩR_L = 8 Ω

P_L = W

15.Bodediagrammen en margesGemiddeld

Het getoonde RC-laagdoorlaatfilter heeft R = 3,3 kΩ, C = 2,2 nF. Er wordt een sinusvormige ingang van 110 kHz aangelegd. Bepaal de faseverschuiving φ van v_out ten opzichte van v_in, in graden.

R = 3,3 kΩC = 2,2 nFf = 110 kHz

φ = °

16.Bodediagrammen en margesMoeilijk

Een lus met eenheidsterugkoppeling heeft de open-lus-overdrachtsfunctie L(s) = 54/(s(s + 3)(s + 4)). Bepaal de faseomslagfrequentie ω₁₈₀, waar ∠L(jω) = −180°.

L(s) = 54/(s(s + 3)(s + 4))

ω₁₈₀ = rad/s

3Oplossingen

1.Complexe getallen

Antwoord: Re(w) = −0,3622

Poolvorm: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, met r = |z| en θ = arg z. Terug naar de rechthoekige vorm: a = r cos θ, b = r sin θ. Voor het argument is het kwadrant nodig: θ = atan(b/a) alleen als a > 0; voor a < 0 tel je 180° op of trek je 180° af. In poolvorm is vermenigvuldigen eenvoudig: vermenigvuldig de moduli en tel de argumenten op; bij delen deel je de moduli en trek je de argumenten af.

Modulus en argument van w

|w| = 1,5 / 4 = 0,375

θ = 70° − (−95)° = 165°

Rechthoekige vorm

Re(w) = 0,375·cos(165°) = −0,3622

Im(w) = 0,375·sin(165°) = 0,09706

Re(w) = −0,3622

Antwoord

Re(w) = −0,3622

2.Complexe getallen

Antwoord: Re(z⁴) = 28

De Moivre en wortels: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. De vergelijking zⁿ = R∠φ heeft precies n wortels, allemaal met modulus R^1/n, bij de argumenten (φ + 360°·k)/n voor k = 0, 1, …, n − 1: ze liggen gelijkmatig verdeeld op een cirkel, 360°/n uit elkaar. Een kwadratische vergelijking z² + pz + q = 0 met p² < 4q heeft de complexe wortels z = −p/2 ± j√(q − p²/4); een polynoom met reële coëfficiënten heeft zijn complexe wortels altijd in geconjugeerde paren a ± jb.

Machten stap voor stap

z² = (1 − j3)(1 − j3) = −8 − j6

z³ = (−8 − j6)(1 − j3) = −26 + j18

z⁴ = (−26 + j18)(1 − j3) = 28 + j96

Controleer met De Moivre

z = 3,162∠−71,57° → z⁴ = 100∠73,74°

Re(z⁴) = 28

Antwoord

Re(z⁴) = 28

3.Wisselstroomimpedantie en fasoren

Antwoord: φ = −83 °

Wisselstroom met fasoren: weerstanden, spoelen en condensatoren hebben impedanties R, jωL en 1/(jωC), met ω = 2πf. In serie tellen impedanties op zoals weerstanden, maar dan als complexe getallen. Effectieve stroom en spanning volgen de wet van Ohm met |Z|.

Reactanties

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s

X_L = ωL = 628,3·0,15 = 94,25 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628,3·4,7·10⁻⁶) = 338,6 Ω

Impedantie

In serie tellen impedanties op als complexe getallen: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(30² + (−244,4)²) = 246,2 Ω

Fasehoek

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(−244,4/30) = −83°

Antwoord

φ = −83°

4.Wisselstroomimpedantie en fasoren

Antwoord: B = 159,2 Hz

Resonantiefrequentie

f₀ = 1/(2π·√(0,002·1·10⁻⁶)) = 3559 Hz

Kwaliteitsfactor

Q vergelijkt de reactantie bij resonantie met de weerstand: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/2)·√(0,002/(1·10⁻⁶)) = 22,36

Bandbreedte

B = f₀/Q = 3559/22,36 = 159,2 Hz

Antwoord

B = 159,2 Hz

5.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor

Antwoord: I = 88,89 A

Wisselstroomvermogen: het schijnbaar vermogen S = V·I (VA) splitst zich in werkelijk vermogen P = S·cos φ (W), dat nuttig werk doet, en blindvermogen Q = S·sin φ (var), dat heen en weer gaat tussen bron en belasting. De arbeidsfactor is cos φ. Een condensator parallel levert blindvermogen ter plaatse, dus de lijnstroom daalt bij hetzelfde werkelijk vermogen.

Lijnstroom

Alleen het werkelijke deel van het vermogen doet werk, dus deel door de arbeidsfactor.

I = P/(V·cos φ) = 32000/(400·0,9) = 88,89 A

Antwoord

I = 88,89 A

6.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor

Antwoord: Q_C = 9,299 kvar

Blindvermogen voor en na

Het werkelijk vermogen P verandert niet; alleen het blindvermogen uit het net verandert.

Q₁ = P·tan φ₁ = 35·tan(36,87°) = 26,25 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 35·tan(25,84°) = 16,95 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 9,299 kvar

Antwoord

Q_C = 9,299 kvar

7.LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte

Antwoord: f₁ = 780,8 Hz

Q-factor en bandbreedte: in een resonantiekring is Q = 2π·(opgeslagen energie)/(verloren energie per periode). Voor serie-RLC is Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C); voor parallel-RLC is Q = R/(ω₀L) = R√(C/L). De bandbreedte tussen de halfvermogensfrequenties f₁ en f₂ (waar het vermogen de helft is en de stroom of spanning 1/√2 van de piekwaarde) is BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, dat is R/(2πL) in serie en 1/(2πRC) parallel. De resonantiefrequentie is het meetkundig gemiddelde f₀ = √(f₁f₂), en f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Verliezen laten de trilling ook uitdoven: in serie-RLC neemt de amplitude af als e^−Rt/(2L).

Wortelterm

√(1 + 1/(4·2²)) = 1,031

Onderste halfvermogensfrequentie

f₁ = 1000·(1,031 − 0,25) = 780,8 Hz = 780,8 Hz

Antwoord

f₁ = 780,8 Hz

De bovenste is f₂ = 1,281 kHz; controle: f₂ − f₁ = 500 Hz = f₀/Q.

8.LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte

Antwoord: R = 3142 Ω

Seriebandbreedte

BW = R/(2πL)

Weerstand

R = 2π·0,01·50000 = 3142 Ω

Antwoord

R = 3142 Ω

9.Draaistroomvermogen

Antwoord: P = 23,28 kW

Schijnbaar vermogen

S = √3·V_L·I_L = √3·480·40 = 33,26 kVA

Werkelijk vermogen

P = S·cos φ = 33,26·0,7 = 23,28 kW

Antwoord

P = 23,28 kW

10.Draaistroomvermogen

Antwoord: C_ph = 351 µF

Symmetrische draaistroomsystemen: in een Y-schakeling (ster) is de lijnspanning √3 keer de fasespanning, V_L = √3·V_ph, en is de lijnstroom gelijk aan de fasestroom. In een Δ-schakeling (driehoek) is de lijnspanning gelijk aan de fasespanning en is de lijnstroom √3 keer de fasestroom, I_L = √3·I_ph. Het totale vermogen is drie keer het vermogen van één fase: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Arbeidsfactorcompensatie: condensatoren leveren blindvermogen ter plaatse, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Elk van de drie condensatoren levert Q_C/3 = V²·ω·C, waarbij V de spanning over die condensator is: V_L in een driehoeksbank, V_L/√3 in een sterbank.

Blindvermogen voor en na

Het werkelijk vermogen verandert niet, dus elke arbeidsfactor legt het blindvermogen vast: Q = P·tan φ.

Q₁ = 100·tan(acos 0,72) = 100·0,9639 = 96,39 kvar

Q₂ = 100·tan(acos 0,95) = 100·0,3287 = 32,87 kvar

Blindvermogen van de condensatoren

Q_C = Q₁ − Q₂ = 63,52 kvar

Capaciteit per fase

In een driehoeksbank is elke condensator aangesloten tussen twee lijnen.

V = 400 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 21172/(377·400²) = 351 µF

Antwoord

C_ph = 351 µF

11.RC- en RL-schakelverschijnselen

Antwoord: v_R = 11,04 V

Eerste-orde schakelverschijnselen: in een schakeling met één condensator of één spoel gaat elke spanning en stroom exponentieel van de beginwaarde naar de eindwaarde: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, met τ = RC of τ = L/R. Na ongeveer 5τ is de schakeling uitgeslingerd.

Tijdconstante

τ = L/R = 220 mH / 33 Ω = 6,667 ms

Afname van de stroom

i(t) = 1,5·e^−10/6,667 = 0,3347 A

v_R = R·i = 33·0,3347 = 11,04 V

Antwoord

v_R = 11,04 V

12.RC- en RL-schakelverschijnselen

Antwoord: i₂ = 1,979 mA

Beginspanning van de condensator

In de stationaire toestand is de condensator een open circuit, dus R₁ en R₂ vormen een spanningsdeler. De condensatorspanning kan niet verspringen als de schakelaar opent.

v_C(0) = 24·6,8/(1 + 6,8) = 20,92 V

Tijdconstante nadat de schakelaar opent

τ = R₂·C = 6,8·10 = 68 ms

Ontlading

v_C(t) = 20,92·e^−30/68 = 13,46 V

i₂ = v_C/R₂ = 13,46/6,8 = 1,979 mA

Antwoord

i₂ = 1,979 mA

13.Thévenin en Norton

Antwoord: I_L = 0,07126 A

Stelling van Thévenin: elk lineair tweepoolnetwerk gedraagt zich als één spanningsbron V_th in serie met een weerstand R_th. De stelling van Norton geeft hetzelfde netwerk als een stroombron I_N = V_th/R_th parallel aan R_th.

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vervang spanningsbronnen door kortsluitingen en stroombronnen door open circuits, en kijk dan vanaf a–b de schakeling in.

R₁ ∥ R₂ = 15·2/(15+2) = 1,765 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1,765 + 20 = 21,76 Ω

Vind V_th, de openklemspanning

Met a–b open loopt er geen stroom door R₃, dus er valt geen spanning over en V_b = V_A. R₁ en R₂ vormen een spanningsdeler.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 15·2/(15+2) = 1,765 V

Sluit de belasting aan op het Thévenin-equivalent

De Thévenin-bron en R_th in serie gedragen zich bij a–b precies als de oorspronkelijke schakeling, dus de belasting ziet een eenvoudige serielus.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 1,765/(21,76 + 3) = 0,07126 A

14.Thévenin en Norton

Antwoord: P_L = 14,89 W

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vervang spanningsbronnen door kortsluitingen en stroombronnen door open circuits, en kijk dan vanaf a–b de schakeling in.

R₁ ∥ R₂ = 5·6/(5+6) = 2,727 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2,727 + 4 = 6,727 Ω

Vind V_th, de openklemspanning

Met a–b open is het enige pad voor Iₛ via R₃ naar knooppunt A. Vind V_A met superpositie van V₁ en Iₛ, en tel dan de spanningsval over R₃ erbij op.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 3,273 + 2,5·2,727 = 10,09 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 10,09 + 2,5·4 = 20,09 V

Sluit de belasting aan op het Thévenin-equivalent

De Thévenin-bron en R_th in serie gedragen zich bij a–b precies als de oorspronkelijke schakeling, dus de belasting ziet een eenvoudige serielus.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 20,09/(6,727 + 8) = 1,364 A

P_L = I_L²·R_L = 1,364²·8 = 14,89 W

15.Bodediagrammen en marges

Antwoord: φ = −78,73 °

Frequentierespons: substitueer s = jω in de overdrachtsfunctie. De grootte in decibel is 20·log₁₀|H(jω)| en de fase is de som van de hoeken van de tellerfactoren min die van de noemerfactoren. Een eerste-orde RC- of RL-filter heeft zijn kantelfrequentie (−3 dB) bij ω_c = 1/(RC) of R/L, en f_c = ω_c/(2π); een laagdoorlaatfilter geeft |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) en φ = −atan(ω/ω_c). In het asymptotische (rechte-lijn-)Bodediagram buigt elke pool de grootte met 20 dB/decade omlaag bij zijn kantelfrequentie, buigt elk nulpunt haar met 20 dB/decade omhoog, en geeft een integrator 1/s −20 dB/decade bij alle frequenties. Versterkingsdoorsnijding ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); fasemarge PM = 180° + ∠L(jω_c). Faseomslag ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; versterkingsmarge GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. De gesloten lus is stabiel als beide marges positief zijn.

Kantelfrequentie

ω_c = 1/(RC) = 1/(3300·2,2 × 10⁻⁹) = 137741 rad/s

f_c = 21922 Hz → f/f_c = 110000/21922 = 5,018

Fase

φ = − atan(5,018) = −78,73°

Antwoord

φ = −78,73°

16.Bodediagrammen en marges

Antwoord: ω₁₈₀ = 3,464 rad/s

Faseomslag

(ω/3)·(ω/4) = 1 → ω₁₈₀ = √(3·4) = 3,464 rad/s

Antwoord

ω₁₈₀ = 3,464 rad/s

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

Netwerkanalyse 2: wisselstroomschakelingen: samenvattingspakket

1Formules en methoden

Complexe getallen

Methode

Wisselstroomimpedantie en fasoren

Methode

Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor

LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte

Methode

Draaistroomvermogen

RC- en RL-schakelverschijnselen

Methode

Thévenin en Norton

Methode

2Oefenopgaven

3Oplossingen

Modulus en argument van w

Rechthoekige vorm

Antwoord

Machten stap voor stap

Controleer met De Moivre

Antwoord

Reactanties

Impedantie

Fasehoek

Antwoord

Resonantiefrequentie

Kwaliteitsfactor

Bandbreedte

Antwoord

Lijnstroom

Antwoord

Blindvermogen voor en na

Antwoord

Wortelterm

Onderste halfvermogensfrequentie

Antwoord

Seriebandbreedte

Weerstand

Antwoord

Schijnbaar vermogen

Werkelijk vermogen

Antwoord

Blindvermogen voor en na

Blindvermogen van de condensatoren

Capaciteit per fase

Antwoord

Tijdconstante

Afname van de stroom

Antwoord

Beginspanning van de condensator

Tijdconstante nadat de schakelaar opent

Ontlading

Antwoord

Vind Rth met alle bronnen uitgeschakeld

Vind Vth, de openklemspanning

Sluit de belasting aan op het Thévenin-equivalent

Vind Rth met alle bronnen uitgeschakeld

Vind Vth, de openklemspanning

Sluit de belasting aan op het Thévenin-equivalent

Kantelfrequentie

Fase

Antwoord

Faseomslag

Antwoord

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vind V_th, de openklemspanning

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vind V_th, de openklemspanning