Netwerkanalyse 2: wisselstroomschakelingen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 16 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Complexe getallen

Rechthoekige vorm: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Modulus en argument: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Poolvorm en exponentiële vorm: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Deling: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Product en quotiënt: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
De Moivre: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n-de machtswortels: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Kwadratische vergelijking met p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Methode

Bepaal welke vorm bij de bewerking past: rechthoekig a + jb voor optellen en aftrekken, pool r∠θ voor vermenigvuldigen, delen, machten en wortels.
Werk uit met j² = −1; deel door teller en noemer te vermenigvuldigen met de geconjugeerde van de noemer.
Reken om met r = √(a² + b²) en θ uit een schets van het punt (controleer het kwadrant), en terug met a = r cos θ, b = r sin θ.
Gebruik voor machten De Moivre, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; noteer voor zⁿ = R∠φ alle n wortels R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Wisselstroomimpedantie en fasoren

Impedanties: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Hoekfrequentie: ω = 2πf
Modulus en hoek: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Wet van Ohm met fasoren: V = I·Z

Methode

Reken de frequentie om: ω = 2πf.
Bereken elke reactantie: X_L = ωL en X_C = 1/(ωC).
Tel impedanties op zoals weerstanden, met Z = R + jX.
Bereken de grootte |Z| = √(R² + X²) en de hoek φ = atan(X/R), en gebruik daarna de wet van Ohm met fasoren.

Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor

Werkelijk vermogen: P = V·I·cos φ
Blindvermogen: Q = V·I·sin φ
Schijnbaar vermogen: S = V·I = √(P² + Q²)
Arbeidsfactor: pf = cos φ = P/S
Compensatiecondensator: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte

Eigenfrequentie: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
Energie: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
Piekstroom: I_max = V₀√(C/L)
Kwaliteitsfactor: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
Serie-RLC: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
Parallel-RLC: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
Bandbreedte: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
Halfvermogensfrequenties: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
Tank met spoelweerstand r: R_D = L/(C·r) = Q²·r
Afname van de amplitude: e^−Rt/(2L)

Methode

Zoek eerst de resonantiefrequentie: ω₀ = 1/√(LC) en f₀ = ω₀/(2π).
Bepaal of de schakeling serie of parallel is: serie Q = (1/R)√(L/C), parallel Q = R√(C/L).
Gebruik BW = f₀/Q voor de bandbreedte, of de snelle formules R/(2πL) (serie) en 1/(2πRC) (parallel).
Gebruik bij energievragen dat de totale energie ½CV₀² in een ideale LC-schakeling constant blijft en elke kwartperiode heen en weer gaat tussen C en L.

Draaistroomvermogen

Sterschakeling (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Driehoekschakeling (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Totaal werkelijk vermogen: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Schijnbaar vermogen en blindvermogen: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Compensatiecondensatoren: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Spanning over elke condensator: Δ: V_L Y: V_L/√3
Opgenomen motorvermogen: P_in = P_out/η

RC- en RL-schakelverschijnselen

Tijdconstante: τ = RC | τ = L/R
Respons: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Condensator bij gelijkstroom: open klemmen; v_C kan niet verspringen
Spoel bij gelijkstroom: kortsluiting; i_L kan niet verspringen
Eindtoestand: t ≈ 5τ

Methode

Bepaal de beginwaarde vlak na het schakelen: een condensatorspanning en een spoelstroom kunnen niet verspringen.
Bepaal de eindwaarde lang na het schakelen: een condensator gedraagt zich als een open keten, een spoel als een kortsluiting.
Bepaal de tijdconstante: τ = RC of τ = L/R, met de weerstand die de condensator of spoel ziet.
Gebruik x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Thévenin en Norton

Thévenin-spanning: V_th = V_{open circuit}
Thévenin-weerstand: R_th: alle bronnen uit, gezien vanaf a–b
Norton-stroom: I_N = V_th/R_th
Belastingsstroom: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Maximale vermogensoverdracht: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Methode

Haal de belasting weg en markeer de twee klemmen a en b.
Bepaal de openklemspanning tussen a en b: dit is V_th.
Schakel alle onafhankelijke bronnen uit en bepaal de weerstand gezien vanaf a–b: dit is R_th.
Zet de belasting terug op het vervangingsschema: V_th in serie met R_th.
Reken voor het Norton-equivalent om: I_N = V_th/R_th, met R_N = R_th parallel.

2Oefenopgaven

1.Complexe getallenGemiddeld

Gegeven z₁ = 1,5∠−60° en z₂ = 0,5∠−50°, bepaal het imaginaire deel van w = z₁/z₂.

z₁ = 1,5∠−60°z₂ = 0,5∠−50°

Im(w) =

2.Complexe getallenMoeilijk

Gebruik de stelling van De Moivre om het reële deel van z⁸ te vinden voor z = √3 + j.

z = √3 + jn = 8

Re(z⁸) =

3.Wisselstroomimpedantie en fasorenGemiddeld

Een serie-RLC-schakeling is aangesloten op een voeding van 230 V (rms), 1000 Hz. Vind de fasehoek φ van de impedantie, in graden (positief als de stroom achterloopt op de spanning).

V = 230 V (rms)f = 1000 HzR = 25 ΩL = 20 mHC = 22 µF

φ = °

4.Wisselstroomimpedantie en fasorenMoeilijk

Een serie-RLC-schakeling is aangesloten op een voeding van 24 V (rms), 500 Hz. Vind de effectieve stroom I.

V = 24 V (rms)f = 500 HzR = 100 ΩL = 20 mHC = 22 µF

I = A

5.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactorGemiddeld

Een eenfasige motor neemt 32 kW op bij een inductieve arbeidsfactor van 0,8 uit een voeding van 240 V. Vind de lijnstroom I.

P = 32 kWpf = 0,8V = 240 V

I = A

6.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactorMoeilijk

Een eenfasige transformator van 200 kVA voedt een belasting van 102 kW met een inductieve arbeidsfactor van 0,75. Hoeveel extra werkelijk vermogen ΔP kan er als resistieve belasting (arbeidsfactor 1) worden bijgeplaatst voordat de transformator zijn nominale kVA bereikt?

S_max = 200 kVAP₁ = 102 kWpf₁ = 0,75

ΔP = kW

7.LC-resonantie, Q-factor en bandbreedteGemiddeld

Een condensator van 220 pF, opgeladen tot 10 V, oscilleert met een ideale spoel van 470 µH. Bepaal de energie W_L die in de spoel is opgeslagen op het moment dat de condensatorspanning 5 V is, in nJ.

C = 220 pFV₀ = 10 Vv_C = 5 V

W_L = nJ

8.LC-resonantie, Q-factor en bandbreedteMoeilijk

Een serie-RLC-schakeling (R = 10 Ω, L = 470 µH, C = 220 nF) wordt bij resonantie aangestuurd met een stroomamplitude van 100 mA. Bepaal de energie E_cycle die in R per periode wordt gedissipeerd, in µJ.

R = 10 ΩL = 470 µHC = 220 nFI_m = 100 mA

E_cycle = µJ

9.DraaistroomvermogenGemiddeld

Een symmetrische, in driehoek geschakelde belasting met een impedantie van 24 + j18 Ω per fase is aangesloten op een symmetrisch draaistroomnet met een lijnspanning van 480 V. Vind het totale werkelijk vermogen P dat de belasting opneemt, in kW.

V_L = 480 VZ = 24 + j18 Ω per fase

P = kW

10.DraaistroomvermogenMoeilijk

Een symmetrische driefasige belasting neemt 150 kW op bij een inductieve arbeidsfactor van 0,78 uit een net van 690 V (lijnspanning), 60 Hz. Een driefasige condensatorbank parallel aan de belasting moet de totale arbeidsfactor verhogen tot 0,92 inductief. Het werkelijk vermogen blijft gelijk. De condensatoren zijn in ster geschakeld. Vind de capaciteit C_ph van elke condensator in µF.

P = 150 kWpf₁ = 0,78pf₂ = 0,92V_L = 690 Vf = 60 Hz

C_ph = µF

11.RC- en RL-schakelverschijnselenGemiddeld

De bron Vₛ laadt de condensator op via R₁, en R₂ staat parallel aan C. De condensator is ongeladen als de schakelaar op t = 0 sluit. Vind de condensatorspanning v_C op t = 20 ms.

V_s = 24 VR₁ = 6,8 kΩR₂ = 2,2 kΩC = 10 µFt = 20 ms

v_C = V

12.RC- en RL-schakelverschijnselenMoeilijk

De schakelaar over R₂ is al lang gesloten, dus de spoelstroom is constant. Op t = 0 gaat de schakelaar open. Vind de spoelstroom i op t = 5 ms.

V_s = 9 VR₁ = 10 ΩR₂ = 22 ΩL = 100 mHt = 5 ms

i = A

13.Thévenin en NortonGemiddeld

Vind de Norton-stroom I_N: de stroom die van a naar b loopt als de klemmen kortgesloten zijn.

V₁ = 10 VR₁ = 10 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 12 Ω

I_N = A

14.Thévenin en NortonMoeilijk

Een belasting R_L = 8 Ω is aangesloten over a–b. Gebruik een Thévenin-equivalent om het vermogen P_L in de belasting te vinden.

V₁ = 12 VI_s = 6 AR₁ = 10 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 25 ΩR_L = 8 Ω

P_L = W

15.Bodediagrammen en margesGemiddeld

Het getoonde RC-hoogdoorlaatfilter heeft R = 10 kΩ, C = 2,2 nF. Er wordt een sinusvormige ingang van 14 kHz aangelegd. Bepaal de versterking |H| = |v_out/v_in| in dB.

R = 10 kΩC = 2,2 nFf = 14 kHz

|H| = dB

16.Bodediagrammen en margesMoeilijk

Een lus met eenheidsterugkoppeling heeft de open-lus-overdrachtsfunctie L(s) = 12/(s(s + 3)(s + 5)). Bepaal de versterkingsmarge GM in dB.

L(s) = 12/(s(s + 3)(s + 5))

GM = dB

3Oplossingen

1.Complexe getallen

Antwoord: Im(w) = −0,5209

Poolvorm: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, met r = |z| en θ = arg z. Terug naar de rechthoekige vorm: a = r cos θ, b = r sin θ. Voor het argument is het kwadrant nodig: θ = atan(b/a) alleen als a > 0; voor a < 0 tel je 180° op of trek je 180° af. In poolvorm is vermenigvuldigen eenvoudig: vermenigvuldig de moduli en tel de argumenten op; bij delen deel je de moduli en trek je de argumenten af.

Modulus en argument van w

|w| = 1,5 / 0,5 = 3

θ = −60° − (−50)° = −10°

Rechthoekige vorm

Re(w) = 3·cos(−10°) = 2,954

Im(w) = 3·sin(−10°) = −0,5209

Im(w) = −0,5209

Antwoord

Im(w) = −0,5209

2.Complexe getallen

Antwoord: Re(z⁸) = −128

De Moivre en wortels: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. De vergelijking zⁿ = R∠φ heeft precies n wortels, allemaal met modulus R^1/n, bij de argumenten (φ + 360°·k)/n voor k = 0, 1, …, n − 1: ze liggen gelijkmatig verdeeld op een cirkel, 360°/n uit elkaar. Een kwadratische vergelijking z² + pz + q = 0 met p² < 4q heeft de complexe wortels z = −p/2 ± j√(q − p²/4); een polynoom met reële coëfficiënten heeft zijn complexe wortels altijd in geconjugeerde paren a ± jb.

Poolvorm

z = √3 + j = 2∠30°

De Moivre

z⁸ = (2)⁸∠240° = 256∠−120°

Rechthoekige vorm

z⁸ = 256·(cos −120° + j sin −120°) = −128 − j221,7

Re(z⁸) = −128

Antwoord

Re(z⁸) = −128

3.Wisselstroomimpedantie en fasoren

Antwoord: φ = 78,08 °

Wisselstroom met fasoren: weerstanden, spoelen en condensatoren hebben impedanties R, jωL en 1/(jωC), met ω = 2πf. In serie tellen impedanties op zoals weerstanden, maar dan als complexe getallen. Effectieve stroom en spanning volgen de wet van Ohm met |Z|.

Reactanties

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s

X_L = ωL = 6283·0,02 = 125,7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(6283·22·10⁻⁶) = 7,234 Ω

Impedantie

In serie tellen impedanties op als complexe getallen: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(25² + (118,4)²) = 121 Ω

Fasehoek

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(118,4/25) = 78,08°

Antwoord

φ = 78,08°

4.Wisselstroomimpedantie en fasoren

Antwoord: I = 0,2161 A

Reactanties

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,02 = 62,83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·22·10⁻⁶) = 14,47 Ω

Impedantie

In serie tellen impedanties op als complexe getallen: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(100² + (48,36)²) = 111,1 Ω

Stroom

Door elk element van een serieschakeling loopt dezelfde stroom.

I = V/|Z| = 24/111,1 = 0,2161 A

Antwoord

I = 0,2161 A

5.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor

Antwoord: I = 166,7 A

Wisselstroomvermogen: het schijnbaar vermogen S = V·I (VA) splitst zich in werkelijk vermogen P = S·cos φ (W), dat nuttig werk doet, en blindvermogen Q = S·sin φ (var), dat heen en weer gaat tussen bron en belasting. De arbeidsfactor is cos φ. Een condensator parallel levert blindvermogen ter plaatse, dus de lijnstroom daalt bij hetzelfde werkelijk vermogen.

Lijnstroom

Alleen het werkelijke deel van het vermogen doet werk, dus deel door de arbeidsfactor.

I = P/(V·cos φ) = 32000/(240·0,8) = 166,7 A

Antwoord

I = 166,7 A

6.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor

Antwoord: ΔP = 76,63 kW

Blindvermogen van de bestaande belasting

Q₁ = 102·tan(arccos 0,75) = 89,96 kvar

Grootste totale werkelijk vermogen

Bij volle belasting is S = S_max, en Q verandert niet door de resistieve belasting.

P = √(S_max² − Q₁²) = √(200² − 89,96²) = 178,6 kW

Extra werkelijk vermogen

ΔP = 178,6 − 102 = 76,63 kW

Antwoord

ΔP = 76,63 kW

7.LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte

Antwoord: W_L = 8,25 nJ

LC-resonantie: een opgeladen condensator die op een spoel is aangesloten drijft een stroom die hem de andere kant op oplaadt: de energie pendelt tussen het elektrische veld van C (½Cv²) en het magnetische veld van L (½Li²) met de eigenfrequentie f₀ = 1/(2π√(LC)). Zonder weerstand blijft de totale energie ½CV₀² constant, dus de piekstroom is I_max = V₀√(C/L). Eén periode is T = 1/f₀; de energie gaat in een kwart ervan van C naar L.

Totale energie

½·2,2 × 10⁻¹⁰·10² = 1,1 × 10⁻⁸ J

Energie die in de condensator overblijft

½·2,2 × 10⁻¹⁰·5² = 2,75 × 10⁻⁹ J

Energie in de spoel

W_L = 8,25 × 10⁻⁹ J = 8,25 nJ

Antwoord

W_L = 8,25 nJ

8.LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte

Antwoord: E_cycle = 3,195 µJ

Q-factor en bandbreedte: in een resonantiekring is Q = 2π·(opgeslagen energie)/(verloren energie per periode). Voor serie-RLC is Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C); voor parallel-RLC is Q = R/(ω₀L) = R√(C/L). De bandbreedte tussen de halfvermogensfrequenties f₁ en f₂ (waar het vermogen de helft is en de stroom of spanning 1/√2 van de piekwaarde) is BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, dat is R/(2πL) in serie en 1/(2πRC) parallel. De resonantiefrequentie is het meetkundig gemiddelde f₀ = √(f₁f₂), en f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Verliezen laten de trilling ook uitdoven: in serie-RLC neemt de amplitude af als e^−Rt/(2L).

Opgeslagen energie

W = ½·0,00047·0,1² = 2,35 × 10⁻⁶ J

Kwaliteitsfactor

Q = (1/10)·√(0,00047/2,2 × 10⁻⁷) = 4,622

Verloren energie per periode

E_cycle = 2π·W/Q = 2π·2,35 × 10⁻⁶/4,622 = 3,195 × 10⁻⁶ J = 3,195 µJ

controle: ½·0,1²·10/15652 = 3,195 × 10⁻⁶ J

Antwoord

E_cycle = 3,195 µJ

9.Draaistroomvermogen

Antwoord: P = 18,43 kW

Fasespanning

V_ph = V_L = 480 V

Fasestroom

|Z| = √(24² + 18²) = 30 Ω

I_ph = 480/30 = 16 A

Totaal werkelijk vermogen

Alleen het resistieve deel van elke impedantie neemt werkelijk vermogen op.

P = 3·I_ph²·R = 3·16²·24 = 18,43 kW

Antwoord

P = 18,43 kW

Controle: cos φ = R/|Z| = 0,8, en √3·V_L·I_L·cos φ geeft hetzelfde vermogen.

10.Draaistroomvermogen

Antwoord: C_ph = 314,5 µF

Symmetrische draaistroomsystemen: in een Y-schakeling (ster) is de lijnspanning √3 keer de fasespanning, V_L = √3·V_ph, en is de lijnstroom gelijk aan de fasestroom. In een Δ-schakeling (driehoek) is de lijnspanning gelijk aan de fasespanning en is de lijnstroom √3 keer de fasestroom, I_L = √3·I_ph. Het totale vermogen is drie keer het vermogen van één fase: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Arbeidsfactorcompensatie: condensatoren leveren blindvermogen ter plaatse, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Elk van de drie condensatoren levert Q_C/3 = V²·ω·C, waarbij V de spanning over die condensator is: V_L in een driehoeksbank, V_L/√3 in een sterbank.

Blindvermogen voor en na

Het werkelijk vermogen verandert niet, dus elke arbeidsfactor legt het blindvermogen vast: Q = P·tan φ.

Q₁ = 150·tan(acos 0,78) = 150·0,8023 = 120,3 kvar

Q₂ = 150·tan(acos 0,92) = 150·0,426 = 63,9 kvar

Blindvermogen van de condensatoren

Q_C = Q₁ − Q₂ = 56,44 kvar

Capaciteit per fase

In een sterbank is elke condensator aangesloten tussen een lijn en het sterpunt.

V = 690/√3 = 398,4 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 18814/(377·398,4²) = 314,5 µF

Antwoord

C_ph = 314,5 µF

11.RC- en RL-schakelverschijnselen

Antwoord: v_C = 4,105 V

Eerste-orde schakelverschijnselen: in een schakeling met één condensator of één spoel gaat elke spanning en stroom exponentieel van de beginwaarde naar de eindwaarde: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, met τ = RC of τ = L/R. Na ongeveer 5τ is de schakeling uitgeslingerd.

Thévenin-equivalent gezien vanaf de condensator

Sluit de bron kort om R_th te vinden; laat de condensator open om de spanning te vinden waarop hij uitkomt.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 6,8·2,2/(6,8 + 2,2) = 1,662 kΩ

v_C(∞) = 24·2,2/(6,8 + 2,2) = 5,867 V

Tijdconstante

τ = R_th·C = 1,662·10 = 16,62 ms

Laadcurve

v_C(t) = 5,867·(1 − e^−20/16,62) = 4,105 V

Antwoord

v_C = 4,105 V

12.RC- en RL-schakelverschijnselen

Antwoord: i = 0,4062 A

Beginwaarde, eindwaarde, tijdconstante

Vóór t = 0 overbrugt de gesloten schakelaar R₂; daarna zitten R₁ en R₂ allebei in de kring.

i(0) = 9/10 = 0,9 A

i(∞) = 9/(10 + 22) = 0,2813 A

τ = L/R = 100/32 = 3,125 ms

i(t) = 0,2813 + (0,9 − 0,2813)·e^−t/τ

Stroom op het gegeven tijdstip

i(5) = 0,2813 + (0,6188)·e^−5/3,125 = 0,4062 A

Antwoord

i = 0,4062 A

13.Thévenin en Norton

Antwoord: I_N = 0,1923 A

Stelling van Thévenin: elk lineair tweepoolnetwerk gedraagt zich als één spanningsbron V_th in serie met een weerstand R_th. De stelling van Norton geeft hetzelfde netwerk als een stroombron I_N = V_th/R_th parallel aan R_th.

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vervang spanningsbronnen door kortsluitingen en stroombronnen door open circuits, en kijk dan vanaf a–b de schakeling in.

R₁ ∥ R₂ = 10·4/(10+4) = 2,857 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2,857 + 12 = 14,86 Ω

Vind V_th, de openklemspanning

Met a–b open loopt er geen stroom door R₃, dus er valt geen spanning over en V_b = V_A. R₁ en R₂ vormen een spanningsdeler.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 10·4/(10+4) = 2,857 V

Norton-equivalent

Een Norton-bron is dezelfde schakeling, gezien als een stroombron parallel aan R_th. De stroom is de kortsluitstroom tussen a–b.

I_N = V_th/R_th = 2,857/14,86 = 0,1923 A

14.Thévenin en Norton

Antwoord: P_L = 203 W

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vervang spanningsbronnen door kortsluitingen en stroombronnen door open circuits, en kijk dan vanaf a–b de schakeling in.

R₁ ∥ R₂ = 10·30/(10+30) = 7,5 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 7,5 + 25 = 32,5 Ω

Vind V_th, de openklemspanning

Met a–b open is het enige pad voor Iₛ via R₃ naar knooppunt A. Vind V_A met superpositie van V₁ en Iₛ, en tel dan de spanningsval over R₃ erbij op.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 9 + 6·7,5 = 54 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 54 + 6·25 = 204 V

Sluit de belasting aan op het Thévenin-equivalent

De Thévenin-bron en R_th in serie gedragen zich bij a–b precies als de oorspronkelijke schakeling, dus de belasting ziet een eenvoudige serielus.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 204/(32,5 + 8) = 5,037 A

P_L = I_L²·R_L = 5,037²·8 = 203 W

15.Bodediagrammen en marges

Antwoord: |H| = −1,028 dB

Frequentierespons: substitueer s = jω in de overdrachtsfunctie. De grootte in decibel is 20·log₁₀|H(jω)| en de fase is de som van de hoeken van de tellerfactoren min die van de noemerfactoren. Een eerste-orde RC- of RL-filter heeft zijn kantelfrequentie (−3 dB) bij ω_c = 1/(RC) of R/L, en f_c = ω_c/(2π); een laagdoorlaatfilter geeft |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) en φ = −atan(ω/ω_c). In het asymptotische (rechte-lijn-)Bodediagram buigt elke pool de grootte met 20 dB/decade omlaag bij zijn kantelfrequentie, buigt elk nulpunt haar met 20 dB/decade omhoog, en geeft een integrator 1/s −20 dB/decade bij alle frequenties. Versterkingsdoorsnijding ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); fasemarge PM = 180° + ∠L(jω_c). Faseomslag ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; versterkingsmarge GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. De gesloten lus is stabiel als beide marges positief zijn.

Kantelfrequentie

ω_c = 1/(RC) = 1/(10000·2,2 × 10⁻⁹) = 45455 rad/s

f_c = 7234 Hz → f/f_c = 14000/7234 = 1,935

Versterking

|H| = 1,935/√(1 + 1,935²) = 0,8884

20·log₁₀(0,8884) = −1,028 dB

Antwoord

|H| = −1,028 dB

16.Bodediagrammen en marges

Antwoord: GM = 20 dB

Faseomslag

(ω/3)·(ω/5) = 1 → ω₁₈₀ = √(3·5) = 3,873 rad/s

Grootte bij de faseomslag

|L(jω₁₈₀)| = K/(ω·√(ω² + 9)·√(ω² + 25)) = K/(3·5·(3 + 5)) = K/120

Versterkingsmarge

GM = 20·log₁₀(120/12) = 20 dB

Antwoord

GM = 20 dB

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

Netwerkanalyse 2: wisselstroomschakelingen: samenvattingspakket

1Formules en methoden

Complexe getallen

Methode

Wisselstroomimpedantie en fasoren

Methode

Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor

LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte

Methode

Draaistroomvermogen

RC- en RL-schakelverschijnselen

Methode

Thévenin en Norton

Methode

2Oefenopgaven

3Oplossingen

Modulus en argument van w

Rechthoekige vorm

Antwoord

Poolvorm

De Moivre

Rechthoekige vorm

Antwoord

Reactanties

Impedantie

Fasehoek

Antwoord

Reactanties

Impedantie

Stroom

Antwoord

Lijnstroom

Antwoord

Blindvermogen van de bestaande belasting

Grootste totale werkelijk vermogen

Extra werkelijk vermogen

Antwoord

Totale energie

Energie die in de condensator overblijft

Energie in de spoel

Antwoord

Opgeslagen energie

Kwaliteitsfactor

Verloren energie per periode

Antwoord

Fasespanning

Fasestroom

Totaal werkelijk vermogen

Antwoord

Blindvermogen voor en na

Blindvermogen van de condensatoren

Capaciteit per fase

Antwoord

Thévenin-equivalent gezien vanaf de condensator

Tijdconstante

Laadcurve

Antwoord

Beginwaarde, eindwaarde, tijdconstante

Stroom op het gegeven tijdstip

Antwoord

Vind Rth met alle bronnen uitgeschakeld

Vind Vth, de openklemspanning

Norton-equivalent

Vind Rth met alle bronnen uitgeschakeld

Vind Vth, de openklemspanning

Sluit de belasting aan op het Thévenin-equivalent

Kantelfrequentie

Versterking

Antwoord

Faseomslag

Grootte bij de faseomslag

Versterkingsmarge

Antwoord

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vind V_th, de openklemspanning

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vind V_th, de openklemspanning