Netwerkanalyse 2: wisselstroomschakelingen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 16 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Complexe getallen

Rechthoekige vorm: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Modulus en argument: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Poolvorm en exponentiële vorm: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Deling: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Product en quotiënt: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
De Moivre: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n-de machtswortels: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Kwadratische vergelijking met p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Methode

Bepaal welke vorm bij de bewerking past: rechthoekig a + jb voor optellen en aftrekken, pool r∠θ voor vermenigvuldigen, delen, machten en wortels.
Werk uit met j² = −1; deel door teller en noemer te vermenigvuldigen met de geconjugeerde van de noemer.
Reken om met r = √(a² + b²) en θ uit een schets van het punt (controleer het kwadrant), en terug met a = r cos θ, b = r sin θ.
Gebruik voor machten De Moivre, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; noteer voor zⁿ = R∠φ alle n wortels R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Wisselstroomimpedantie en fasoren

Impedanties: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Hoekfrequentie: ω = 2πf
Modulus en hoek: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Wet van Ohm met fasoren: V = I·Z

Methode

Reken de frequentie om: ω = 2πf.
Bereken elke reactantie: X_L = ωL en X_C = 1/(ωC).
Tel impedanties op zoals weerstanden, met Z = R + jX.
Bereken de grootte |Z| = √(R² + X²) en de hoek φ = atan(X/R), en gebruik daarna de wet van Ohm met fasoren.

Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor

Werkelijk vermogen: P = V·I·cos φ
Blindvermogen: Q = V·I·sin φ
Schijnbaar vermogen: S = V·I = √(P² + Q²)
Arbeidsfactor: pf = cos φ = P/S
Compensatiecondensator: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte

Eigenfrequentie: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
Energie: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
Piekstroom: I_max = V₀√(C/L)
Kwaliteitsfactor: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
Serie-RLC: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
Parallel-RLC: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
Bandbreedte: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
Halfvermogensfrequenties: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
Tank met spoelweerstand r: R_D = L/(C·r) = Q²·r
Afname van de amplitude: e^−Rt/(2L)

Methode

Zoek eerst de resonantiefrequentie: ω₀ = 1/√(LC) en f₀ = ω₀/(2π).
Bepaal of de schakeling serie of parallel is: serie Q = (1/R)√(L/C), parallel Q = R√(C/L).
Gebruik BW = f₀/Q voor de bandbreedte, of de snelle formules R/(2πL) (serie) en 1/(2πRC) (parallel).
Gebruik bij energievragen dat de totale energie ½CV₀² in een ideale LC-schakeling constant blijft en elke kwartperiode heen en weer gaat tussen C en L.

Draaistroomvermogen

Sterschakeling (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Driehoekschakeling (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Totaal werkelijk vermogen: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Schijnbaar vermogen en blindvermogen: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Compensatiecondensatoren: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Spanning over elke condensator: Δ: V_L Y: V_L/√3
Opgenomen motorvermogen: P_in = P_out/η

RC- en RL-schakelverschijnselen

Tijdconstante: τ = RC | τ = L/R
Respons: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Condensator bij gelijkstroom: open klemmen; v_C kan niet verspringen
Spoel bij gelijkstroom: kortsluiting; i_L kan niet verspringen
Eindtoestand: t ≈ 5τ

Methode

Bepaal de beginwaarde vlak na het schakelen: een condensatorspanning en een spoelstroom kunnen niet verspringen.
Bepaal de eindwaarde lang na het schakelen: een condensator gedraagt zich als een open keten, een spoel als een kortsluiting.
Bepaal de tijdconstante: τ = RC of τ = L/R, met de weerstand die de condensator of spoel ziet.
Gebruik x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Thévenin en Norton

Thévenin-spanning: V_th = V_{open circuit}
Thévenin-weerstand: R_th: alle bronnen uit, gezien vanaf a–b
Norton-stroom: I_N = V_th/R_th
Belastingsstroom: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Maximale vermogensoverdracht: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Methode

Haal de belasting weg en markeer de twee klemmen a en b.
Bepaal de openklemspanning tussen a en b: dit is V_th.
Schakel alle onafhankelijke bronnen uit en bepaal de weerstand gezien vanaf a–b: dit is R_th.
Zet de belasting terug op het vervangingsschema: V_th in serie met R_th.
Reken voor het Norton-equivalent om: I_N = V_th/R_th, met R_N = R_th parallel.

2Oefenopgaven

1.Complexe getallenGemiddeld

Het getal z = 1,5·e^j2,8 heeft zijn hoek in radialen. Bepaal het imaginaire deel b.

r = 1,5θ = 2,8 rad

b =

2.Complexe getallenMoeilijk

Gebruik de stelling van De Moivre om het reële deel van z⁸ te vinden voor z = 2 + j2.

z = 2 + j2n = 8

Re(z⁸) =

3.Wisselstroomimpedantie en fasorenGemiddeld

Een serie-RLC-schakeling is aangesloten op een voeding van 50 V (rms), 50 Hz. Vind het werkelijk vermogen P dat uit de voeding wordt opgenomen.

V = 50 V (rms)f = 50 HzR = 30 ΩL = 200 mHC = 100 µF

P = W

4.Wisselstroomimpedantie en fasorenMoeilijk

Een serie-RLC-schakeling wordt gevoed door een bron van 5 V (rms) waarvan de frequentie is ingesteld op de resonantiefrequentie van de schakeling. Vind de effectieve spanning V_L over de spoel.

V = 5 V (rms)R = 10 ΩL = 50 mHC = 0,22 µF

V_L = V

5.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactorGemiddeld

Een inductieve belasting neemt 13 A en 2392 W op uit een eenfasige voeding van 230 V (rms). Modelleer haar als een weerstand R in serie met een reactantie X. Vind R.

V = 230 VI = 13 AP = 2392 W

R = Ω

6.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactorMoeilijk

Een eenfasige belasting neemt 17 kW op met een inductieve arbeidsfactor van 0,8 uit een voeding van 240 V, 50 Hz. Parallel aan de belasting wordt een condensator van 100 µF aangesloten. Vind de nieuwe arbeidsfactor cos φ die de voeding ziet.

P = 17 kWpf₁ = 0,8V = 240 Vf = 50 HzC = 100 µF

cos φ =

7.LC-resonantie, Q-factor en bandbreedteGemiddeld

Een parallel-RLC-schakeling heeft R = 100 kΩ, L = 100 µH en C = 470 pF. Bepaal zijn kwaliteitsfactor Q.

R = 100 kΩL = 100 µHC = 470 pF

Q =

8.LC-resonantie, Q-factor en bandbreedteMoeilijk

Een serie-RLC-schakeling (R = 10 Ω, L = 4,7 mH, C = 1 µF) wordt bij resonantie aangestuurd met een stroomamplitude van 50 mA. Bepaal de energie E_cycle die in R per periode wordt gedissipeerd, in µJ.

R = 10 ΩL = 4,7 mHC = 1 µFI_m = 50 mA

E_cycle = µJ

9.DraaistroomvermogenGemiddeld

Een driefasige inductiemotor levert bij vollast 15 kW mechanisch vermogen. Bij deze belasting is het rendement 94% en de arbeidsfactor 0,86 inductief. Het net heeft een lijnspanning van 480 V. Vind de lijnstroom I_L.

P_out = 15 kWη = 94%cos φ = 0,86V_L = 480 V

I_L = A

10.DraaistroomvermogenMoeilijk

Een symmetrische driefasige belasting neemt 300 kW op bij een inductieve arbeidsfactor van 0,7 uit een net van 415 V (lijnspanning), 50 Hz. Een driefasige condensatorbank parallel aan de belasting moet de totale arbeidsfactor verhogen tot 0,92 inductief. Het werkelijk vermogen blijft gelijk. Vind het totale blindvermogen Q_C dat de condensatorbank moet leveren, in kvar.

P = 300 kWpf₁ = 0,7pf₂ = 0,92V_L = 415 Vf = 50 Hz

Q_C = kvar

11.RC- en RL-schakelverschijnselenGemiddeld

De spoel voert geen stroom voordat de schakelaar op t = 0 sluit. Vind de spanning v_L over de spoel op t = 5 ms.

V_s = 5 VR = 22 ΩL = 68 mHt = 5 ms

v_L = V

12.RC- en RL-schakelverschijnselenMoeilijk

Vlak voordat de schakelaar op t = 0 sluit, staat er 18 V over de condensator met de aangegeven polariteit. Vind de condensatorspanning v_C op t = 100 ms.

V_s = 15 VR = 3,3 kΩC = 68 µFv_C(0) = 18 Vt = 100 ms

v_C = V

13.Thévenin en NortonGemiddeld

Vind de Thévenin-weerstand R_th gezien vanaf de klemmen a–b.

V₁ = 15 VR₁ = 6 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 6 Ω

R_th = Ω

14.Thévenin en NortonMoeilijk

Een belasting R_L = 10 Ω is aangesloten over a–b. Gebruik een Thévenin-equivalent om het vermogen P_L in de belasting te vinden.

V₁ = 9 VI_s = 6 AR₁ = 20 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 8 ΩR_L = 10 Ω

P_L = W

15.Bodediagrammen en margesGemiddeld

Het getoonde RC-hoogdoorlaatfilter heeft R = 3,3 kΩ, C = 47 nF. Er wordt een sinusvormige ingang van 10 kHz aangelegd. Bepaal de faseverschuiving φ van v_out ten opzichte van v_in, in graden.

R = 3,3 kΩC = 47 nFf = 10 kHz

φ = °

16.Bodediagrammen en margesMoeilijk

Een lus met eenheidsterugkoppeling heeft de open-lus-overdrachtsfunctie L(s) = 112/(s(s + 4)). Bepaal de fasemarge PM in graden.

L(s) = 112/(s(s + 4))

PM = °

3Oplossingen

1.Complexe getallen

Antwoord: b = 0,5025

Poolvorm: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, met r = |z| en θ = arg z. Terug naar de rechthoekige vorm: a = r cos θ, b = r sin θ. Voor het argument is het kwadrant nodig: θ = atan(b/a) alleen als a > 0; voor a < 0 tel je 180° op of trek je 180° af. In poolvorm is vermenigvuldigen eenvoudig: vermenigvuldig de moduli en tel de argumenten op; bij delen deel je de moduli en trek je de argumenten af.

Formule van Euler

z = 1,5·(cos 2,8 + j sin 2,8)

Componenten (radialen)

a = 1,5·cos 2,8 = −1,413

b = 1,5·sin 2,8 = 0,5025

b = 0,5025

Antwoord

b = 0,5025

2.Complexe getallen

Antwoord: Re(z⁸) = 4096

De Moivre en wortels: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. De vergelijking zⁿ = R∠φ heeft precies n wortels, allemaal met modulus R^1/n, bij de argumenten (φ + 360°·k)/n voor k = 0, 1, …, n − 1: ze liggen gelijkmatig verdeeld op een cirkel, 360°/n uit elkaar. Een kwadratische vergelijking z² + pz + q = 0 met p² < 4q heeft de complexe wortels z = −p/2 ± j√(q − p²/4); een polynoom met reële coëfficiënten heeft zijn complexe wortels altijd in geconjugeerde paren a ± jb.

Poolvorm

z = 2 + j2 = 2√2∠45°

De Moivre

z⁸ = (2√2)⁸∠360° = 4096∠0°

Rechthoekige vorm

z⁸ = 4096·(cos 0° + j sin 0°) = 4096

Re(z⁸) = 4096

Antwoord

Re(z⁸) = 4096

3.Wisselstroomimpedantie en fasoren

Antwoord: P = 40,3 W

Wisselstroom met fasoren: weerstanden, spoelen en condensatoren hebben impedanties R, jωL en 1/(jωC), met ω = 2πf. In serie tellen impedanties op zoals weerstanden, maar dan als complexe getallen. Effectieve stroom en spanning volgen de wet van Ohm met |Z|.

Reactanties

X_L = 62,83 Ω, X_C = 31,83 Ω

Impedantie

|Z| = √(30² + (31)²) = 43,14 Ω

Werkelijk vermogen

Spoelen en condensatoren slaan alleen energie op en geven die terug; de weerstand neemt al het werkelijk vermogen op.

I = 50/43,14 = 1,159 A

P = I²·R = 1,159²·30 = 40,3 W

Antwoord

P = 40,3 W

4.Wisselstroomimpedantie en fasoren

Antwoord: V_L = 238,4 V

Resonantie

Bij resonantie heffen de reactanties elkaar op, dus de impedantie is gewoon R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,05·0,22·10⁻⁶) = 9535 rad/s

I = V/R = 5/10 = 0,5 A

Spanning over de spoel

X_L = ω₀L = 9535·0,05 = 476,7 Ω

V_L = I·X_L = 0,5·476,7 = 238,4 V

Antwoord

V_L = 238,4 V

Dit is Q = 47,67 keer de voedingsspanning.

5.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor

Antwoord: R = 14,15 Ω

Wisselstroomvermogen: het schijnbaar vermogen S = V·I (VA) splitst zich in werkelijk vermogen P = S·cos φ (W), dat nuttig werk doet, en blindvermogen Q = S·sin φ (var), dat heen en weer gaat tussen bron en belasting. De arbeidsfactor is cos φ. Een condensator parallel levert blindvermogen ter plaatse, dus de lijnstroom daalt bij hetzelfde werkelijk vermogen.

Weerstand uit het werkelijk vermogen

R = P/I² = 2392/13² = 14,15 Ω

Antwoord

R = 14,15 Ω

6.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor

Antwoord: cos φ = 0,8409

Blindvermogen voor en na

Het werkelijk vermogen P verandert niet; alleen het blindvermogen uit het net verandert.

Q₁ = 17·tan(arccos 0,8) = 12,75 kvar

Q_C = V²·2πf·C = 240²·2π·50·100·10⁻⁶ = 1810 var = 1,81 kvar

Q₂ = 12,75 − 1,81 = 10,94 kvar

Nieuw schijnbaar vermogen

S₂ = √(17² + 10,94²) = 20,22 kVA

Nieuwe arbeidsfactor

cos φ = P/S₂ = 17/20,22 = 0,8409

Antwoord

cos φ = 0,8409

7.LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte

Antwoord: Q = 216,8

Q-factor en bandbreedte: in een resonantiekring is Q = 2π·(opgeslagen energie)/(verloren energie per periode). Voor serie-RLC is Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C); voor parallel-RLC is Q = R/(ω₀L) = R√(C/L). De bandbreedte tussen de halfvermogensfrequenties f₁ en f₂ (waar het vermogen de helft is en de stroom of spanning 1/√2 van de piekwaarde) is BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, dat is R/(2πL) in serie en 1/(2πRC) parallel. De resonantiefrequentie is het meetkundig gemiddelde f₀ = √(f₁f₂), en f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Verliezen laten de trilling ook uitdoven: in serie-RLC neemt de amplitude af als e^−Rt/(2L).

Resonantiefrequentie

ω₀ = 1/√(LC) = 4,613 × 10⁶ rad/s

Kwaliteitsfactor

Q = R/(ω₀L) = 100000/(4,613 × 10⁶·1 × 10⁻⁴) = 216,8

Antwoord

Q = 216,8

De bandbreedte is 1/(2πRC) = 3,386 kHz.

8.LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte

Antwoord: E_cycle = 5,384 µJ

Opgeslagen energie

W = ½·0,0047·0,05² = 5,875 × 10⁻⁶ J

Kwaliteitsfactor

Q = (1/10)·√(0,0047/1 × 10⁻⁶) = 6,856

Verloren energie per periode

E_cycle = 2π·W/Q = 2π·5,875 × 10⁻⁶/6,856 = 5,384 × 10⁻⁶ J = 5,384 µJ

controle: ½·0,05²·10/2322 = 5,384 × 10⁻⁶ J

Antwoord

E_cycle = 5,384 µJ

9.Draaistroomvermogen

Antwoord: I_L = 22,32 A

Opgenomen elektrisch vermogen

P_in = P_out/η = 15/0,94 = 15,96 kW

Lijnstroom

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 15957/(√3·480·0,86) = 22,32 A

Antwoord

I_L = 22,32 A

10.Draaistroomvermogen

Antwoord: Q_C = 178,3 kvar

Symmetrische draaistroomsystemen: in een Y-schakeling (ster) is de lijnspanning √3 keer de fasespanning, V_L = √3·V_ph, en is de lijnstroom gelijk aan de fasestroom. In een Δ-schakeling (driehoek) is de lijnspanning gelijk aan de fasespanning en is de lijnstroom √3 keer de fasestroom, I_L = √3·I_ph. Het totale vermogen is drie keer het vermogen van één fase: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Arbeidsfactorcompensatie: condensatoren leveren blindvermogen ter plaatse, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Elk van de drie condensatoren levert Q_C/3 = V²·ω·C, waarbij V de spanning over die condensator is: V_L in een driehoeksbank, V_L/√3 in een sterbank.

Blindvermogen voor en na

Het werkelijk vermogen verandert niet, dus elke arbeidsfactor legt het blindvermogen vast: Q = P·tan φ.

Q₁ = 300·tan(acos 0,7) = 300·1,02 = 306,1 kvar

Q₂ = 300·tan(acos 0,92) = 300·0,426 = 127,8 kvar

Blindvermogen van de condensatoren

Q_C = Q₁ − Q₂ = 178,3 kvar

Antwoord

Q_C = 178,3 kvar

11.RC- en RL-schakelverschijnselen

Antwoord: v_L = 0,9918 V

Eerste-orde schakelverschijnselen: in een schakeling met één condensator of één spoel gaat elke spanning en stroom exponentieel van de beginwaarde naar de eindwaarde: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, met τ = RC of τ = L/R. Na ongeveer 5τ is de schakeling uitgeslingerd.

Tijdconstante en eindstroom

Lang na het sluiten van de schakelaar gedraagt de spoel zich als een kortsluiting, dus de eindstroom wordt alleen door R bepaald.

τ = L/R = 68 mH / 22 Ω = 3,091 ms

i(∞) = V_s/R = 5/22 = 0,2273 A

Spoelspanning

Op t = 0 staat de hele voedingsspanning over de spoel; daarna neemt die af tot nul.

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 5·e^−5/3,091 = 0,9918 V

Antwoord

v_L = 0,9918 V

12.RC- en RL-schakelverschijnselen

Antwoord: v_C = 16,92 V

Beginwaarde, eindwaarde, tijdconstante

De condensatorspanning kan niet verspringen, dus begint ze bij de opgeslagen waarde en gaat ze naar de bronspanning.

v_C(0) = 18 V, v_C(∞) = V_s = 15 V

τ = R·C = 3,3 kΩ · 68 µF = 224,4 ms

v_C(t) = 15 + (18 − 15)·e^−t/τ

Spanning op het gegeven tijdstip

v_C(100) = 15 + (3)·e^−100/224,4 = 16,92 V

Antwoord

v_C = 16,92 V

13.Thévenin en Norton

Antwoord: R_th = 7,5 Ω

Stelling van Thévenin: elk lineair tweepoolnetwerk gedraagt zich als één spanningsbron V_th in serie met een weerstand R_th. De stelling van Norton geeft hetzelfde netwerk als een stroombron I_N = V_th/R_th parallel aan R_th.

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vervang spanningsbronnen door kortsluitingen en stroombronnen door open circuits, en kijk dan vanaf a–b de schakeling in.

R₁ ∥ R₂ = 6·2/(6+2) = 1,5 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1,5 + 6 = 7,5 Ω

14.Thévenin en Norton

Antwoord: P_L = 136,6 W

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vervang spanningsbronnen door kortsluitingen en stroombronnen door open circuits, en kijk dan vanaf a–b de schakeling in.

R₁ ∥ R₂ = 20·20/(20+20) = 10 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 10 + 8 = 18 Ω

Vind V_th, de openklemspanning

Met a–b open is het enige pad voor Iₛ via R₃ naar knooppunt A. Vind V_A met superpositie van V₁ en Iₛ, en tel dan de spanningsval over R₃ erbij op.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 4,5 + (−6)·10 = −55,5 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = −55,5 + (−6)·8 = −103,5 V

Sluit de belasting aan op het Thévenin-equivalent

De Thévenin-bron en R_th in serie gedragen zich bij a–b precies als de oorspronkelijke schakeling, dus de belasting ziet een eenvoudige serielus.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = −103,5/(18 + 10) = −3,696 A

P_L = I_L²·R_L = −3,696²·10 = 136,6 W

15.Bodediagrammen en marges

Antwoord: φ = 5,859 °

Frequentierespons: substitueer s = jω in de overdrachtsfunctie. De grootte in decibel is 20·log₁₀|H(jω)| en de fase is de som van de hoeken van de tellerfactoren min die van de noemerfactoren. Een eerste-orde RC- of RL-filter heeft zijn kantelfrequentie (−3 dB) bij ω_c = 1/(RC) of R/L, en f_c = ω_c/(2π); een laagdoorlaatfilter geeft |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) en φ = −atan(ω/ω_c). In het asymptotische (rechte-lijn-)Bodediagram buigt elke pool de grootte met 20 dB/decade omlaag bij zijn kantelfrequentie, buigt elk nulpunt haar met 20 dB/decade omhoog, en geeft een integrator 1/s −20 dB/decade bij alle frequenties. Versterkingsdoorsnijding ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); fasemarge PM = 180° + ∠L(jω_c). Faseomslag ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; versterkingsmarge GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. De gesloten lus is stabiel als beide marges positief zijn.

Kantelfrequentie

ω_c = 1/(RC) = 1/(3300·4,7 × 10⁻⁸) = 6447 rad/s

f_c = 1026 Hz → f/f_c = 10000/1026 = 9,745

Fase

φ = 90° − atan(9,745) = 5,859°

Antwoord

φ = 5,859°

16.Bodediagrammen en marges

Antwoord: PM = 21,39 °

Versterkingsdoorsnijding

ω⁴ + 16ω² − 12544 = 0

ω² = (−16 + √(256 + 4·12544))/2 = 104,3

ω_c = 10,21 rad/s

Fasemarge

∠L(jω_c) = −90° − atan(10,21/4) = −158,6°

PM = 180° + ∠L = 21,39°

Antwoord

PM = 21,39°

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

Netwerkanalyse 2: wisselstroomschakelingen: samenvattingspakket

1Formules en methoden

Complexe getallen

Methode

Wisselstroomimpedantie en fasoren

Methode

Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor

LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte

Methode

Draaistroomvermogen

RC- en RL-schakelverschijnselen

Methode

Thévenin en Norton

Methode

2Oefenopgaven

3Oplossingen

Formule van Euler

Componenten (radialen)

Antwoord

Poolvorm

De Moivre

Rechthoekige vorm

Antwoord

Reactanties

Impedantie

Werkelijk vermogen

Antwoord

Resonantie

Spanning over de spoel

Antwoord

Weerstand uit het werkelijk vermogen

Antwoord

Blindvermogen voor en na

Nieuw schijnbaar vermogen

Nieuwe arbeidsfactor

Antwoord

Resonantiefrequentie

Kwaliteitsfactor

Antwoord

Opgeslagen energie

Kwaliteitsfactor

Verloren energie per periode

Antwoord

Opgenomen elektrisch vermogen

Lijnstroom

Antwoord

Blindvermogen voor en na

Blindvermogen van de condensatoren

Antwoord

Tijdconstante en eindstroom

Spoelspanning

Antwoord

Beginwaarde, eindwaarde, tijdconstante

Spanning op het gegeven tijdstip

Antwoord

Vind Rth met alle bronnen uitgeschakeld

Vind Rth met alle bronnen uitgeschakeld

Vind Vth, de openklemspanning

Sluit de belasting aan op het Thévenin-equivalent

Kantelfrequentie

Fase

Antwoord

Versterkingsdoorsnijding

Fasemarge

Antwoord

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vind V_th, de openklemspanning