Bepaal welke vorm bij de bewerking past: rechthoekig a + jb voor optellen en aftrekken, pool r∠θ voor vermenigvuldigen, delen, machten en wortels.
Werk uit met j² = −1; deel door teller en noemer te vermenigvuldigen met de geconjugeerde van de noemer.
Reken om met r = √(a² + b²) en θ uit een schets van het punt (controleer het kwadrant), en terug met a = r cos θ, b = r sin θ.
Gebruik voor machten De Moivre, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; noteer voor zⁿ = R∠φ alle n wortels R1/n∠((φ + 360°k)/n).
Wisselstroomimpedantie en fasoren
Impedanties
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Hoekfrequentie
ω = 2πf
Modulus en hoek
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Wet van Ohm met fasoren
V = I·Z
Methode
Reken de frequentie om: ω = 2πf.
Bereken elke reactantie: XL = ωL en XC = 1/(ωC).
Tel impedanties op zoals weerstanden, met Z = R + jX.
Bereken de grootte |Z| = √(R² + X²) en de hoek φ = atan(X/R), en gebruik daarna de wet van Ohm met fasoren.
Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor
Werkelijk vermogen
P = V·I·cos φ
Blindvermogen
Q = V·I·sin φ
Schijnbaar vermogen
S = V·I = √(P² + Q²)
Arbeidsfactor
pf = cos φ = P/S
Compensatiecondensator
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte
Eigenfrequentie
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
Energie
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
Piekstroom
Imax = V0√(C/L)
Kwaliteitsfactor
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
Serie-RLC
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
Parallel-RLC
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
Bandbreedte
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
Halfvermogensfrequenties
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
Tank met spoelweerstand r
RD = L/(C·r) = Q²·r
Afname van de amplitude
e−Rt/(2L)
Methode
Zoek eerst de resonantiefrequentie: ω₀ = 1/√(LC) en f₀ = ω₀/(2π).
Bepaal of de schakeling serie of parallel is: serie Q = (1/R)√(L/C), parallel Q = R√(C/L).
Gebruik BW = f₀/Q voor de bandbreedte, of de snelle formules R/(2πL) (serie) en 1/(2πRC) (parallel).
Gebruik bij energievragen dat de totale energie ½CV₀² in een ideale LC-schakeling constant blijft en elke kwartperiode heen en weer gaat tussen C en L.
Draaistroomvermogen
Sterschakeling (Y)
VL = √3·Vph, IL = Iph
Driehoekschakeling (Δ)
VL = Vph, IL = √3·Iph
Totaal werkelijk vermogen
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
Schijnbaar vermogen en blindvermogen
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
Compensatiecondensatoren
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
Spanning over elke condensator
Δ: VL Y: VL/√3
Opgenomen motorvermogen
Pin = Pout/η
RC- en RL-schakelverschijnselen
Tijdconstante
τ = RC | τ = L/R
Respons
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Condensator bij gelijkstroom
open klemmen; vC kan niet verspringen
Spoel bij gelijkstroom
kortsluiting; iL kan niet verspringen
Eindtoestand
t ≈ 5τ
Methode
Bepaal de beginwaarde vlak na het schakelen: een condensatorspanning en een spoelstroom kunnen niet verspringen.
Bepaal de eindwaarde lang na het schakelen: een condensator gedraagt zich als een open keten, een spoel als een kortsluiting.
Bepaal de tijdconstante: τ = RC of τ = L/R, met de weerstand die de condensator of spoel ziet.
Gebruik x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.
Thévenin en Norton
Thévenin-spanning
Vth = Vopen circuit
Thévenin-weerstand
Rth: alle bronnen uit, gezien vanaf a–b
Norton-stroom
IN = Vth/Rth
Belastingsstroom
IL = Vth/(Rth + RL)
Maximale vermogensoverdracht
RL = Rth, Pmax = Vth²/(4Rth)
Methode
Haal de belasting weg en markeer de twee klemmen a en b.
Bepaal de openklemspanning tussen a en b: dit is Vth.
Schakel alle onafhankelijke bronnen uit en bepaal de weerstand gezien vanaf a–b: dit is Rth.
Zet de belasting terug op het vervangingsschema: Vth in serie met Rth.
Reken voor het Norton-equivalent om: IN = Vth/Rth, met RN = Rth parallel.
2Oefenopgaven
1.Complexe getallenGemiddeld
Schrijf z = −4 − j9 in exponentiële vorm r·ejθ. Geef θ in radialen, tussen −π en π.
z = −4 − j9
θ = rad
2.Complexe getallenMoeilijk
Precies één van de punten A–D is een wortel van z³ = 27∠0°. Klik erop.
w = 27∠0°n = 3
1A (5,4∠0°)
2B (3∠180°)
3C (3∠−30°)
4D (3∠0°)
3.Wisselstroomimpedantie en fasorenGemiddeld
Een serie-RLC-schakeling is aangesloten op een voeding van 230 V (rms), 500 Hz. Vind de arbeidsfactor cos φ van de schakeling.
V = 230 V (rms)f = 500 HzR = 80 ΩL = 20 mHC = 10 µF
cos φ =
4.Wisselstroomimpedantie en fasorenMoeilijk
Een serie-RLC-schakeling is aangesloten op een voeding van 50 V (rms), 1000 Hz. Vind de resonantiefrequentie f0 van de schakeling.
V = 50 V (rms)f = 1000 HzR = 80 ΩL = 100 mHC = 4,7 µF
f0 = Hz
5.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactorGemiddeld
Een belasting met impedantie Z = 6 + j8 Ω is aangesloten op een eenfasige voeding van 240 V (rms). Vind het blindvermogen Q dat ze opneemt.
V = 240 VZ = 6 + j8 Ω
Q = var
6.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactorMoeilijk
Een eenfasige belasting neemt 35 kW op bij een inductieve arbeidsfactor van 0,75 uit een voeding van 240 V, 60 Hz. Een parallel geschakelde condensator verhoogt de arbeidsfactor tot 0,95. Vind de benodigde capaciteit C.
P = 35 kWpf1 = 0,75pf2 = 0,95V = 240 Vf = 60 Hz
C = µF
7.LC-resonantie, Q-factor en bandbreedteGemiddeld
Een serie-RLC-schakeling heeft R = 100 Ω, L = 4,7 mH en C = 2,2 nF. Bepaal zijn bandbreedte BW in kHz.
R = 100 ΩL = 4,7 mHC = 2,2 nF
BW = kHz
8.LC-resonantie, Q-factor en bandbreedteMoeilijk
Een opgeladen condensator van 470 nF ontlaadt over een spoel van 22 mH met een totale serieweerstand van 5 Ω, zodat de oscillatie langzaam uitdooft. De amplitude neemt af als e−Rt/(2L). Hoeveel perioden n verstrijken voordat de amplitude is gehalveerd? (De verliezen zijn klein, dus de frequentie is f₀.)
L = 22 mHC = 470 nFR = 5 Ω
n =
9.DraaistroomvermogenGemiddeld
Een driefasige inductiemotor levert bij vollast 110 kW mechanisch vermogen. Bij deze belasting is het rendement 90% en de arbeidsfactor 0,86 inductief. Het net heeft een lijnspanning van 400 V. Vind de lijnstroom IL.
Pout = 110 kWη = 90%cos φ = 0,86VL = 400 V
IL = A
10.DraaistroomvermogenMoeilijk
Een symmetrische driefasige belasting neemt 250 kW op bij een inductieve arbeidsfactor van 0,75 uit een net van 690 V (lijnspanning), 50 Hz. Een driefasige condensatorbank parallel aan de belasting moet de totale arbeidsfactor verhogen tot 0,98 inductief. Het werkelijk vermogen blijft gelijk. Vind het totale blindvermogen QC dat de condensatorbank moet leveren, in kvar.
P = 250 kWpf1 = 0,75pf2 = 0,98VL = 690 Vf = 50 Hz
QC = kvar
11.RC- en RL-schakelverschijnselenGemiddeld
De spoel voert een constante stroom van 0,5 A. Op t = 0 sluit de schakelaar de kring via R en wordt de bron verwijderd, zodat de spoelstroom via R uitdooft. Hoe lang duurt het voordat de stroom gedaald is tot 0,05 A? Vind t.
i(0) = 0,5 AR = 22 ΩL = 68 mH
t = ms
12.RC- en RL-schakelverschijnselenMoeilijk
De schakelaar is al lang gesloten, dus de schakeling is in de stationaire toestand. Op t = 0 gaat de schakelaar open. Vind de stroom i2 door R2 op t = 100 ms.
Vs = 24 VR1 = 6,8 kΩR2 = 2,2 kΩC = 68 µFt = 100 ms
i2 = mA
13.Thévenin en NortonGemiddeld
Vind de Thévenin-weerstand Rth gezien vanaf de klemmen a–b.
V1 = 9 VR1 = 15 ΩR2 = 10 ΩR3 = 5 Ω
Rth = Ω
14.Thévenin en NortonMoeilijk
Vind de Thévenin-spanning Vth gezien vanaf de klemmen a–b.
V1 = 6 VIs = 4 AR1 = 6 ΩR2 = 4 ΩR3 = 20 Ω
Vth = V
15.Bodediagrammen en margesGemiddeld
Het getoonde RC-hoogdoorlaatfilter heeft R = 10 kΩ, C = 22 nF. Er wordt een sinusvormige ingang van 7,2 kHz aangelegd. Bepaal de faseverschuiving φ van vout ten opzichte van vin, in graden.
R = 10 kΩC = 22 nFf = 7,2 kHz
φ = °
16.Bodediagrammen en margesMoeilijk
Een lus met eenheidsterugkoppeling heeft de open-lus-overdrachtsfunctie L(s) = 24/(s(s + 2)(s + 4)). Bepaal de versterkingsmarge GM in dB.
L(s) = 24/(s(s + 2)(s + 4))
GM = dB
3Oplossingen
1.Complexe getallen
Antwoord: θ = −1,989 rad
Poolvorm: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ, met r = |z| en θ = arg z. Terug naar de rechthoekige vorm: a = r cos θ, b = r sin θ. Voor het argument is het kwadrant nodig: θ = atan(b/a) alleen als a > 0; voor a < 0 tel je 180° op of trek je 180° af. In poolvorm is vermenigvuldigen eenvoudig: vermenigvuldig de moduli en tel de argumenten op; bij delen deel je de moduli en trek je de argumenten af.
Modulus
r = √(16 + 81) = 9,849
Argument in radialen
θ = −114° = −114·π/180 = −1,989 rad
Exponentiële vorm
z = 9,849·e−j1,989
Antwoord
θ = −1,989 rad
2.Complexe getallen
Antwoord: D (3∠0°)
De Moivre en wortels: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. De vergelijking zⁿ = R∠φ heeft precies n wortels, allemaal met modulus R1/n, bij de argumenten (φ + 360°·k)/n voor k = 0, 1, …, n − 1: ze liggen gelijkmatig verdeeld op een cirkel, 360°/n uit elkaar. Een kwadratische vergelijking z² + pz + q = 0 met p² < 4q heeft de complexe wortels z = −p/2 ± j√(q − p²/4); een polynoom met reële coëfficiënten heeft zijn complexe wortels altijd in geconjugeerde paren a ± jb.
Modulus en argumenten van de wortels
|z| = 3
θ = 0°, 120°, −120°
Het punt
D = 3∠0°
Antwoord
D (3∠0°)
3.Wisselstroomimpedantie en fasoren
Antwoord: cos φ = 0,9324
Wisselstroom met fasoren: weerstanden, spoelen en condensatoren hebben impedanties R, jωL en 1/(jωC), met ω = 2πf. In serie tellen impedanties op zoals weerstanden, maar dan als complexe getallen. Effectieve stroom en spanning volgen de wet van Ohm met |Z|.
Reactanties
XL = 62,83 Ω, XC = 31,83 Ω
Impedantie
|Z| = √(80² + (31)²) = 85,8 Ω
Arbeidsfactor
cos φ = R/|Z| = 80/85,8 = 0,9324
De schakeling is inductief, dus de arbeidsfactor is inductief (naijlend).
Antwoord
cos φ = 0,9324
4.Wisselstroomimpedantie en fasoren
Antwoord: f0 = 232,2 Hz
Wisselstroom met fasoren: weerstanden, spoelen en condensatoren hebben impedanties R, jωL en 1/(jωC), met ω = 2πf. In serie tellen impedanties op zoals weerstanden, maar dan als complexe getallen. Effectieve stroom en spanning volgen de wet van Ohm met |Z|.
Resonantie
Bij resonantie heffen de inductieve en capacitieve reactantie elkaar op: ωL = 1/(ωC). De voedingsfrequentie doet er niet toe.
Wisselstroomvermogen: het schijnbaar vermogen S = V·I (VA) splitst zich in werkelijk vermogen P = S·cos φ (W), dat nuttig werk doet, en blindvermogen Q = S·sin φ (var), dat heen en weer gaat tussen bron en belasting. De arbeidsfactor is cos φ. Een condensator parallel levert blindvermogen ter plaatse, dus de lijnstroom daalt bij hetzelfde werkelijk vermogen.
Stroom
|Z| = √(6² + 8²) = 10 Ω
I = V/|Z| = 240/10 = 24 A
Blindvermogen
Q = I²·X = 24²·8 = 4608 var
Antwoord
Q = 4608 var
6.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor
Antwoord: C = 891,7 µF
Wisselstroomvermogen: het schijnbaar vermogen S = V·I (VA) splitst zich in werkelijk vermogen P = S·cos φ (W), dat nuttig werk doet, en blindvermogen Q = S·sin φ (var), dat heen en weer gaat tussen bron en belasting. De arbeidsfactor is cos φ. Een condensator parallel levert blindvermogen ter plaatse, dus de lijnstroom daalt bij hetzelfde werkelijk vermogen.
Blindvermogen voor en na
Het werkelijk vermogen P verandert niet; alleen het blindvermogen uit het net verandert.
Q1 = P·tan φ1 = 35·tan(41,41°) = 30,87 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 35·tan(18,19°) = 11,5 kvar
QC = Q1 − Q2 = 19,36 kvar
Capaciteit
Een condensator over de voeding levert Q = V²·ωC.
C = QC/(2πf·V²) = 19363/(2π·60·240²) = 891,7 µF
Antwoord
C = 891,7 µF
7.LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte
Antwoord: BW = 3,386 kHz
Q-factor en bandbreedte: in een resonantiekring is Q = 2π·(opgeslagen energie)/(verloren energie per periode). Voor serie-RLC is Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C); voor parallel-RLC is Q = R/(ω0L) = R√(C/L). De bandbreedte tussen de halfvermogensfrequenties f1 en f2 (waar het vermogen de helft is en de stroom of spanning 1/√2 van de piekwaarde) is BW = f2 − f1 = f0/Q, dat is R/(2πL) in serie en 1/(2πRC) parallel. De resonantiefrequentie is het meetkundig gemiddelde f0 = √(f1f2), en f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Verliezen laten de trilling ook uitdoven: in serie-RLC neemt de amplitude af als e−Rt/(2L).
Bandbreedte in rad/s
R/L = 100/0,0047 = 21277 rad/s
Bandbreedte in Hz
BW = 21277/(2π) = 3386 Hz = 3,386 kHz
Antwoord
BW = 3,386 kHz
Met f₀ = 49,49 kHz geeft dit Q = 14,62.
8.LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte
Antwoord: n = 9,547
Q-factor en bandbreedte: in een resonantiekring is Q = 2π·(opgeslagen energie)/(verloren energie per periode). Voor serie-RLC is Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C); voor parallel-RLC is Q = R/(ω0L) = R√(C/L). De bandbreedte tussen de halfvermogensfrequenties f1 en f2 (waar het vermogen de helft is en de stroom of spanning 1/√2 van de piekwaarde) is BW = f2 − f1 = f0/Q, dat is R/(2πL) in serie en 1/(2πRC) parallel. De resonantiefrequentie is het meetkundig gemiddelde f0 = √(f1f2), en f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Verliezen laten de trilling ook uitdoven: in serie-RLC neemt de amplitude af als e−Rt/(2L).
Halfwaardetijd van de amplitude
t = 2·0,022·ln 2/5 = 0,0061 s
Aantal perioden
n = t·f0 = 0,0061·1565 = 9,547
Antwoord
n = 9,547
Snelle formule: n = Q·ln 2/π met Q = 43,27.
9.Draaistroomvermogen
Antwoord: IL = 205,1 A
Symmetrische draaistroomsystemen: in een Y-schakeling (ster) is de lijnspanning √3 keer de fasespanning, VL = √3·Vph, en is de lijnstroom gelijk aan de fasestroom. In een Δ-schakeling (driehoek) is de lijnspanning gelijk aan de fasespanning en is de lijnstroom √3 keer de fasestroom, IL = √3·Iph. Het totale vermogen is drie keer het vermogen van één fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
Opgenomen elektrisch vermogen
Pin = Pout/η = 110/0,9 = 122,2 kW
Lijnstroom
IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 122222/(√3·400·0,86) = 205,1 A
Antwoord
IL = 205,1 A
10.Draaistroomvermogen
Antwoord: QC = 169,7 kvar
Symmetrische draaistroomsystemen: in een Y-schakeling (ster) is de lijnspanning √3 keer de fasespanning, VL = √3·Vph, en is de lijnstroom gelijk aan de fasestroom. In een Δ-schakeling (driehoek) is de lijnspanning gelijk aan de fasespanning en is de lijnstroom √3 keer de fasestroom, IL = √3·Iph. Het totale vermogen is drie keer het vermogen van één fase: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. Arbeidsfactorcompensatie: condensatoren leveren blindvermogen ter plaatse, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). Elk van de drie condensatoren levert QC/3 = V²·ω·C, waarbij V de spanning over die condensator is: VL in een driehoeksbank, VL/√3 in een sterbank.
Blindvermogen voor en na
Het werkelijk vermogen verandert niet, dus elke arbeidsfactor legt het blindvermogen vast: Q = P·tan φ.
Q1 = 250·tan(acos 0,75) = 250·0,8819 = 220,5 kvar
Q2 = 250·tan(acos 0,98) = 250·0,2031 = 50,76 kvar
Blindvermogen van de condensatoren
QC = Q1 − Q2 = 169,7 kvar
Antwoord
QC = 169,7 kvar
11.RC- en RL-schakelverschijnselen
Antwoord: t = 7,117 ms
Eerste-orde schakelverschijnselen: in een schakeling met één condensator of één spoel gaat elke spanning en stroom exponentieel van de beginwaarde naar de eindwaarde: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, met τ = RC of τ = L/R. Na ongeveer 5τ is de schakeling uitgeslingerd.
Tijdconstante
τ = L/R = 68 mH / 22 Ω = 3,091 ms
Los op naar de tijd
0,05 = 0,5·e−t/τ → t = τ·ln(0,5/0,05)
t = 3,091·ln(10) = 7,117 ms
Antwoord
t = 7,117 ms
12.RC- en RL-schakelverschijnselen
Antwoord: i2 = 1,367 mA
Eerste-orde schakelverschijnselen: in een schakeling met één condensator of één spoel gaat elke spanning en stroom exponentieel van de beginwaarde naar de eindwaarde: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, met τ = RC of τ = L/R. Na ongeveer 5τ is de schakeling uitgeslingerd.
Beginspanning van de condensator
In de stationaire toestand is de condensator een open circuit, dus R₁ en R₂ vormen een spanningsdeler. De condensatorspanning kan niet verspringen als de schakelaar opent.
vC(0) = 24·2,2/(6,8 + 2,2) = 5,867 V
Tijdconstante nadat de schakelaar opent
τ = R2·C = 2,2·68 = 149,6 ms
Ontlading
vC(t) = 5,867·e−100/149,6 = 3,007 V
i2 = vC/R2 = 3,007/2,2 = 1,367 mA
Antwoord
i2 = 1,367 mA
13.Thévenin en Norton
Antwoord: Rth = 11 Ω
Stelling van Thévenin: elk lineair tweepoolnetwerk gedraagt zich als één spanningsbron Vth in serie met een weerstand Rth. De stelling van Norton geeft hetzelfde netwerk als een stroombron IN = Vth/Rth parallel aan Rth.
Vind Rth met alle bronnen uitgeschakeld
Vervang spanningsbronnen door kortsluitingen en stroombronnen door open circuits, en kijk dan vanaf a–b de schakeling in.
R1 ∥ R2 = 15·10/(15+10) = 6 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 6 + 5 = 11 Ω
14.Thévenin en Norton
Antwoord: Vth = 92 V
Stelling van Thévenin: elk lineair tweepoolnetwerk gedraagt zich als één spanningsbron Vth in serie met een weerstand Rth. De stelling van Norton geeft hetzelfde netwerk als een stroombron IN = Vth/Rth parallel aan Rth.
Vind Rth met alle bronnen uitgeschakeld
Vervang spanningsbronnen door kortsluitingen en stroombronnen door open circuits, en kijk dan vanaf a–b de schakeling in.
R1 ∥ R2 = 6·4/(6+4) = 2,4 Ω
Rth = (R1 ∥ R2) + R3 = 2,4 + 20 = 22,4 Ω
Vind Vth, de openklemspanning
Met a–b open is het enige pad voor Iₛ via R₃ naar knooppunt A. Vind V_A met superpositie van V₁ en Iₛ, en tel dan de spanningsval over R₃ erbij op.
VA = V1·R2/(R1+R2) + Is·(R1∥R2) = 2,4 + 4·2,4 = 12 V
Vth = VB = VA + Is·R3 = 12 + 4·20 = 92 V
15.Bodediagrammen en marges
Antwoord: φ = 5,738 °
Frequentierespons: substitueer s = jω in de overdrachtsfunctie. De grootte in decibel is 20·log₁₀|H(jω)| en de fase is de som van de hoeken van de tellerfactoren min die van de noemerfactoren. Een eerste-orde RC- of RL-filter heeft zijn kantelfrequentie (−3 dB) bij ωc = 1/(RC) of R/L, en fc = ωc/(2π); een laagdoorlaatfilter geeft |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) en φ = −atan(ω/ωc). In het asymptotische (rechte-lijn-)Bodediagram buigt elke pool de grootte met 20 dB/decade omlaag bij zijn kantelfrequentie, buigt elk nulpunt haar met 20 dB/decade omhoog, en geeft een integrator 1/s −20 dB/decade bij alle frequenties. Versterkingsdoorsnijding ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); fasemarge PM = 180° + ∠L(jωc). Faseomslag ω180: ∠L(jω) = −180°; versterkingsmarge GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. De gesloten lus is stabiel als beide marges positief zijn.
Kantelfrequentie
ωc = 1/(RC) = 1/(10000·2,2 × 10⁻⁸) = 4545 rad/s
fc = 723,4 Hz → f/fc = 7200/723,4 = 9,953
Fase
φ = 90° − atan(9,953) = 5,738°
Antwoord
φ = 5,738°
16.Bodediagrammen en marges
Antwoord: GM = 6,021 dB
Frequentierespons: substitueer s = jω in de overdrachtsfunctie. De grootte in decibel is 20·log₁₀|H(jω)| en de fase is de som van de hoeken van de tellerfactoren min die van de noemerfactoren. Een eerste-orde RC- of RL-filter heeft zijn kantelfrequentie (−3 dB) bij ωc = 1/(RC) of R/L, en fc = ωc/(2π); een laagdoorlaatfilter geeft |H| = 1/√(1 + (ω/ωc)²) en φ = −atan(ω/ωc). In het asymptotische (rechte-lijn-)Bodediagram buigt elke pool de grootte met 20 dB/decade omlaag bij zijn kantelfrequentie, buigt elk nulpunt haar met 20 dB/decade omhoog, en geeft een integrator 1/s −20 dB/decade bij alle frequenties. Versterkingsdoorsnijding ωc: |L(jω)| = 1 (0 dB); fasemarge PM = 180° + ∠L(jωc). Faseomslag ω180: ∠L(jω) = −180°; versterkingsmarge GM = −20·log₁₀|L(jω180)| dB. De gesloten lus is stabiel als beide marges positief zijn.