Netwerkanalyse 2: wisselstroomschakelingen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 16 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Complexe getallen

Rechthoekige vorm: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Modulus en argument: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Poolvorm en exponentiële vorm: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Deling: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Product en quotiënt: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
De Moivre: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n-de machtswortels: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Kwadratische vergelijking met p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Methode

Bepaal welke vorm bij de bewerking past: rechthoekig a + jb voor optellen en aftrekken, pool r∠θ voor vermenigvuldigen, delen, machten en wortels.
Werk uit met j² = −1; deel door teller en noemer te vermenigvuldigen met de geconjugeerde van de noemer.
Reken om met r = √(a² + b²) en θ uit een schets van het punt (controleer het kwadrant), en terug met a = r cos θ, b = r sin θ.
Gebruik voor machten De Moivre, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; noteer voor zⁿ = R∠φ alle n wortels R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Wisselstroomimpedantie en fasoren

Impedanties: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Hoekfrequentie: ω = 2πf
Modulus en hoek: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Wet van Ohm met fasoren: V = I·Z

Methode

Reken de frequentie om: ω = 2πf.
Bereken elke reactantie: X_L = ωL en X_C = 1/(ωC).
Tel impedanties op zoals weerstanden, met Z = R + jX.
Bereken de grootte |Z| = √(R² + X²) en de hoek φ = atan(X/R), en gebruik daarna de wet van Ohm met fasoren.

Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor

Werkelijk vermogen: P = V·I·cos φ
Blindvermogen: Q = V·I·sin φ
Schijnbaar vermogen: S = V·I = √(P² + Q²)
Arbeidsfactor: pf = cos φ = P/S
Compensatiecondensator: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte

Eigenfrequentie: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
Energie: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
Piekstroom: I_max = V₀√(C/L)
Kwaliteitsfactor: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
Serie-RLC: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
Parallel-RLC: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
Bandbreedte: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
Halfvermogensfrequenties: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
Tank met spoelweerstand r: R_D = L/(C·r) = Q²·r
Afname van de amplitude: e^−Rt/(2L)

Methode

Zoek eerst de resonantiefrequentie: ω₀ = 1/√(LC) en f₀ = ω₀/(2π).
Bepaal of de schakeling serie of parallel is: serie Q = (1/R)√(L/C), parallel Q = R√(C/L).
Gebruik BW = f₀/Q voor de bandbreedte, of de snelle formules R/(2πL) (serie) en 1/(2πRC) (parallel).
Gebruik bij energievragen dat de totale energie ½CV₀² in een ideale LC-schakeling constant blijft en elke kwartperiode heen en weer gaat tussen C en L.

Draaistroomvermogen

Sterschakeling (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Driehoekschakeling (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Totaal werkelijk vermogen: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Schijnbaar vermogen en blindvermogen: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Compensatiecondensatoren: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Spanning over elke condensator: Δ: V_L Y: V_L/√3
Opgenomen motorvermogen: P_in = P_out/η

RC- en RL-schakelverschijnselen

Tijdconstante: τ = RC | τ = L/R
Respons: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Condensator bij gelijkstroom: open klemmen; v_C kan niet verspringen
Spoel bij gelijkstroom: kortsluiting; i_L kan niet verspringen
Eindtoestand: t ≈ 5τ

Methode

Bepaal de beginwaarde vlak na het schakelen: een condensatorspanning en een spoelstroom kunnen niet verspringen.
Bepaal de eindwaarde lang na het schakelen: een condensator gedraagt zich als een open keten, een spoel als een kortsluiting.
Bepaal de tijdconstante: τ = RC of τ = L/R, met de weerstand die de condensator of spoel ziet.
Gebruik x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Thévenin en Norton

Thévenin-spanning: V_th = V_{open circuit}
Thévenin-weerstand: R_th: alle bronnen uit, gezien vanaf a–b
Norton-stroom: I_N = V_th/R_th
Belastingsstroom: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Maximale vermogensoverdracht: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Methode

Haal de belasting weg en markeer de twee klemmen a en b.
Bepaal de openklemspanning tussen a en b: dit is V_th.
Schakel alle onafhankelijke bronnen uit en bepaal de weerstand gezien vanaf a–b: dit is R_th.
Zet de belasting terug op het vervangingsschema: V_th in serie met R_th.
Reken voor het Norton-equivalent om: I_N = V_th/R_th, met R_N = R_th parallel.

2Oefenopgaven

1.Complexe getallenGemiddeld

Bepaal het argument θ van z = −2 − j6 in graden, als hoofdwaarde tussen −180° en 180°.

z = −2 − j6

θ = °

2.Complexe getallenMoeilijk

Gebruik de stelling van De Moivre om het imaginaire deel van z⁵ te vinden voor z = 1 + j√3.

z = 1 + j√3n = 5

Im(z⁵) =

3.Wisselstroomimpedantie en fasorenGemiddeld

Een serie-RLC-schakeling is aangesloten op een voeding van 50 V (rms), 1000 Hz. Vind de fasehoek φ van de impedantie, in graden (positief als de stroom achterloopt op de spanning).

V = 50 V (rms)f = 1000 HzR = 30 ΩL = 50 mHC = 1 µF

φ = °

4.Wisselstroomimpedantie en fasorenMoeilijk

Een serie-RLC-schakeling is aangesloten op een voeding van 230 V (rms), 500 Hz. Vind de resonantiefrequentie f₀ van de schakeling.

V = 230 V (rms)f = 500 HzR = 80 ΩL = 50 mHC = 1 µF

f₀ = Hz

5.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactorGemiddeld

Een eenfasige motor neemt 12 kW op bij een inductieve arbeidsfactor van 0,8 uit een voeding van 230 V. Vind de lijnstroom I.

P = 12 kWpf = 0,8V = 230 V

I = A

6.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactorMoeilijk

Een eenfasige belasting neemt 40 kW op bij een inductieve arbeidsfactor van 0,7 uit een voeding van 240 V, 60 Hz. Een parallel geschakelde condensator verhoogt de arbeidsfactor tot 0,92. Vind de nieuwe lijnstroom I_new.

P = 40 kWpf₁ = 0,7pf₂ = 0,92V = 240 Vf = 60 Hz

I_new = A

7.LC-resonantie, Q-factor en bandbreedteGemiddeld

Een serie-RLC-schakeling heeft R = 10 Ω, L = 22 mH en C = 22 nF. Bepaal zijn bandbreedte BW in Hz.

R = 10 ΩL = 22 mHC = 22 nF

BW = Hz

8.LC-resonantie, Q-factor en bandbreedteMoeilijk

Een opgeladen condensator van 47 nF ontlaadt over een spoel van 22 mH met een totale serieweerstand van 20 Ω, zodat de oscillatie langzaam uitdooft. De amplitude neemt af als e^−Rt/(2L). Hoeveel perioden n verstrijken voordat de amplitude is gehalveerd? (De verliezen zijn klein, dus de frequentie is f₀.)

L = 22 mHC = 47 nFR = 20 Ω

n =

9.DraaistroomvermogenGemiddeld

Een driefasige inductiemotor levert bij vollast 75 kW mechanisch vermogen. Bij deze belasting is het rendement 95% en de arbeidsfactor 0,8 inductief. Het net heeft een lijnspanning van 400 V. Vind de lijnstroom I_L.

P_out = 75 kWη = 95%cos φ = 0,8V_L = 400 V

I_L = A

10.DraaistroomvermogenMoeilijk

Een symmetrische driefasige belasting neemt 60 kW op bij een inductieve arbeidsfactor van 0,75 uit een net van 415 V (lijnspanning), 50 Hz. Een driefasige condensatorbank parallel aan de belasting moet de totale arbeidsfactor verhogen tot 0,92 inductief. Het werkelijk vermogen blijft gelijk. De condensatoren zijn in driehoek geschakeld. Vind de capaciteit C_ph van elke condensator in µF.

P = 60 kWpf₁ = 0,75pf₂ = 0,92V_L = 415 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

11.RC- en RL-schakelverschijnselenGemiddeld

De bron Vₛ laadt de condensator op via R₁, en R₂ staat parallel aan C. De condensator is ongeladen als de schakelaar op t = 0 sluit. Vind de condensatorspanning v_C op t = 100 ms.

V_s = 24 VR₁ = 1 kΩR₂ = 4,7 kΩC = 47 µFt = 100 ms

v_C = V

12.RC- en RL-schakelverschijnselenMoeilijk

Vlak voordat de schakelaar op t = 0 sluit, staat er 4 V over de condensator met de aangegeven polariteit. Vind de condensatorspanning v_C op t = 100 ms.

V_s = 9 VR = 2,2 kΩC = 33 µFv_C(0) = 4 Vt = 100 ms

v_C = V

13.Thévenin en NortonGemiddeld

Vind de Norton-stroom I_N: de stroom die van a naar b loopt als de klemmen kortgesloten zijn.

V₁ = 18 VR₁ = 6 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 12 Ω

I_N = A

14.Thévenin en NortonMoeilijk

Een belasting R_L = 3 Ω is aangesloten over a–b. Vervang de rest van de schakeling door het Thévenin-equivalent en vind de belastingsstroom I_L.

V₁ = 18 VI_s = 3 AR₁ = 12 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 30 ΩR_L = 3 Ω

I_L = A

15.Bodediagrammen en margesGemiddeld

Bepaal de fase ∠G(jω) van G(s) = 18(s + 19)/(s(s + 2)) bij ω = 3 rad/s, in graden.

G(s) = 18(s + 19)/(s(s + 2))ω = 3 rad/s

∠G(jω) = °

16.Bodediagrammen en margesMoeilijk

Een lus met eenheidsterugkoppeling heeft de open-lus-overdrachtsfunctie L(s) = 250/(s(s + 20)). Bepaal de versterkingsdoorsnijfrequentie ω_c, waar |L(jω)| = 1.

L(s) = 250/(s(s + 20))

ω_c = rad/s

3Oplossingen

1.Complexe getallen

Antwoord: θ = −108,4 °

Poolvorm: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, met r = |z| en θ = arg z. Terug naar de rechthoekige vorm: a = r cos θ, b = r sin θ. Voor het argument is het kwadrant nodig: θ = atan(b/a) alleen als a > 0; voor a < 0 tel je 180° op of trek je 180° af. In poolvorm is vermenigvuldigen eenvoudig: vermenigvuldig de moduli en tel de argumenten op; bij delen deel je de moduli en trek je de argumenten af.

Kwadrant

a = −2, b = −6 → III

Referentiehoek

α = atan(6/2) = 71,57°

Argument

θ = −(180° − α) = −108,4°

Antwoord

θ = −108,4°

In poolvorm is z = 6,325∠−108,4°.

2.Complexe getallen

Antwoord: Im(z⁵) = −27,71

De Moivre en wortels: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. De vergelijking zⁿ = R∠φ heeft precies n wortels, allemaal met modulus R^1/n, bij de argumenten (φ + 360°·k)/n voor k = 0, 1, …, n − 1: ze liggen gelijkmatig verdeeld op een cirkel, 360°/n uit elkaar. Een kwadratische vergelijking z² + pz + q = 0 met p² < 4q heeft de complexe wortels z = −p/2 ± j√(q − p²/4); een polynoom met reële coëfficiënten heeft zijn complexe wortels altijd in geconjugeerde paren a ± jb.

Poolvorm

z = 1 + j√3 = 2∠60°

De Moivre

z⁵ = (2)⁵∠300° = 32∠−60°

Rechthoekige vorm

z⁵ = 32·(cos −60° + j sin −60°) = 16 − j27,71

Im(z⁵) = −27,71

Antwoord

Im(z⁵) = −27,71

3.Wisselstroomimpedantie en fasoren

Antwoord: φ = 79,05 °

Wisselstroom met fasoren: weerstanden, spoelen en condensatoren hebben impedanties R, jωL en 1/(jωC), met ω = 2πf. In serie tellen impedanties op zoals weerstanden, maar dan als complexe getallen. Effectieve stroom en spanning volgen de wet van Ohm met |Z|.

Reactanties

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s

X_L = ωL = 6283·0,05 = 314,2 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(6283·1·10⁻⁶) = 159,2 Ω

Impedantie

In serie tellen impedanties op als complexe getallen: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(30² + (155)²) = 157,9 Ω

Fasehoek

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(155/30) = 79,05°

Antwoord

φ = 79,05°

4.Wisselstroomimpedantie en fasoren

Antwoord: f₀ = 711,8 Hz

Resonantie

Bij resonantie heffen de inductieve en capacitieve reactantie elkaar op: ωL = 1/(ωC). De voedingsfrequentie doet er niet toe.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,05·1·10⁻⁶)) = 711,8 Hz

Antwoord

f₀ = 711,8 Hz

5.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor

Antwoord: I = 65,22 A

Wisselstroomvermogen: het schijnbaar vermogen S = V·I (VA) splitst zich in werkelijk vermogen P = S·cos φ (W), dat nuttig werk doet, en blindvermogen Q = S·sin φ (var), dat heen en weer gaat tussen bron en belasting. De arbeidsfactor is cos φ. Een condensator parallel levert blindvermogen ter plaatse, dus de lijnstroom daalt bij hetzelfde werkelijk vermogen.

Lijnstroom

Alleen het werkelijke deel van het vermogen doet werk, dus deel door de arbeidsfactor.

I = P/(V·cos φ) = 12000/(230·0,8) = 65,22 A

Antwoord

I = 65,22 A

6.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor

Antwoord: I_new = 181,2 A

Blindvermogen voor en na

Het werkelijk vermogen P verandert niet; alleen het blindvermogen uit het net verandert.

Q₁ = P·tan φ₁ = 40·tan(45,57°) = 40,81 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 40·tan(23,07°) = 17,04 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 23,77 kvar

Nieuwe lijnstroom

I_new = P/(V·cos φ₂) = 40000/(240·0,92) = 181,2 A

Antwoord

I_new = 181,2 A

7.LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte

Antwoord: BW = 72,34 Hz

Q-factor en bandbreedte: in een resonantiekring is Q = 2π·(opgeslagen energie)/(verloren energie per periode). Voor serie-RLC is Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C); voor parallel-RLC is Q = R/(ω₀L) = R√(C/L). De bandbreedte tussen de halfvermogensfrequenties f₁ en f₂ (waar het vermogen de helft is en de stroom of spanning 1/√2 van de piekwaarde) is BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, dat is R/(2πL) in serie en 1/(2πRC) parallel. De resonantiefrequentie is het meetkundig gemiddelde f₀ = √(f₁f₂), en f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Verliezen laten de trilling ook uitdoven: in serie-RLC neemt de amplitude af als e^−Rt/(2L).

Bandbreedte in rad/s

R/L = 10/0,022 = 454,5 rad/s

Bandbreedte in Hz

BW = 454,5/(2π) = 72,34 Hz = 72,34 Hz

Antwoord

BW = 72,34 Hz

Met f₀ = 7,234 kHz geeft dit Q = 100.

8.LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte

Antwoord: n = 7,548

Halfwaardetijd van de amplitude

t = 2·0,022·ln 2/20 = 0,001525 s

Aantal perioden

n = t·f₀ = 0,001525·4949 = 7,548

Antwoord

n = 7,548

Snelle formule: n = Q·ln 2/π met Q = 34,21.

9.Draaistroomvermogen

Antwoord: I_L = 142,4 A

Opgenomen elektrisch vermogen

P_in = P_out/η = 75/0,95 = 78,95 kW

Lijnstroom

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 78947/(√3·400·0,8) = 142,4 A

Antwoord

I_L = 142,4 A

10.Draaistroomvermogen

Antwoord: C_ph = 168,5 µF

Symmetrische draaistroomsystemen: in een Y-schakeling (ster) is de lijnspanning √3 keer de fasespanning, V_L = √3·V_ph, en is de lijnstroom gelijk aan de fasestroom. In een Δ-schakeling (driehoek) is de lijnspanning gelijk aan de fasespanning en is de lijnstroom √3 keer de fasestroom, I_L = √3·I_ph. Het totale vermogen is drie keer het vermogen van één fase: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Arbeidsfactorcompensatie: condensatoren leveren blindvermogen ter plaatse, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Elk van de drie condensatoren levert Q_C/3 = V²·ω·C, waarbij V de spanning over die condensator is: V_L in een driehoeksbank, V_L/√3 in een sterbank.

Blindvermogen voor en na

Het werkelijk vermogen verandert niet, dus elke arbeidsfactor legt het blindvermogen vast: Q = P·tan φ.

Q₁ = 60·tan(acos 0,75) = 60·0,8819 = 52,92 kvar

Q₂ = 60·tan(acos 0,92) = 60·0,426 = 25,56 kvar

Blindvermogen van de condensatoren

Q_C = Q₁ − Q₂ = 27,36 kvar

Capaciteit per fase

In een driehoeksbank is elke condensator aangesloten tussen twee lijnen.

V = 415 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 9118/(314,2·415²) = 168,5 µF

Antwoord

C_ph = 168,5 µF

11.RC- en RL-schakelverschijnselen

Antwoord: v_C = 18,29 V

Eerste-orde schakelverschijnselen: in een schakeling met één condensator of één spoel gaat elke spanning en stroom exponentieel van de beginwaarde naar de eindwaarde: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, met τ = RC of τ = L/R. Na ongeveer 5τ is de schakeling uitgeslingerd.

Thévenin-equivalent gezien vanaf de condensator

Sluit de bron kort om R_th te vinden; laat de condensator open om de spanning te vinden waarop hij uitkomt.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 1·4,7/(1 + 4,7) = 0,8246 kΩ

v_C(∞) = 24·4,7/(1 + 4,7) = 19,79 V

Tijdconstante

τ = R_th·C = 0,8246·47 = 38,75 ms

Laadcurve

v_C(t) = 19,79·(1 − e^−100/38,75) = 18,29 V

Antwoord

v_C = 18,29 V

12.RC- en RL-schakelverschijnselen

Antwoord: v_C = 7,739 V

Beginwaarde, eindwaarde, tijdconstante

De condensatorspanning kan niet verspringen, dus begint ze bij de opgeslagen waarde en gaat ze naar de bronspanning.

v_C(0) = 4 V, v_C(∞) = V_s = 9 V

τ = R·C = 2,2 kΩ · 33 µF = 72,6 ms

v_C(t) = 9 + (4 − 9)·e^−t/τ

Spanning op het gegeven tijdstip

v_C(100) = 9 + (−5)·e^−100/72,6 = 7,739 V

Antwoord

v_C = 7,739 V

13.Thévenin en Norton

Antwoord: I_N = 0,8333 A

Stelling van Thévenin: elk lineair tweepoolnetwerk gedraagt zich als één spanningsbron V_th in serie met een weerstand R_th. De stelling van Norton geeft hetzelfde netwerk als een stroombron I_N = V_th/R_th parallel aan R_th.

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vervang spanningsbronnen door kortsluitingen en stroombronnen door open circuits, en kijk dan vanaf a–b de schakeling in.

R₁ ∥ R₂ = 6·20/(6+20) = 4,615 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 4,615 + 12 = 16,62 Ω

Vind V_th, de openklemspanning

Met a–b open loopt er geen stroom door R₃, dus er valt geen spanning over en V_b = V_A. R₁ en R₂ vormen een spanningsdeler.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 18·20/(6+20) = 13,85 V

Norton-equivalent

Een Norton-bron is dezelfde schakeling, gezien als een stroombron parallel aan R_th. De stroom is de kortsluitstroom tussen a–b.

I_N = V_th/R_th = 13,85/16,62 = 0,8333 A

14.Thévenin en Norton

Antwoord: I_L = 3,077 A

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vervang spanningsbronnen door kortsluitingen en stroombronnen door open circuits, en kijk dan vanaf a–b de schakeling in.

R₁ ∥ R₂ = 12·25/(12+25) = 8,108 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 8,108 + 30 = 38,11 Ω

Vind V_th, de openklemspanning

Met a–b open is het enige pad voor Iₛ via R₃ naar knooppunt A. Vind V_A met superpositie van V₁ en Iₛ, en tel dan de spanningsval over R₃ erbij op.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 12,16 + 3·8,108 = 36,49 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 36,49 + 3·30 = 126,5 V

Sluit de belasting aan op het Thévenin-equivalent

De Thévenin-bron en R_th in serie gedragen zich bij a–b precies als de oorspronkelijke schakeling, dus de belasting ziet een eenvoudige serielus.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 126,5/(38,11 + 3) = 3,077 A

15.Bodediagrammen en marges

Antwoord: ∠G(jω) = −137,3 °

Frequentierespons: substitueer s = jω in de overdrachtsfunctie. De grootte in decibel is 20·log₁₀|H(jω)| en de fase is de som van de hoeken van de tellerfactoren min die van de noemerfactoren. Een eerste-orde RC- of RL-filter heeft zijn kantelfrequentie (−3 dB) bij ω_c = 1/(RC) of R/L, en f_c = ω_c/(2π); een laagdoorlaatfilter geeft |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) en φ = −atan(ω/ω_c). In het asymptotische (rechte-lijn-)Bodediagram buigt elke pool de grootte met 20 dB/decade omlaag bij zijn kantelfrequentie, buigt elk nulpunt haar met 20 dB/decade omhoog, en geeft een integrator 1/s −20 dB/decade bij alle frequenties. Versterkingsdoorsnijding ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); fasemarge PM = 180° + ∠L(jω_c). Faseomslag ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; versterkingsmarge GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. De gesloten lus is stabiel als beide marges positief zijn.

Tel de hoeken op

∠G = atan(3/19) − 90° − atan(3/2) = 8,973° − 90° − 56,31°

Resultaat

∠G(j3) = −137,3°

Antwoord

∠G(jω) = −137,3°

16.Bodediagrammen en marges

Antwoord: ω_c = 10,96 rad/s

Versterkingsdoorsnijding

ω⁴ + 400ω² − 62500 = 0

ω² = (−400 + √(160000 + 4·62500))/2 = 120,2

ω_c = 10,96 rad/s

Antwoord

ω_c = 10,96 rad/s

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

Netwerkanalyse 2: wisselstroomschakelingen: samenvattingspakket

1Formules en methoden

Complexe getallen

Methode

Wisselstroomimpedantie en fasoren

Methode

Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor

LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte

Methode

Draaistroomvermogen

RC- en RL-schakelverschijnselen

Methode

Thévenin en Norton

Methode

2Oefenopgaven

3Oplossingen

Kwadrant

Referentiehoek

Argument

Antwoord

Poolvorm

De Moivre

Rechthoekige vorm

Antwoord

Reactanties

Impedantie

Fasehoek

Antwoord

Resonantie

Antwoord

Lijnstroom

Antwoord

Blindvermogen voor en na

Nieuwe lijnstroom

Antwoord

Bandbreedte in rad/s

Bandbreedte in Hz

Antwoord

Halfwaardetijd van de amplitude

Aantal perioden

Antwoord

Opgenomen elektrisch vermogen

Lijnstroom

Antwoord

Blindvermogen voor en na

Blindvermogen van de condensatoren

Capaciteit per fase

Antwoord

Thévenin-equivalent gezien vanaf de condensator

Tijdconstante

Laadcurve

Antwoord

Beginwaarde, eindwaarde, tijdconstante

Spanning op het gegeven tijdstip

Antwoord

Vind Rth met alle bronnen uitgeschakeld

Vind Vth, de openklemspanning

Norton-equivalent

Vind Rth met alle bronnen uitgeschakeld

Vind Vth, de openklemspanning

Sluit de belasting aan op het Thévenin-equivalent

Tel de hoeken op

Resultaat

Antwoord

Versterkingsdoorsnijding

Antwoord

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vind V_th, de openklemspanning

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vind V_th, de openklemspanning