Netwerkanalyse 2: wisselstroomschakelingen: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 16 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Complexe getallen

Rechthoekige vorm: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
Modulus en argument: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
Poolvorm en exponentiële vorm: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
Deling: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
Product en quotiënt: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
De Moivre: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n-de machtswortels: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
Kwadratische vergelijking met p² < 4q: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Methode

Bepaal welke vorm bij de bewerking past: rechthoekig a + jb voor optellen en aftrekken, pool r∠θ voor vermenigvuldigen, delen, machten en wortels.
Werk uit met j² = −1; deel door teller en noemer te vermenigvuldigen met de geconjugeerde van de noemer.
Reken om met r = √(a² + b²) en θ uit een schets van het punt (controleer het kwadrant), en terug met a = r cos θ, b = r sin θ.
Gebruik voor machten De Moivre, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; noteer voor zⁿ = R∠φ alle n wortels R^1/n∠((φ + 360°k)/n).

Wisselstroomimpedantie en fasoren

Impedanties: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Hoekfrequentie: ω = 2πf
Modulus en hoek: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Wet van Ohm met fasoren: V = I·Z

Methode

Reken de frequentie om: ω = 2πf.
Bereken elke reactantie: X_L = ωL en X_C = 1/(ωC).
Tel impedanties op zoals weerstanden, met Z = R + jX.
Bereken de grootte |Z| = √(R² + X²) en de hoek φ = atan(X/R), en gebruik daarna de wet van Ohm met fasoren.

Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor

Werkelijk vermogen: P = V·I·cos φ
Blindvermogen: Q = V·I·sin φ
Schijnbaar vermogen: S = V·I = √(P² + Q²)
Arbeidsfactor: pf = cos φ = P/S
Compensatiecondensator: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte

Eigenfrequentie: ω₀ = 1/√(LC), f₀ = 1/(2π√(LC))
Energie: W = ½CV₀² = ½Cv² + ½Li²
Piekstroom: I_max = V₀√(C/L)
Kwaliteitsfactor: Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
Serie-RLC: Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
Parallel-RLC: Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
Bandbreedte: BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, f₀ = √(f₁f₂)
Halfvermogensfrequenties: f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
Tank met spoelweerstand r: R_D = L/(C·r) = Q²·r
Afname van de amplitude: e^−Rt/(2L)

Methode

Zoek eerst de resonantiefrequentie: ω₀ = 1/√(LC) en f₀ = ω₀/(2π).
Bepaal of de schakeling serie of parallel is: serie Q = (1/R)√(L/C), parallel Q = R√(C/L).
Gebruik BW = f₀/Q voor de bandbreedte, of de snelle formules R/(2πL) (serie) en 1/(2πRC) (parallel).
Gebruik bij energievragen dat de totale energie ½CV₀² in een ideale LC-schakeling constant blijft en elke kwartperiode heen en weer gaat tussen C en L.

Draaistroomvermogen

Sterschakeling (Y): V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Driehoekschakeling (Δ): V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
Totaal werkelijk vermogen: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
Schijnbaar vermogen en blindvermogen: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
Compensatiecondensatoren: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
Spanning over elke condensator: Δ: V_L Y: V_L/√3
Opgenomen motorvermogen: P_in = P_out/η

RC- en RL-schakelverschijnselen

Tijdconstante: τ = RC | τ = L/R
Respons: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Condensator bij gelijkstroom: open klemmen; v_C kan niet verspringen
Spoel bij gelijkstroom: kortsluiting; i_L kan niet verspringen
Eindtoestand: t ≈ 5τ

Methode

Bepaal de beginwaarde vlak na het schakelen: een condensatorspanning en een spoelstroom kunnen niet verspringen.
Bepaal de eindwaarde lang na het schakelen: een condensator gedraagt zich als een open keten, een spoel als een kortsluiting.
Bepaal de tijdconstante: τ = RC of τ = L/R, met de weerstand die de condensator of spoel ziet.
Gebruik x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Thévenin en Norton

Thévenin-spanning: V_th = V_{open circuit}
Thévenin-weerstand: R_th: alle bronnen uit, gezien vanaf a–b
Norton-stroom: I_N = V_th/R_th
Belastingsstroom: I_L = V_th/(R_th + R_L)
Maximale vermogensoverdracht: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

Methode

Haal de belasting weg en markeer de twee klemmen a en b.
Bepaal de openklemspanning tussen a en b: dit is V_th.
Schakel alle onafhankelijke bronnen uit en bepaal de weerstand gezien vanaf a–b: dit is R_th.
Zet de belasting terug op het vervangingsschema: V_th in serie met R_th.
Reken voor het Norton-equivalent om: I_N = V_th/R_th, met R_N = R_th parallel.

2Oefenopgaven

1.Complexe getallenGemiddeld

Gegeven z₁ = 2∠100° en z₂ = 4∠−50°, bepaal het reële deel van w = z₁·z₂.

z₁ = 2∠100°z₂ = 4∠−50°

Re(w) =

2.Complexe getallenMoeilijk

Eén wortel van z³ + 3z² + 4z − 8 = 0 is z₁ = −2 + j2. De coëfficiënten zijn reëel. Bepaal de reële wortel r.

z₁ = −2 + j2

r =

3.Wisselstroomimpedantie en fasorenGemiddeld

Een serie-RLC-schakeling is aangesloten op een voeding van 120 V (rms), 100 Hz. Vind de fasehoek φ van de impedantie, in graden (positief als de stroom achterloopt op de spanning).

V = 120 V (rms)f = 100 HzR = 100 ΩL = 100 mHC = 1 µF

φ = °

4.Wisselstroomimpedantie en fasorenMoeilijk

Een serie-RLC-schakeling is aangesloten op een voeding van 10 V (rms), 200 Hz. Vind de effectieve stroom I.

V = 10 V (rms)f = 200 HzR = 60 ΩL = 20 mHC = 47 µF

I = A

5.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactorGemiddeld

Een inductieve belasting neemt 12 A en 2448 W op uit een eenfasige voeding van 240 V (rms). Modelleer haar als een weerstand R in serie met een reactantie X. Vind R.

V = 240 VI = 12 AP = 2448 W

R = Ω

6.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactorMoeilijk

Een eenfasige transformator van 50 kVA voedt een belasting van 17 kW met een inductieve arbeidsfactor van 0,7. Hoeveel extra werkelijk vermogen ΔP kan er als resistieve belasting (arbeidsfactor 1) worden bijgeplaatst voordat de transformator zijn nominale kVA bereikt?

S_max = 50 kVAP₁ = 17 kWpf₁ = 0,7

ΔP = kW

7.LC-resonantie, Q-factor en bandbreedteGemiddeld

In een ideale LC-schakeling met L = 470 µH en C = 22 nF is de condensator op t = 0 volledig opgeladen. Hoe lang duurt het tot alle energie in de spoel zit? Geef t in µs.

L = 470 µHC = 22 nF

t = µs

8.LC-resonantie, Q-factor en bandbreedteMoeilijk

Een serieresonantiekring gebruikt een spoel van 22 mH. Welke totale serieweerstand R geeft een bandbreedte van 100 kHz?

L = 22 mHBW = 100 kHz

R = Ω

9.DraaistroomvermogenGemiddeld

Een symmetrische, in ster geschakelde belasting met een impedantie van 12 + j5 Ω per fase is aangesloten op een symmetrisch draaistroomnet met een lijnspanning van 400 V. Vind het totale werkelijk vermogen P dat de belasting opneemt, in kW.

V_L = 400 VZ = 12 + j5 Ω per fase

P = kW

10.DraaistroomvermogenMoeilijk

Een symmetrische driefasige belasting neemt 100 kW op bij een inductieve arbeidsfactor van 0,72 uit een net van 415 V (lijnspanning), 50 Hz. Een driefasige condensatorbank parallel aan de belasting moet de totale arbeidsfactor verhogen tot 0,95 inductief. Het werkelijk vermogen blijft gelijk. De condensatoren zijn in driehoek geschakeld. Vind de capaciteit C_ph van elke condensator in µF.

P = 100 kWpf₁ = 0,72pf₂ = 0,95V_L = 415 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

11.RC- en RL-schakelverschijnselenGemiddeld

De spoel voert geen stroom voordat de schakelaar op t = 0 sluit. Vind de spanning v_L over de spoel op t = 1 ms.

V_s = 12 VR = 33 ΩL = 10 mHt = 1 ms

v_L = V

12.RC- en RL-schakelverschijnselenMoeilijk

De schakelaar is al lang gesloten, dus de schakeling is in de stationaire toestand. Op t = 0 gaat de schakelaar open. Vind de condensatorspanning v_C op t = 100 ms.

V_s = 15 VR₁ = 6,8 kΩR₂ = 3,3 kΩC = 100 µFt = 100 ms

v_C = V

13.Thévenin en NortonGemiddeld

Een belasting R_L = 3 Ω is aangesloten over a–b. Vervang de rest van de schakeling door het Thévenin-equivalent en vind de belastingsstroom I_L.

V₁ = 24 VR₁ = 3 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 8 ΩR_L = 3 Ω

I_L = A

14.Thévenin en NortonMoeilijk

Vind de Norton-stroom I_N: de stroom die van a naar b loopt als de klemmen kortgesloten zijn.

V₁ = 30 VI_s = 4 AR₁ = 25 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 10 Ω

I_N = A

15.Bodediagrammen en margesGemiddeld

Het getoonde RC-hoogdoorlaatfilter heeft R = 2,2 kΩ, C = 1 nF. Er wordt een sinusvormige ingang van 14 kHz aangelegd. Bepaal de faseverschuiving φ van v_out ten opzichte van v_in, in graden.

R = 2,2 kΩC = 1 nFf = 14 kHz

φ = °

16.Bodediagrammen en margesMoeilijk

Een lus met eenheidsterugkoppeling heeft de open-lus-overdrachtsfunctie L(s) = 120/(s(s + 20)). Bepaal de versterkingsdoorsnijfrequentie ω_c, waar |L(jω)| = 1.

L(s) = 120/(s(s + 20))

ω_c = rad/s

3Oplossingen

1.Complexe getallen

Antwoord: Re(w) = 5,142

Poolvorm: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ, met r = |z| en θ = arg z. Terug naar de rechthoekige vorm: a = r cos θ, b = r sin θ. Voor het argument is het kwadrant nodig: θ = atan(b/a) alleen als a > 0; voor a < 0 tel je 180° op of trek je 180° af. In poolvorm is vermenigvuldigen eenvoudig: vermenigvuldig de moduli en tel de argumenten op; bij delen deel je de moduli en trek je de argumenten af.

Modulus en argument van w

|w| = 2 · 4 = 8

θ = 100° + (−50)° = 50°

Rechthoekige vorm

Re(w) = 8·cos(50°) = 5,142

Im(w) = 8·sin(50°) = 6,128

Re(w) = 5,142

Antwoord

Re(w) = 5,142

2.Complexe getallen

Antwoord: r = 1

De Moivre en wortels: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. De vergelijking zⁿ = R∠φ heeft precies n wortels, allemaal met modulus R^1/n, bij de argumenten (φ + 360°·k)/n voor k = 0, 1, …, n − 1: ze liggen gelijkmatig verdeeld op een cirkel, 360°/n uit elkaar. Een kwadratische vergelijking z² + pz + q = 0 met p² < 4q heeft de complexe wortels z = −p/2 ± j√(q − p²/4); een polynoom met reële coëfficiënten heeft zijn complexe wortels altijd in geconjugeerde paren a ± jb.

Geconjugeerd paar

z₂ = −2 − j2

(z − z₁)(z − z₂) = z² − 2·(−2)·z + ((−2)² + 2²) = z² + 4z + 8

Splits de kwadratische factor af

z³ + 3z² + 4z − 8 = (z² + 4z + 8)(z − 1)

Reële wortel

r = 1

Antwoord

r = 1

Controleer met de som van de wortels: z₁ + z₂ + r = −4 + 1 = −3 = −(3).

3.Wisselstroomimpedantie en fasoren

Antwoord: φ = −86,26 °

Wisselstroom met fasoren: weerstanden, spoelen en condensatoren hebben impedanties R, jωL en 1/(jωC), met ω = 2πf. In serie tellen impedanties op zoals weerstanden, maar dan als complexe getallen. Effectieve stroom en spanning volgen de wet van Ohm met |Z|.

Reactanties

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s

X_L = ωL = 628,3·0,1 = 62,83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628,3·1·10⁻⁶) = 1592 Ω

Impedantie

In serie tellen impedanties op als complexe getallen: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(100² + (−1529)²) = 1532 Ω

Fasehoek

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(−1529/100) = −86,26°

Antwoord

φ = −86,26°

4.Wisselstroomimpedantie en fasoren

Antwoord: I = 0,1651 A

Reactanties

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,02 = 25,13 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·47·10⁻⁶) = 16,93 Ω

Impedantie

In serie tellen impedanties op als complexe getallen: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(60² + (8,201)²) = 60,56 Ω

Stroom

Door elk element van een serieschakeling loopt dezelfde stroom.

I = V/|Z| = 10/60,56 = 0,1651 A

Antwoord

I = 0,1651 A

5.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor

Antwoord: R = 17 Ω

Wisselstroomvermogen: het schijnbaar vermogen S = V·I (VA) splitst zich in werkelijk vermogen P = S·cos φ (W), dat nuttig werk doet, en blindvermogen Q = S·sin φ (var), dat heen en weer gaat tussen bron en belasting. De arbeidsfactor is cos φ. Een condensator parallel levert blindvermogen ter plaatse, dus de lijnstroom daalt bij hetzelfde werkelijk vermogen.

Weerstand uit het werkelijk vermogen

R = P/I² = 2448/12² = 17 Ω

Antwoord

R = 17 Ω

6.Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor

Antwoord: ΔP = 29,9 kW

Blindvermogen van de bestaande belasting

Q₁ = 17·tan(arccos 0,7) = 17,34 kvar

Grootste totale werkelijk vermogen

Bij volle belasting is S = S_max, en Q verandert niet door de resistieve belasting.

P = √(S_max² − Q₁²) = √(50² − 17,34²) = 46,9 kW

Extra werkelijk vermogen

ΔP = 46,9 − 17 = 29,9 kW

Antwoord

ΔP = 29,9 kW

7.LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte

Antwoord: t = 5,051 µs

LC-resonantie: een opgeladen condensator die op een spoel is aangesloten drijft een stroom die hem de andere kant op oplaadt: de energie pendelt tussen het elektrische veld van C (½Cv²) en het magnetische veld van L (½Li²) met de eigenfrequentie f₀ = 1/(2π√(LC)). Zonder weerstand blijft de totale energie ½CV₀² constant, dus de piekstroom is I_max = V₀√(C/L). Eén periode is T = 1/f₀; de energie gaat in een kwart ervan van C naar L.

Trillingstijd

T = 2π√(0,00047·2,2 × 10⁻⁸) = 20,2 µs

Kwart periode

t = T/4 = 5,051 µs

Antwoord

t = 5,051 µs

8.LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte

Antwoord: R = 13823 Ω

Q-factor en bandbreedte: in een resonantiekring is Q = 2π·(opgeslagen energie)/(verloren energie per periode). Voor serie-RLC is Q = ω₀L/R = (1/R)√(L/C); voor parallel-RLC is Q = R/(ω₀L) = R√(C/L). De bandbreedte tussen de halfvermogensfrequenties f₁ en f₂ (waar het vermogen de helft is en de stroom of spanning 1/√2 van de piekwaarde) is BW = f₂ − f₁ = f₀/Q, dat is R/(2πL) in serie en 1/(2πRC) parallel. De resonantiefrequentie is het meetkundig gemiddelde f₀ = √(f₁f₂), en f_1,2 = f₀(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). Verliezen laten de trilling ook uitdoven: in serie-RLC neemt de amplitude af als e^−Rt/(2L).

Seriebandbreedte

BW = R/(2πL)

Weerstand

R = 2π·0,022·100000 = 13823 Ω

Antwoord

R = 13823 Ω

9.Draaistroomvermogen

Antwoord: P = 11,36 kW

Fasespanning

V_ph = 400/√3 = 230,9 V

Fasestroom

|Z| = √(12² + 5²) = 13 Ω

I_ph = 230,9/13 = 17,76 A

Totaal werkelijk vermogen

Alleen het resistieve deel van elke impedantie neemt werkelijk vermogen op.

P = 3·I_ph²·R = 3·17,76²·12 = 11,36 kW

Antwoord

P = 11,36 kW

Controle: cos φ = R/|Z| = 0,9231, en √3·V_L·I_L·cos φ geeft hetzelfde vermogen.

10.Draaistroomvermogen

Antwoord: C_ph = 391,3 µF

Symmetrische draaistroomsystemen: in een Y-schakeling (ster) is de lijnspanning √3 keer de fasespanning, V_L = √3·V_ph, en is de lijnstroom gelijk aan de fasestroom. In een Δ-schakeling (driehoek) is de lijnspanning gelijk aan de fasespanning en is de lijnstroom √3 keer de fasestroom, I_L = √3·I_ph. Het totale vermogen is drie keer het vermogen van één fase: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. Arbeidsfactorcompensatie: condensatoren leveren blindvermogen ter plaatse, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). Elk van de drie condensatoren levert Q_C/3 = V²·ω·C, waarbij V de spanning over die condensator is: V_L in een driehoeksbank, V_L/√3 in een sterbank.

Blindvermogen voor en na

Het werkelijk vermogen verandert niet, dus elke arbeidsfactor legt het blindvermogen vast: Q = P·tan φ.

Q₁ = 100·tan(acos 0,72) = 100·0,9639 = 96,39 kvar

Q₂ = 100·tan(acos 0,95) = 100·0,3287 = 32,87 kvar

Blindvermogen van de condensatoren

Q_C = Q₁ − Q₂ = 63,52 kvar

Capaciteit per fase

In een driehoeksbank is elke condensator aangesloten tussen twee lijnen.

V = 415 V, ω = 2π·50 = 314,2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 21172/(314,2·415²) = 391,3 µF

Antwoord

C_ph = 391,3 µF

11.RC- en RL-schakelverschijnselen

Antwoord: v_L = 0,4426 V

Eerste-orde schakelverschijnselen: in een schakeling met één condensator of één spoel gaat elke spanning en stroom exponentieel van de beginwaarde naar de eindwaarde: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, met τ = RC of τ = L/R. Na ongeveer 5τ is de schakeling uitgeslingerd.

Tijdconstante en eindstroom

Lang na het sluiten van de schakelaar gedraagt de spoel zich als een kortsluiting, dus de eindstroom wordt alleen door R bepaald.

τ = L/R = 10 mH / 33 Ω = 0,303 ms

i(∞) = V_s/R = 12/33 = 0,3636 A

Spoelspanning

Op t = 0 staat de hele voedingsspanning over de spoel; daarna neemt die af tot nul.

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 12·e^−1/0,303 = 0,4426 V

Antwoord

v_L = 0,4426 V

12.RC- en RL-schakelverschijnselen

Antwoord: v_C = 3,62 V

Beginspanning van de condensator

In de stationaire toestand is de condensator een open circuit, dus R₁ en R₂ vormen een spanningsdeler. De condensatorspanning kan niet verspringen als de schakelaar opent.

v_C(0) = 15·3,3/(6,8 + 3,3) = 4,901 V

Tijdconstante nadat de schakelaar opent

τ = R₂·C = 3,3·100 = 330 ms

Ontlading

v_C(t) = 4,901·e^−100/330 = 3,62 V

Antwoord

v_C = 3,62 V

13.Thévenin en Norton

Antwoord: I_L = 1,433 A

Stelling van Thévenin: elk lineair tweepoolnetwerk gedraagt zich als één spanningsbron V_th in serie met een weerstand R_th. De stelling van Norton geeft hetzelfde netwerk als een stroombron I_N = V_th/R_th parallel aan R_th.

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vervang spanningsbronnen door kortsluitingen en stroombronnen door open circuits, en kijk dan vanaf a–b de schakeling in.

R₁ ∥ R₂ = 3·12/(3+12) = 2,4 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 2,4 + 8 = 10,4 Ω

Vind V_th, de openklemspanning

Met a–b open loopt er geen stroom door R₃, dus er valt geen spanning over en V_b = V_A. R₁ en R₂ vormen een spanningsdeler.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 24·12/(3+12) = 19,2 V

Sluit de belasting aan op het Thévenin-equivalent

De Thévenin-bron en R_th in serie gedragen zich bij a–b precies als de oorspronkelijke schakeling, dus de belasting ziet een eenvoudige serielus.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 19,2/(10,4 + 3) = 1,433 A

14.Thévenin en Norton

Antwoord: I_N = 4,537 A

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vervang spanningsbronnen door kortsluitingen en stroombronnen door open circuits, en kijk dan vanaf a–b de schakeling in.

R₁ ∥ R₂ = 25·12/(25+12) = 8,108 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 8,108 + 10 = 18,11 Ω

Vind V_th, de openklemspanning

Met a–b open is het enige pad voor Iₛ via R₃ naar knooppunt A. Vind V_A met superpositie van V₁ en Iₛ, en tel dan de spanningsval over R₃ erbij op.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 9,73 + 4·8,108 = 42,16 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 42,16 + 4·10 = 82,16 V

Norton-equivalent

Een Norton-bron is dezelfde schakeling, gezien als een stroombron parallel aan R_th. De stroom is de kortsluitstroom tussen a–b.

I_N = V_th/R_th = 82,16/18,11 = 4,537 A

15.Bodediagrammen en marges

Antwoord: φ = 79,05 °

Frequentierespons: substitueer s = jω in de overdrachtsfunctie. De grootte in decibel is 20·log₁₀|H(jω)| en de fase is de som van de hoeken van de tellerfactoren min die van de noemerfactoren. Een eerste-orde RC- of RL-filter heeft zijn kantelfrequentie (−3 dB) bij ω_c = 1/(RC) of R/L, en f_c = ω_c/(2π); een laagdoorlaatfilter geeft |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²) en φ = −atan(ω/ω_c). In het asymptotische (rechte-lijn-)Bodediagram buigt elke pool de grootte met 20 dB/decade omlaag bij zijn kantelfrequentie, buigt elk nulpunt haar met 20 dB/decade omhoog, en geeft een integrator 1/s −20 dB/decade bij alle frequenties. Versterkingsdoorsnijding ω_c: |L(jω)| = 1 (0 dB); fasemarge PM = 180° + ∠L(jω_c). Faseomslag ω₁₈₀: ∠L(jω) = −180°; versterkingsmarge GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB. De gesloten lus is stabiel als beide marges positief zijn.

Kantelfrequentie

ω_c = 1/(RC) = 1/(2200·1 × 10⁻⁹) = 454545 rad/s

f_c = 72343 Hz → f/f_c = 14000/72343 = 0,1935

Fase

φ = 90° − atan(0,1935) = 79,05°

Antwoord

φ = 79,05°

16.Bodediagrammen en marges

Antwoord: ω_c = 5,765 rad/s

Versterkingsdoorsnijding

ω⁴ + 400ω² − 14400 = 0

ω² = (−400 + √(160000 + 4·14400))/2 = 33,24

ω_c = 5,765 rad/s

Antwoord

ω_c = 5,765 rad/s

ExamProblems · examproblems.com/courses/circuit-analysis-2

Netwerkanalyse 2: wisselstroomschakelingen: samenvattingspakket

1Formules en methoden

Complexe getallen

Methode

Wisselstroomimpedantie en fasoren

Methode

Wisselstroomvermogen en arbeidsfactor

LC-resonantie, Q-factor en bandbreedte

Methode

Draaistroomvermogen

RC- en RL-schakelverschijnselen

Methode

Thévenin en Norton

Methode

2Oefenopgaven

3Oplossingen

Modulus en argument van w

Rechthoekige vorm

Antwoord

Geconjugeerd paar

Splits de kwadratische factor af

Reële wortel

Antwoord

Reactanties

Impedantie

Fasehoek

Antwoord

Reactanties

Impedantie

Stroom

Antwoord

Weerstand uit het werkelijk vermogen

Antwoord

Blindvermogen van de bestaande belasting

Grootste totale werkelijk vermogen

Extra werkelijk vermogen

Antwoord

Trillingstijd

Kwart periode

Antwoord

Seriebandbreedte

Weerstand

Antwoord

Fasespanning

Fasestroom

Totaal werkelijk vermogen

Antwoord

Blindvermogen voor en na

Blindvermogen van de condensatoren

Capaciteit per fase

Antwoord

Tijdconstante en eindstroom

Spoelspanning

Antwoord

Beginspanning van de condensator

Tijdconstante nadat de schakelaar opent

Ontlading

Antwoord

Vind Rth met alle bronnen uitgeschakeld

Vind Vth, de openklemspanning

Sluit de belasting aan op het Thévenin-equivalent

Vind Rth met alle bronnen uitgeschakeld

Vind Vth, de openklemspanning

Norton-equivalent

Kantelfrequentie

Fase

Antwoord

Versterkingsdoorsnijding

Antwoord

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vind V_th, de openklemspanning

Vind R_th met alle bronnen uitgeschakeld

Vind V_th, de openklemspanning